Zusammenfassung: Vektoren - lehrer.uni

LGÖ Ks
M 12
Schuljahr 2016/2017
Zusammenfassung: Vektoren
Inhaltsverzeichnis
Punkte im Koordinatensystem ............................................................................................................ 1
Vektoren .............................................................................................................................................. 1
Lineare Abhängigkeit von Vektoren ................................................................................................... 4
Betrag eines Vektors ........................................................................................................................... 5
Skalarprodukt und orthogonale Vektoren ........................................................................................... 6
Vektorprodukt ..................................................................................................................................... 8
Für Experten ...................................................................................................................................... 12
Punkte im Koordinatensystem
Wir betrachten nur kartesische, d. h. rechtwinklige Koordinatensysteme.
In der Ebene hat man zwei zueinander orthogonale Koordinatenachsen, die man mit x und y oder mit
x1 und x2 bezeichnet, und jeder Punkt P ( px p y ) ist eindeutig bestimmt durch die Angabe seiner
beiden Koordinaten.
Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Punkt O ( 0 | 0 ) .
Im Raum hat man drei zueinander orthogonale Koordinatenachsen,
die man mit x1 , x2 und x3 bezeichnet, und jeder Punkt
x3
P ( p1 p2 p3 ) ist eindeutig bestimmt durch die Angabe seiner drei
Koordinaten.
In einem Schrägbild zeichnet man üblicherweise die x1 -Achse unter
1
einem Winkel von 45° und mit dem Verkürzungsfaktor
2;
2
dies ist die Länge der Diagonale eines Kästchens.
Der Ursprung des Koordinatensystems ist der Punkt O ( 0 | 0 | 0 ) .
1
1
1
x2
x1
Ein Punkt P ( p1 | p2 | p3 )
•
liegt genau dann in der x1 - x2 -Ebene, wenn p3 = 0 ist;
•
liegt genau dann auf der x1 -Achse, wenn p2 = 0 und p3 = 0 ist;
•
hat bei der (senkrechten) Projektion auf die x1 - x2 -Ebene den Bildpunkt P ′ ( p1 | p2 | 0 ) ;
•
hat bei der (senkrechten) Projektion auf die x1 -Achse den Bildpunkt P ′ ( p1 | 0 | 0 ) ;
•
hat bei der Spiegelung an der x1 - x2 -Ebene den Bildpunkt P ′ ( p1 | p2 | − p3 ) ;
•
hat bei der Spiegelung an der x1 -Achse den Bildpunkt P ′ ( p1 | − p2 | − p3 ) ;
• hat bei der Spiegelung am Ursprung den Bildpunkt P ′ ( − p1 | − p2 | − p3 ) .
Analoges gilt für die anderen Koordinatenebenen bzw. Koordinatenachsen.
Vektoren
 v 
Definition: Ein zweidimensionaler bzw. dreidimensionaler Vektor ist ein Zahlenpaar v =  1  bzw.
 v2 
v 
  1
ein Zahlentripel v =  v2  .
v 
 3
Die reellen Zahlen v1 und v2 bzw. v1 , v2 und v3 heißen die Koordinaten des Vektors.
zus_vektoren
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 0
  
  0
Der Vektor o =   bzw. der Vektor o =  0  heißt der Nullvektor.
 0
 0
 
Geometrische Veranschaulichung: Einen Vektor kann man durch einen Pfeil veranschaulichen. Die
Koordinaten des Vektors geben an, um wie viele Längeneinheiten man vom Anfangspunkt des Pfeils
zum Endpunkt des Pfeils in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse (mit Vorzeichen) gehen muss.
Achtung: Der Anfangspunkt eines solchen Pfeils ist beliebig; zu einem Vektor gehören also
unendlich viele parallele, gleich lange und gleich gerichtete Pfeile.
Zu zwei Punkten A und B gibt es den Pfeil mit dem Anfangspunkt A und dem Endpunkt B (kurz: den Pfeil von A nach B).

Der zugehörige Vektor heißt der Verbindungsvektor AB .
Die Koordinaten des Verbindungsvektors kann man sich
meistens im Kopf überlegen. Weiter unten wird erklärt, wie
man die Berechnung des Verbindungsvektors aufschreibt.
Definition: Gegeben ist ein Punkt P ( p1 | p2 | p3 ) . Ist O der Ursprung,
dann heißt der Vektor
p 
  1 
OP =  p2 
p 
 3
der Ortsvektor des Punkts P.
Merke: Bei einem Punkt steht kein Gleichheitszeichen, und man
schreibt die Koordinaten nebeneinander. Bei einem Vektor steht ein
Gleichheitszeichen, und man schreibt die Koordinaten untereinander.
B

AB
A
x3
P

OP
1
x1
1
1
x2
Definition:
u 
v 
  1
  1
1. Vektoraddition: Die Summe zweier Vektoren u =  u2  und v =  v2  ist
u 
v 
 3
 3
u +v 
u+v
   1 1
u + v=  u2 + v2  .

u + v 
u
 3 3
u 
  1
2. Skalarmultiplikation: Das r-fache eines Vektors u =  u2  ist
u 
 3
 r ⋅ u1 
 

r ⋅ u =  r ⋅ u2  .
r ⋅u 
3

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
u

2⋅u

v
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u 
  1
3. Der Gegenvektor eines Vektors u =  u2  ist der Vektor
u 
 3
 −u 
  1
−u =  −u2  .
 −u 
 3

u

−u
Für das Rechnen mit Vektoren gelten die „üblichen“ Rechengesetze; siehe „Für Experten“.
Standardrechnungen mit Vektoren:


1. Für zwei Punkte A und B gilt BA = − AB .

BA

AB
A
B

AC
  
AC .
2. Für drei Punkte A, B und C gilt AB + BC =

AB
A
3. Ist O der Ursprung, dann gilt für zwei Punkte A und B:
  
AB
= OB − OA
Beweis:
erste Möglichkeit:
  

OA + AB= OB | − OA
  
AB
= OB − OA
zweite Möglichkeit:
  
   
AB =
AO + OB =
−OA + OB =
OB − OA
C

BC
B

AB
B
A

OB

OA
O
Merke: Verbindungsvektor = Ortsvektor des Endpunkts minus Ortsvektor des Anfangspunkts
4. Der Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A ( a1 | a2 | a3 ) und B ( b1 | b2 | b3 ) ist der
Punkt
 a + b a + b2 a3 + b3 
M 1 1 2
.
2
2 
 2
Merke: Koordinaten des Mittelpunkts = Mittelwerte der Koordinaten der Endpunkte
Der Ortsvektor des Mittelpunkts ist
    1   1  
 1  1 
OM = OA + AM = OA + ⋅ AB = OA + ⋅ OB − OA = OA + ⋅ OB − ⋅ OA
2
2
2
2
1  1  1  
= ⋅ OA + ⋅ OB = ⋅ OA + OB ,
2
2
2
also
  1  1  
OM = OA + ⋅ AB = ⋅ OA + OB .
2
2
(
(
)
)
(
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)
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Die Formeln für den Ortsvektor verwendet man nur bei „theoretischen“ Aufgaben, bei denen
keine Zahlen gegeben sind. Bei konkreten Aufgaben verwendet man immer die
„Mittelpunktsformel“!
5. Für Experten: Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC hat den Ortsvektor
 1   
OS = ⋅ OA + OB + OC .
3
Herleitung: siehe „Für Experten“.
(
)
6. Der Bildpunkt P ′ eines Punkts P bei der Spiegelung
an einem Punkt Z hat den Ortsvektor
  
OP
=′ OZ + PZ


= OP + 2 ⋅ PZ .
P

OP
 Z
PZ

OZ
P′

OP ′
O
Feststellung: Zwei Strecken PQ und RS sind genau dann parallel und gleich lang, wenn gilt:


PQ = ± RS .

DC
D
C
Folgerung: Ein Viereck ABCD ist genau dann ein Parallelogramm,
 
 
wenn gilt: AB = DC (oder äquivalent: AD = BC ).

AB
A
B
Standardaufgabe: Ergänze ein Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCD (mit den Punkten in
dieser Reihenfolge).
D
Lösung:
Der Punkt D hat den Ortsvektor
    
OD = OA + AD = OA + BC
C

OD
    
(oder: OD = OC + CD = OC + BA ).

AD

BC
A

OA
B
O
Lineare Abhängigkeit von Vektoren

 
Definition: Gegeben sind n Vektoren v1 , v2 , …, vn .
1. Ein Ausdruck, der sich in der Form



r1 ⋅ v1 + r2 ⋅ v2 +  + rn ⋅ vn
mit reellen Zahlen r1 , r2 , …, rn schreiben lässt, heißt eine Linearkombination der Vektoren

 
v1 , v2 , …, vn .
2. Ist (mindestens) einer der Vektoren eine Linearkombination der anderen Vektoren, dann
heißen die Vektoren linear abhängig; andernfalls heißen sie linear unabhängig.
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Lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren:
rechnerisch:


Zwei Vektoren u und v sind genau dann linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind, d. h.
 
wenn es eine Zahl r gibt mit r ⋅ u =
v.
geometrisch:
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig,
wenn zugehörige Pfeile parallel (bzw. antiparallel) sind.
oder

Folgerung: Zwei Strecken PQ und RS sind genau dann parallel zueinander, wenn die Vektoren PQ

und RS linear abhängig sind.
Folgerung: Ein Viereck ABCD ist

genau dann ein Trapez, wenn AB

und DC linear abhängig sind oder


wenn AD und BC linear abhängig
sind.
D

DC
D
C
oder
A

AB

AD
C

BC
B
B
A
Betrag eines Vektors
Schreibweise


1. Den Ortsvektor OP eines Punkts P bezeichnet man mit p .
Merke: Einen Punkt schreibt man mit einem Großbuchstabe ohne Pfeil, und einen Ortsvektor
schreibt man mit einem Kleinbuchstaben mit Pfeil.
2. Die Strecke mit den Endpunkten A und B bezeichnet man mit AB , und die Länge dieser
Strecke bezeichnet man ebenfalls mit AB oder mit AB . Den Abstand der Punkte A und B
(der gleich der Streckenlänge ist) bezeichnet man mit d ( A; B ) .
Definition: Der Betrag eines Vektors ist die Länge eines zu diesem Vektor gehörenden Pfeils.


Schreibweise: Den Betrag eines Vektors a bezeichnet man mit a .
Aus dem Satz des Pythagoras folgt der
a 
  1
Satz: Der Betrag eines Vektors a =  a2  ist
a 
 3

2
2
2
a = a1 + a2 + a3 .
Definition: Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt ein Einheitsvektor.
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 
Feststellung (Normierung eines Vektors): Für einen Vektor a ≠ o ist der Vektor
 1 
a=
 ⋅a
0
a
ein Einheitsvektor.

a

a0
Weg-Zeit-Gesetz eines Körpers, der sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt:
Ein Körper befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort A. Von da an bewegt er sich geradlinig mit

konstanter Geschwindigkeit und bewegt sich in einer Zeiteinheit um den Vektor v („Geschwindigkeitsvektor“). Dann befindet sich der Körper zum Zeitpunkt t am Ort P mit dem Ortsvektor
 

p = a + t ⋅v .

Die Geschwindigkeit (im umgangssprachlichen Sinn) des Körpers ist v .

Bestimmung des „Geschwindigkeitsvektors“ v :
 
• Befindet sich der Körper zum Zeitpunkt t = 1 am Ort B, dann ist v = AB .
 1 
• Befindet sich der Körper zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 3 am Ort C, dann ist v=
⋅ AC .
3
• Bewegt sich der Körper zum Beispiel mit der Geschwindigkeit v = 50 in Richtung des

Vektors u , dann ist


1 
v = 50 ⋅ u0 = 50 ⋅  ⋅ u .
u
Standardaufgabe (minimaler Abstand zweier Körper, die sich geradlinig mit konstanter
Geschwindigkeit bewegen):
Zwei Körper bewegen sich gemäß den Weg-Zeit-Gesetzen
 

 

p1 = a1 + t ⋅ v1 und p2 = a2 + t ⋅ v2 .
Wann haben die Körper minimalen Abstand, und wie groß ist dieser minimale Abstand?
Lösung:
Der Abstand der Körper zum Zeitpunkt t ist
d
d ( t ) = P1 P2 .
Bestimme (mit dem GTR) das Minimum der Funktion d für t ≥ 0 sowie den zugehörigen Zeitpunkt t.
Skalarprodukt und orthogonale Vektoren
a 
b 
  1
  1
Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a =  a2  und b =  b2  ist die Zahl
b 
a 
 3
 3
 
a ⋅ b= a1b1 + a2 b2 + a3 b3 .
Für das Rechnen mit dem Skalarprodukt gelten die „üblichen“ Rechengesetze, siehe „Für Experten“.
2  
Schreibweise für das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst: a = a ⋅ a
Definition: Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren heißen orthogonal zueinander, wenn
zugehörige Pfeile mit demselben Anfangspunkt orthogonal zueinander sind.
 
Schreibweise: a ⊥ b
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 
 
Satz (Beweis siehe „Für Experten“): Zwei Vektoren a ≠ o und b ≠ o sind genau dann orthogonal
zueinander, wenn gilt:
 
a ⋅b =
0.
Aufgabe: Untersuche ein Dreieck ABC auf besondere Eigenschaften.
Lösung:

 
1. Berechne die „Seitenvektoren“ AB , AC und BC .
 

2. Berechne die Seitenlängen, d. h. die Beträge AB , AC und BC . Daraus folgt, ob das
Dreieck gleichschenklig oder sogar gleichseitig ist.
 
   
3. Berechne die Skalarprodukte AB ⋅ AC , BA ⋅ BC und CA ⋅ CB . Daraus folgt, ob das Dreieck
rechtwinklig ist.
Aufgabe: Gegeben ist ein ebenes Viereck ABCD. Untersuche, um welche Art von Viereck es sich
handelt.
Lösung:
  

1. Berechne die „Seitenvektoren“ AB , BC , DC und AD .
• Wenn die Seitenvektoren gegenüberliegender Seiten gleich sind, dann ist das Viereck ein
Parallelogramm;
• wenn die Seitenvektoren eines Paares gegenüberliegender Seiten linear abhängig sind,
dann ist das Viereck ein Trapez.
2. a) Wenn das Viereck ein Parallelogramm ist:
i) Berechne die Längen zweier benachbarter Seiten, beispielsweise der Seiten AB und
AD . Wenn diese Seiten gleich lang sind, dann ist das Parallelogramm eine Raute.
ii) Prüfe (mithilfe des Skalaprodukts), ob zwei benachbarte Seiten, beispielsweise AB
und AD , orthogonal zueinander sind. Falls ja, dann ist das Parallelogramm ein
Rechteck.
iii) Wenn zwei benachbarte Seiten gleich lang und orthogonal zueinander sind, dann ist
das Parallelogramm ein Quadrat.
b) Wenn das Viereck ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist: Berechne die Länge der
Schenkel. Daraus folgt, ob das Trapez gleichschenklig ist.
c) Wenn das Viereck kein Trapez ist: Berechne alle Seitenlängen. Daraus folgt, ob das
Viereck ein Drachen ist.


 
Aufgabe: Gegeben ist ein Vektor n ≠ o . Bestimme zwei linear unabhängige Vektoren u und v , die

orthogonal zu n sind.
Lösung:

• Erster Sonderfall: Zwei Koordinaten von n sind Null.
 2
0
0
  
  
  
Beispiel: Zu n =  0  sind z. B. die Vektoren u =  1  und v =  0  orthogonal.
0
0
1
 
 
 

• Zweiter Sonderfall: Genau eine Koordinate von n ist Null.
 3
 2
0
  
  
  
Beispiel: Zu n =  3  sind z. B. die Vektoren u =  0  und v =  −2  orthogonal.
 0
0
1
 
 
 
zus_vektoren
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•
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
Allgemeiner Fall: Keine Koordinate von n ist Null.
 4
 2
 3
  
  
  
Beispiel: Zu n =  3  sind z. B. die Vektoren u =  −2  und v =  0  orthogonal.
 −2 
 4
 0
 
 
 
Merke: Vertausche zwei Koordinaten und ändere bei einer davon das Vorzeichen. Setze die
dritte Koordinate Null.
Vektorprodukt
b 
a 
  1
  1
Definition: Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren a =  a2  und b =  b2  ist der
b 
 
 3
 a3 
Vektor
 a b − a3 b2 
   2 3

a ×=
b  a3 b1 − a1b3  .
ab −a b 
2 1 
 1 2
Das Vektorprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert.
Satz (Beweis durch Nachrechnen): Das Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Vektoren ist
orthogonal zu den beiden Vektoren.
Durch Nachrechnen ergibt sich, dass das Vektorprodukt zweier linear abhängiger Vektoren der Nullvektor ist.
Weiter unten wird begründet, warum das Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Vektoren nicht
der Nullvektor ist.


Standardaufgabe: Gegeben sind zwei linear unabhängige Vektoren u und v . Bestimme einen



Vektor n , der orthogonal zu u und zu v ist.
  
Lösung: n= u × v
Ergänzungen:



1. Im Sonderfall, dass bei u und v dieselbe Koordinate Null ist, kann man einen Vektor n im
u 
v 
  1
  1
Kopf bestimmen. Ist beispielsweise u =  u2  und v =  v2  , dann kann man den Vektor
0
0
 
 
 0
  
n =  0  nehmen.
1
 

2. Man kann einen Vektor n auch mithilfe eines LGS bestimmen, was aber mehr Rechenaufwand ist.
zus_vektoren
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
Feststellung (Beweis durch Nachrechnen): Für zwei Vektoren a und b gilt
 
 
b × a =− a × b .
(
)
 
 
Daraus folgt für die Beträge: b × a = a × b .


Satz (ohne Beweis): Das von den Vektoren a und b
aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt
 
A= a × b .

b

a


Wenn die Vektoren a und b linear unabhängig sind, dann ist der Flächeninhalt des Parallelogramms
nicht Null. Also ist das Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Vektoren nicht der Nullvektor.
Merke:
• Das Vektorprodukt ist orthogonal zu den beiden
Vektoren.
• Der Betrag des Vektorprodukts ist der
Flächeninhalt des von den beiden Vektoren
aufgespannten Parallelogramms.
 
a×b
 
A= a × b

b

a
D
Also hat ein Parallelogramm ABCD den Flächeninhalt
 
=
A AB × AD .
C
B
A


Folgerung: Das von den Vektoren a und b aufgespannte
Dreieck hat den Flächeninhalt
1  
=
A
a×b .
2

b

a
C
Also hat ein Dreieck ABC den Flächeninhalt
1  
A
AB × AC .
=
2
A
B
Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks:
1. Beliebiges Dreieck:
• erste Möglichkeit: mit dem Vektorprodukt
• zweite Möglichkeit: mit Grundseite und Höhe:
Ein Dreieck mit der Grundseite g und der zugehörigen Höhe h
hat den Flächeninhalt
1
=
A
g ⋅h.
2
h
g
Achtung: Die Höhe eines beliebigen Dreiecks können wir noch nicht bestimmen!
zus_vektoren
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LGÖ Ks
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2. Sonderfälle:
a) Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b
hat den Flächeninhalt
1
=
A
a ⋅b .
2
a
b
b) Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist die
Entfernung des Mittelpunkts der Grundseite zur
gegenüberliegenden Ecke

h = MC .
C
h
Man kann die Höhe auch berechnen, indem man den
Satz des Pythagoras auf ein Teildreieck anwendet.
M
c) Für Experten:
Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a hat den
Flächeninhalt
3 2
A=
a .
4
Herleitung: siehe „Für Experten“.
a
Hinweis: Wenn man von einem Dreieck weiß, dass es rechtwinklig bzw. gleichschenklig ist, dann
1
1
berechnet man den Flächeninhalt am einfachsten mit =
A
a ⋅ b bzw. mit =
A
g ⋅ h . Wenn man
2
2
von einem Dreieck nichts weiß, dann berechnet man den Flächeninhalt am einfachsten mit dem
Vektorprodukt.
Jedes Viereck lässt sich in zwei Teildreiecke zerlegen. Also kann man den Flächeninhalt eines
Vierecks berechnen, indem man die Flächeninhalte der beiden Teildreiecke addiert:
D
Satz: Ein ebenes Viereck ABCD hat den Flächeninhalt
1   1  
A=
AB × AC + AC × AD .
2
2
C
A
B
Berechnung des Flächeninhalts eines Vierecks:
• immer möglich: mit dem Vektorprodukt
• Sonderfälle:
•
Ein Quadrat mit der Seitenlänge a hat den Flächeninhalt
A = a2 .
a
•
Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b hat den
Flächeninhalt
A= a ⋅ b .
zus_vektoren
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b
a
LGÖ Ks
•
•
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Eine Raute bzw. ein Drachen mit den Diagonalenlängen
e und f hat den Flächeninhalt
1
=
A
e⋅ f .
2
f
f
e
e
weitere Sonderfälle:
•
•
Ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge a und der
zugehörigen Höhe ha hat den Flächeninhalt
A= a ⋅ ha .
ha
a
c
Ein Trapez mit den parallelen Seiten a und c und der
Höhe h hat den Flächeninhalt
1
A=
(a + c) ⋅ h .
2
h
a
Achtung: Die Höhe eines beliebigen Parallelogramms und eines beliebigen Trapezes können wir
noch nicht bestimmen!
•
Mc c
Für Experten:
Die Höhe eines symmetrischen Trapezes ist die
Entfernung der Mittelpunkte der Grundseiten:

h = MaMc .
b
Man kann die Höhe auch berechnen, indem man den Satz
des Pythagoras auf ein Teildreieck anwendet
h
h
b
Ma a
Hinweis: Wenn man von einem Viereck weiß, dass es ein Quadrat bzw. ein Rechteck bzw. eine
Raute oder ein Drachen ist, dann berechnet man den Flächeninhalt am einfachsten mit A = a 2 bzw.
1
mit A= a ⋅ b bzw. mit =
A
e ⋅ f . Den Flächeninhalt eines Parallelogramms ABCD berechnet man
2
 
am einfachsten mit=
A AB × AD , und den Flächeninhalt eines beliebigen Vierecks ABCD
1   1  
berechnet man am einfachsten mit A =
AB × AC + AC × AD .
2
2
Volumenberechnungen:
Ein Prisma bzw. ein Zylinder mit der
Grundfläche G und der Höhe h haben
das Volumen
V= G ⋅ h ..
zus_vektoren
h
h
G
11/14
G
LGÖ Ks
M 12
Eine Pyramide bzw. ein Kegel mit der
Grundfläche G und der Höhe h haben
das Volumen
1
=
V
G ⋅ h ..
3
Schuljahr 2016/2017
h
h
G
G
Achtung: Die Höhe einer Pyramide bzw. eines Kegels können wir vorläufig nur bestimmen, wenn
der Mittelpunkt der Grundfläche bekannt ist!
Für Experten
Rechengesetze für Vektoren:


1. a) Für alle Vektoren u und v gilt
   
u + v = v + u (Kommutativgesetz der Addition).

 
b) Für alle Vektoren u , v und w gilt
     
u + v + w =u + v + w (Assoziativgesetz der Addition).

2. Für alle reellen Zahlen r und s und für jeden Vektor u gilt


( r ⋅ s ) ⋅ u = r ⋅ s ⋅ u (Assoziativgesetz der Multiplikation).


3. Für alle reellen Zahlen r und s und für alle Vektoren u und v gilt



 


r ⋅ u + v = r ⋅ u + r ⋅ v und ( r + s ) ⋅ u = r ⋅ u + s ⋅ u (Distributivgesetze).
(
)
(
)
( )
(
)
 


Schreibweise: Für u + −v schreibt man u − v .
( )
C
Beweis der Formel für den Schwerpunkt eines Dreiecks:
Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC hat den Ortsvektor
 1   
OS = ⋅ OA + OB + OC .
3
(
)
M AC
A
zus_vektoren
12/14
M BC
S
M AB
B
LGÖ Ks
M 12
Schuljahr 2016/2017
Beweis:
Setze voraus: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt. Er teilt die
Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 :1 , wobei die längere Teilstrecke am Eckpunkt anliegt.
    2   2    2  1    
OS = OA + AS = OA + AM BC = OA + OM BC − OA = OA +  OB + OC − OA
3
3
3 2

 2  1  1   
=
OA +  OB + OC − OA 
32
2

 1  1  2 
=OA + OB + OC − OA
3
3
3





1
1
1
=
OA + OB + OC
3
3
3





1
=
OA + OB + OC
3
(
(
)
(
)
)
Eigenschaften des Betrags:



 
1. Für jeden Vektor a ist a ≥ 0 , und es ist a = 0 genau dann, wenn a = o ist.



2. Für jede reelle Zahl r und jeden Vektor a ist r ⋅ a = r ⋅ a .


   
3. Für alle Vektoren a und b gilt a + b ≤ a + b (Dreiecksungleichung)

 
Rechengesetze für das Skalarprodukt: Für alle Vektoren a , b und c und alle reellen Zahlen r gilt
   
1. a ⋅ b = b ⋅ a (Kommutativgesetz)
  
   
      
2. a ⋅ b + c = a ⋅ b + a ⋅ c und a + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (Distributivgesetze)
   
 
3. ra ⋅ b = a ⋅ rb = r a ⋅ b
(
( )
)
( ) ( )
(
)
v 
2
  1
2
2
2
2
2
2
2
Für einen Vektor v =  v2  ist v = v1 + v2 + v3
= v1 + v2 + v3
v 
 3
v  v 
2    1   1 
 2 2
2
2
2
und v = v ⋅ v =  v2  ⋅  v2  = v1v1 + v2 v2 + v3 v3 = v1 + v2 + v3 , also v = v .
v  v 
 3  3
)
(
 
 
Beweis des Satzes: Zwei Vektoren a ≠ o und b ≠ o sind genau dann orthogonal zueinander, wenn
gilt:
 
a ⋅b =
0.
Beweis:
C
Nach dem Satz des Pythagoras hat ein Dreieck ABC genau
dann bei C einen rechten Winkel, wenn gilt:
a 2 + b2 =
c2 .
b
A
zus_vektoren
13/14
a
c
B
LGÖ Ks
M 12
Daraus folgt:


Zwei Vektoren a und b sind genau dann orthogonal
zueinander, wenn gilt:
2 2 2
a +b =
c
 2 2 2

   
a + b =c
c =−b + a =a − b
 2 2
  2
a +b = a−b
 2 2  2
  2
a + b = a − 2a ⋅b + b
 
−2 a ⋅ b
0=
 
0= a ⋅ b
(
Schuljahr 2016/2017

b

a

c
)

Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen
Dreiecks:
In einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge a gilt nach dem
Satz des Pythagoras für die Höhe h:
2
a
h +  =
a2
2
a
2
h
2
a2 3 2
a
= a
h = a −   = a2 −
4 4
2
2
2
3 2
3
3
=
=
a
a
a
4
4
2
Also hat ein gleichseitiges Dreieck den Flächeninhalt
1
1
3
1 3
A=
a ⋅ h=
a⋅
a=
⋅
⋅ a ⋅ a=
2
2
2
2 2
a
2
=
h
3 2
a .
4
 

Kriterium für die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren: Drei Vektoren a , b und c sind genau dann
linear abhängig, wenn ihr Spatprodukt Null ist, d. h. wenn gilt:
  
a×b ⋅c =
0.
(
)

 
Begründung: Drei Vektoren a , b und c sind bekanntlich genau dann linear abhängig, wenn
zugehörige Pfeile mit demselben Anfangspunkt in einer Ebene liegen. Das ist genau dann der Fall,

 
wenn der von den Vektoren a , b und c aufgespannte Spat das Volumen Null hat. Dieser Spat hat
  
das Volumen a × b ⋅ c .
(
zus_vektoren
)
14/14