3.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement 3.2.3.1

3.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement
Im Folgenden betrachten wir Problemstellungen, bei
denen die Nachfrage nicht exakt prognostiziert
werden kann
Das heißt, obwohl die Nachfrage unsicher ist, ist eine
Bestellmenge festzulegen
Dazu arbeiten wir mit stochastischen Verteilungen
der Nachfrage
Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung
einperiodischer Modelle, d.h. es wird lediglich eine
Periode betrachtet, für die eine optimale
Bestellmenge zu ermitteln ist
Business Computing and Operations Research
368
3.2.3.1 Einperiodisches Bestandsmanagement
Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich ein
Bestellvorgang betrachtet
Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu ermitteln
Dabei handelt es sich meist um Anwendungen mit
sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die – falls
nicht verkauft – in den Folgeperioden nicht mehr
verwendbar sind
Mögliche Beispiele sind hierfür
Tageszeitungen
Leicht verderbliche Lebensmittel
Aktionswaren
Extreme Modeartikel
Business Computing and Operations Research
369
Newsvendor Problem
Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so genannte
„Newsvendor or Newsboy Model“, d.h. das
„Zeitungsverkäufermodell“
Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet
Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen er
bestellt
Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten zu
entrichten
Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro
verkaufter Zeitung
Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v Euro
zurückzugeben
Offensichtlich gilt: r > c > v
Business Computing and Operations Research
370
Computer Journal at Mac‘s
(vgl. Nahmias (2005))
Wir betrachten ein einfaches Beispiel
Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden
Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The
Computer Journal“
Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf
und veräußert es zu r=75 Cents
Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10
Cents zurückgegeben werden
Mac möchte ein effizientes Bestandsmanagement
installieren und erfasst hierzu die Häufigkeit der
Nachfrage
371
Business Computing and Operations Research
Nachfrage der letzten 52 Wochen
Nachfrage
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
21
2
2
2
25
2
27
2
2
3
31
3
3
3
35
3
37
3
3
4
41
4
4
4
45
4
47
4
4
50
51 52
Tag
Mittelwert der Reihe ist 11,7307692
Standardabweichung ist 4,74079246
372
Business Computing and Operations Research
Resultierende Häufigkeiten
Häufigkeit
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Nachfrage
Business Computing and Operations Research
373
Daten der diskreten Verteilung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
374
Business Computing and Operations Research
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
Business Computing and Operations Research
375
Optimale Bestellmenge
Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um sein
Bestandsmanagement zu verbessern, d.h. es sind die
Kosten zu minimieren, deren Höhe von der
Bestellmenge beeinflusst wird
Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu
untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehl- oder
Überschussmengen verursacht werden
Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren und in
ihrer Häufigkeit zu bewerten
Business Computing and Operations Research
376
Entwicklung einer Kostenfunktion
Werden zu wenige Einheiten bestellt, d.h. es gibt Fehlmengen,
treten die erzielbaren Erlöse als Opportunitätskosten auf.
Hier gibt es einen Unterbestand und wir setzen als
Unterbestandskostensatz cu an (Unit Underage Cost)
Im Fall zu großer Bestellmengen ist dagegen die Differenz aus
Bestellkosten und Rückgabeerlös anzusetzen.
Hier gibt es einen Überbestand und wir setzen als
Überbestandskostensatz co an (Unit Overage Cost)
co = c − v
cu = r − c
Es muss gelten r > c > v
Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der
Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen
Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge S
Business Computing and Operations Research
377
Übergang zur stetigen Variante
Im Folgenden wollen wir uns stetigen Nachfragefunktionen
zuwenden
Warum?
Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten Verteilungen
erkennen (siehe zum Beispiel der Tests auf Normalverteilung)
Dies verbessert die Analysierbarkeit der Zusammenhänge
Zudem können die Instrumente der Infinitesimalrechnung
genutzt werden
Zunächst wird nur eine beliebige stetige Verteilung
herangezogen, um allgemeine Ergebnisse erzielen zu können
Business Computing and Operations Research
378
Eigenschaften der stetigen Variante
Gegeben sei eine Zufallsvariable y, die für die Nachfrage steht
Wir unterstellen eine beliebige stetige Nachfrageverteilung
Deren Dichtefunktion f(y) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass genau y Güter nachgefragt werden
Deren Verteilungsfunktion F(y) gibt an, dass 0 bis einschließlich y
Güter nachgefragt werden
Falls f(y) bzw. F(y) nicht geben ist, sind Wertetabellen einsehbar
Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen Nachfragen
geben kann, d.h. f(y)=0 für y<0
Beachte, dass dies keine triviale Annahme ist. Zum Beispiel lässt
die Normalverteilung bei geringen Mittelwerten und (relativ
hierzu) größeren Varianzen durchaus positive
Wahrscheinlichkeiten für negative Nachfragemengen zu
Darüber hinaus werden aber keine weitere Annahmen an den
genauen Verlauf der Nachfrageverteilung gestellt
Business Computing and Operations Research
379
Die stetige Kostenfunktion
Wir betrachten somit im Folgenden die
Kostenfunktion
∞
S
Z ( S ) = co ⋅
∫ ( S − y ) ⋅ f ( y ) dy + c ⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
u
y=0
y =S
Vorgehen
Wie können wir die optimale Bestellmenge
bestimmen?
Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S
zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden
Business Computing and Operations Research
380
Leibnizregel
Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die so
genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein
∂Z ( S ) ∂
=
∂S
∂S
a2 ( S )
∫
a2 ( S )
=
h ( y,S ) dy
y = a1( S )
∫
y = a1( S )
∂h ( y,S )
∂a ( S )
∂a ( S )
dy + h ( a2 ( S ) ,S ) ⋅ 2
− h ( a1 ( S ) ,S ) ⋅ 1
∂S
∂S
∂S
Diese können wir nun einfach auf unser Problem
anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die
Substitution
a1 (S ) = 0, a2 (S ) = S , h( y,S ) = (S − y ) ⋅ f ( y )
Business Computing and Operations Research
381
Integral 1
Damit erhalten wir

 ∂a (S ) 

∂ (S − y ) ⋅ f ( y )
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2
− h a
(S ),S  ⋅ ∂a1 (S )
 ∂S
 1

∂
S
∂S
y =0
=0

S
 =
 
=1
=0
S
∫
= ( S − S )⋅ f ( y )
= ( 0 − S )⋅ f ( y )
∂S ⋅ f ( y ) − y ⋅ f ( y )
= ∫
dy = ∫ f ( y )dy = F (S ) − F (0) = F (S )
∂S
y=0
y=0
S
S
Für das zweite Integral ergibt sich die Substitution
a1 (S ) = S , a2 (S ) = ∞, h( y,S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y )
Business Computing and Operations Research
382
Integral 2
Damit erhalten wir
k
lim k →∞
∫
y=S

 ∂a (S ) 
 ∂a (S )
∂( y − S )⋅ f ( y )
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2
− h a1 (S ),S  ⋅ 1
 ∂S
  ∂
∂S
S  =S
=k
  
= ( S − k )⋅ f ( y )
=0
=( S − S )⋅ f ( y )=0
=1
∂ ( y ⋅ f ( y ) − S ⋅ f ( y ))
= ∫
dy = ∫ − f ( y )dy = − 1 + F (S )
∂S
y=S
y =S
∞
∞
Damit ergibt sich als erste Ableitung
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S ))
Business Computing and Operations Research
383
Und als zweite Ableitung
ergibt sich somit
∂ (co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )))
= co ⋅ f (S ) + cu ⋅ f (S )
∂S
Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer oder
gleich Null für alle Werte von S und somit konvex
Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung
Minima der Kostenfunktion
Wir berechnen also die optimale Bestellmenge durch
Nullsetzen der ersten Ableitung
Business Computing and Operations Research
384
Berechnung der optimalen Bestellmenge
Wir erhalten somit
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )) = 0
⇔ co ⋅ F (S ) − cu + cu ⋅ F (S ) = 0
⇔ (co + cu ) ⋅ F (S ) = cu ⇔ F (S ) =
cu
co + cu
 c 
cu
⇔ S = F −1  u , mit CR =
c
+
c
c
o + cu
 o u
Man bezeichnet CR als das Critical ratio
Es gilt für alle Nachfrageverteilungen
Business Computing and Operations Research
385
CR – Beispielrechnung
Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben
c=1€
r=3€
v=0,5€
Damit gilt
co = c − v = 1 − 0,5 = 0,5€
cu = r − c = 3 − 1 = 2€
⇒ CR =
2
2
=
= 0,8
2 + 0,5 2,5
Business Computing and Operations Research
386
Zurück zur diskreten Variante
Da man davon ausgeht, dass die jeweilige diskrete
Verteilung durch eine stetige angenähert werden
kann, sind unsere Ergebnisse der stetigen Version
auch verwendbar für den diskreten Fall
Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen
Eingangsbeispiel
Das Mac Beispiel
Business Computing and Operations Research
387
CR – Für das Mac Beispiel
Hier war die folgende Parameterkonstellation
gegeben
c=25 Cents
r=75 Cents
v=10 Cents
Damit gilt
co = c − v = 25 − 10 = 15 Cents
cu = r − c = 75 − 25 = 50 Cents
⇒ CR =
50
= 0,76923
65
Business Computing and Operations Research
388
Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren?
Wir wählen bei einer beliebigen Nachfrageverteilung
die Bestellmenge, die in 80 Prozent aller Fälle keine
Fehlmengen verursacht, d.h. es gilt
Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8
Für das Beispiel Mac
CR=0,76923
Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert
0,76923 annimmt
Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln
389
Business Computing and Operations Research
Daten der diskreten Verteilung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
390
Business Computing and Operations Research
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
Business Computing and Operations Research
391
Konsequenz
Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich zwischen 14
und 15 angenommen
Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten und
nach einer genaueren Betrachtung 15 als optimale
Bestellmenge
392
Business Computing and Operations Research
Unterstellung einer Normalverteilung
Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung als
Nachfragefunktion unterstellen
Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine
Informationen zur Normalverteilung
Sie besitzt die Dichtefunktion
 1  x − µ 2 
 − ⋅

 2  σ  
1

f ( x) =
⋅ e
,
σ ⋅ 2⋅π
mit µ als Erwartungswert und σ als Standardabweichung
393
Business Computing and Operations Research
Eigenschaften
Es gilt
 1  t − µ 2 
 
σ  
µ
− ⋅
 2 
1
F (µ) = ∫
⋅ e
−∞ σ ⋅ 2 ⋅ π
dt =
1
2
und

1  x−µ 

σ 
− ⋅
 2 
1
f ( x) =
⋅ e
σ ⋅ 2⋅π
= f (− x + 2 ⋅ µ )
2



 1  ( − x + 2 ⋅µ ) − µ  2 
 − ⋅
 
2
σ
 

1
=
⋅ e
σ ⋅ 2⋅π
Business Computing and Operations Research
394
Konsequenzen
Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung
Median und Mittelwert
Die Normalverteilung ist offensichtlich symmetrisch
395
Business Computing and Operations Research
Die zugehörige Verteilungsfunktion…
ist leider nicht analytisch berechenbar
Daher wird oft der Spezialfall mit µ=0 und σ=1 betrachtet
Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte
Standardnormalverteilung N(0,1)
Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen verfügbar
Daher wäre es wünschenswert die allgemeine
Normalverteilung hierauf zurückzuführen
Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der
Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden
Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen
Verteilungsfunktion herleiten
396
Business Computing and Operations Research
Eigenschaften der Standardnormalverteilung
Dichtefunktion
f01 ( x ) = ϕ ( x ) =
1
2⋅π
⋅e
 x2 
−

 2 


Verteilungsfunktion
x
F01 ( x ) = Φ ( x ) =
∫
−∞
 t2 
− 
2 


1
⋅ e
2⋅π
Business Computing and Operations Research
dt
397
Transformation der Normalverteilung N(µ,σ)
Es gilt die folgende z-Transformation
 x− µ
F ( x ) = F01 
=
 σ 
x− µ
=z
σ
∫
−∞
1
2⋅π
⋅e
 t2 
− 
 2 


dt
Diese lässt sich leicht durch die folgende Beziehung
zeigen. So gilt
 1 x− µ 2 
 x− µ
 
 − ⋅
∂F01 



 σ  = F ′  x − µ  ⋅ 1 = f  x − µ  ⋅ 1 = 1 ⋅ e 2  σ   ⋅ 1 = f x
( )
01 
01 


∂x
σ
2π
 σ  σ
 σ  σ
Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung
Business Computing and Operations Research
398
Grundsätzliche Folgerungen
Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung
hergestellt“ und wir können nun formulieren
Falls die Zufallsvariable x nach N(µ,σ) verteilt ist, gilt
a−µ
P ( x ≥ a ) = 1 − F ( a ) = 1 − F01 

 σ 
Damit gilt für Intervalle
P ( a ≤ x ≤ b ) = P ( x ≥ a ) − P ( x ≥ b ) = 1 − F ( a ) − (1 − F ( b ) )
a−µ
b− µ
b− µ
a−µ
= 1 − F01 
 − 1 + F01 
 = F01 
 − F01 

 σ 
 σ 
 σ 
 σ 
Business Computing and Operations Research
399
α – Quantil
Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert z(α), bei
dem gilt
F01 ( z ( α ) ) = P ( x ≤ z ( α ) ) = α
Daraus folgt unmittelbar
z ( α ) = F01−1 ( α )
Da aber auch die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung nicht analytisch
bestimmbar ist, kommt die folgende numerische
Näherung der z-Transformation zur Anwendung
S ∗ ( α ) = µ + z (α ) ⋅ σ , mit α − Quantil der Standardnormalverteilung
Business Computing and Operations Research
400
Konsequenz
Erinnern wir uns: Für das Critical Ratio CR gilt F(S*)=CR
Für die Standardisierung der Zufallsvariable S*
erhalten wir somit
 x − µ S* − µ
F (S* ) = P x ≤ S * = P 
≤
 σ
σ

(
)

 = F01 ( z ( CR ) ) = CR

Das Critical Ratio CR also ein CR – Quantil der
Standardnormalverteilung
Die optimale Bestellmenge wird über die
Rücktransformation erhalten
S ∗ = µ + z ( CR ) ⋅ σ
401
Business Computing and Operations Research
Konsequenz
F01 ( z )
CR
z
f 01 ( z )
z ( CR )
F01 ( z ( CR ) ) =
∫
f 01 ( z ) ⋅ dz = CR
−∞
z ( CR ) =
S* − µ
z
σ
Business Computing and Operations Research
402
Das Mac Beispiel
In dem Mac Beispiel galt CR=0,8. Aus der numerischen
Näherung der Standardnormalverteilung ergibt sich
z ( CR ) = F01−1 ( 0,8 ) ≈ 0,84
Seien die folgenden Daten gegeben
µ = 100 Stück, σ = 20 Stück
S ∗ = µ + z ( CR ) ⋅ σ ≈ 100 + 0 ,84 ⋅ 20 = 117 Stück
Wir wählen somit für eine stochastisch unabhängige
und normalverteilte Nachfrage eine Bestellmenge von
117 Stück
Business Computing and Operations Research
403
Die Näherung der Standardnormalverteilung
z(α)
α = F01(z(α))
0,69
0,755
0,71
0,76
0,72
0,765
0,74
0,77
0,755
0,775
0,78
0,78
0,79
0,785
0,81
0,79
0,825
0,795
0,84
0,8
0,86
0,805
0,88
0,81
404
Business Computing and Operations Research
Erwartete Fehlmenge J(S)
Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S
∞
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
J (S ) =
y =S
Damit gilt
∞
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy = lim
J (S ) =
k
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
k →∞
y=S∗
y =S
k
= limk →∞
∫ ( y − S)⋅ σ ⋅
y=S
1
⋅e
2⋅π
 1  y − µ 2 
 − ⋅

 2  σ  


dy
405
Business Computing and Operations Research
Erwartete normierte Fehlmenge L(z)
Analog hierzu wird die erwartete normierte
Fehlmenge für z vereinbart
∞
∫ ( y − z ) ⋅ ϕ ( y ) dy
L( z) =
y= z
Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*)
L ( z∗ ) =

∞
∫ ( y − z )⋅
∗
y = z∗
∞
=
∫
y = µ+ z ∗ ⋅σ
1

2
 − ⋅y 
1
⋅ e 2  dy =
2⋅π
1
 y − µ ∗
− z ⋅
⋅e

 σ
 2⋅π
 1
∞
∫ ( y − µ − z )⋅
∗
y = µ + z∗
 1  y − µ 2 
 − ⋅

 2  σ  


dy =
2
 − ⋅( y − µ ) 
1

⋅ e 2
dy
2⋅π
1
⋅ J (S∗ )
σ
⇒ σ ⋅ L ( z∗ ) = J ( S ∗ )
Business Computing and Operations Research
406
Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z)
Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige
Eigenschaft der erwarteten normierten Fehlmenge
 1 2
 1 2
z


 − ⋅z 
− ⋅y 
1
1
⋅ e 2  − z ⋅  1 − ∫ ( y − z ) ⋅
⋅ e  2  dy 
 y =−∞

2⋅π
2
⋅
π


L( z) =
z


= φ ( z ) − z ⋅  1 − ∫ Φ ( y )dy  = f 01 ( z ) − z ⋅ (1 − F01 ( z ) )
 y =−∞



Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte
Darstellung der erwarteten optimalen Kosten
407
Business Computing and Operations Research
Erwartete optimale Kosten
Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge S*
formulieren
S∗
( )
∫ (S
Z S ∗ = co ⋅
∗
∞
)
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
− y ⋅ f ( y )dy + cu ⋅
∗
y =S ∗
y =0
S
S
∞
∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy + S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy 


y =0
y =0
y =S ∗
y =S ∗
y =S ∗
y =S ∗


∗
∗
∞
+ cu ⋅
∫ (y − S )⋅ f ( y )dy
∗
y=S
∞
∞
∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y =0
y =0
y =S
y= S∗
y =S ∗


∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅1 − µ − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y =S
y =S ∗
y=S∗


(
(
)
)
∞
∞


= co ⋅  S ∗ − µ + ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y =S
y =S ∗


(
)
(
)
Business Computing and Operations Research
408
Erwartete optimale Kosten
∞
∞
 ∗

Z ( S ∗ ) = co ⋅  S
− µ + ∫ ( y − S ∗ ) ⋅ f ( y ) dy  + cu ⋅ ∫ ( y − S ∗ ) ⋅ f ( y ) dy
 ∗

∗
y=S
y=S
 = z ⋅σ

∞
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy = c
∗
o
⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ L ( z ∗ )
y=S
= J ( S ∗ ) =σ ⋅ L ( z ∗ )






= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅  f 01 ( z ∗ ) − z ∗ ⋅  1 − F01 ( z ∗ )  

  

 =1− cu = co  
 cu + co cu + co  

co
∗
∗
= co ⋅ z ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ) − ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ z ∗ ⋅
cu + co
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ ) − co ⋅ σ ⋅ z ∗ = ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ )
Business Computing and Operations Research
409
Damit ergeben sich für Z(S*)
Es gilt somit
Z ( S ∗ ) = ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ ) = (1 − 0, 5 + 3 − 1) ⋅ 20 ⋅ f 01 ( 0, 84 )
= 2, 5 ⋅ 20 ⋅ 0, 28 = 14
Damit ergibt sich als optimaler Gewinn
Π ( S ∗ ) = cu ⋅ µ − Z ( S ∗ ) = ( 3 − 1) ⋅ 100 − Z ( S ∗ ) = 200 − 14 = 186
Business Computing and Operations Research
410
Konsequenzen
Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des
Erwartungswertes als auch die Höhe der Standardabweichung
einen signifikanten Einfluss auf den erwarteten Gewinn haben
Triviale Erkenntnis
Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes)
desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete
Gewinn
Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der
Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und
mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei
Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose
(hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential)
Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren
Abweichungen zu arbeiten
Business Computing and Operations Research
411
Folge: Idealer Extremfall
Bei sicherer Nachfrageprognose ohne Abweichungen
ergeben sich keinerlei erwartete Kosten mehr
So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der nun
sicheren erwarteten Nachfrageprognose auszurichten
Business Computing and Operations Research
412
Z(S*) bei Halbierung von σ
Es gilt nun
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0,84 ⋅ σ = 100 + 0,84 ⋅10 ≈ 109
Erwartete Kosten
( )
( )
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ = (0,5 + 2) ⋅10 ⋅ f 01 (0,84)
= 2,5 ⋅10 ⋅ 0,28 = 7
Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn
( )
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅100 − Z S ∗ = 200 − 7 = 193
Business Computing and Operations Research
413
Diskrete Variante
Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten
Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf
Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage für
kleinere n Poisson verteilt ist
Hierzu zunächst einige Informationen zur
Poissonverteilung
Business Computing and Operations Research
414
Informationen zur Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur abzählbar
viele Ausprägungen auf
Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli Experimenten
(2 mögliche Ausgänge)
Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert durch
p( X = y ) = p y =
λ y −λ
⋅ e , mit λ als Ereignisrate
y!
Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und Varianz der
Verteilung
Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer dann an,
wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind
Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen Unendlich
nähert sich die speziell parametrisierte Poissonverteilung der
Standardnormalverteilung
Business Computing and Operations Research
415
Erwartungswert der Poissonverteilung
Es gilt für den Erwartungswert:
∞
∞
y =0
y =0
E ( X ) = ∑ y ⋅ py = ∑ y ⋅
∞
λ y −λ
λy
⋅ e = e− λ ⋅ ∑ y ⋅
y!
y!
y =0
λ y −1
= λ⋅e ⋅∑
=λ
y
− 1) !
(
y =1
∞
−λ
=e λ
416
Business Computing and Operations Research
Varianz der Poissonverteilung
Es gilt für die Varianz
∞
∞
(
)
Var( X ) = ∑ ( y − λ ) ⋅ p y = ∑ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ 2 ⋅ p y
2
y =0
∞
=∑
y=0
(
y=0
∞
∞
λy
λy
λ y −1
⋅ e− λ
y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ2 ⋅ ⋅ e−λ = ∑ y 2 ⋅ ⋅ e−λ − 2 ⋅ λ2 ⋅ ∑
y!
y!
y =0
y =1 ( y − 1)!
)
∞
+ λ2 ⋅ ∑
y=0
y
∞
λ
λy
λy
⋅ e − λ = ∑ y 2 ⋅ ⋅ e − λ − 2 ⋅ λ 2 + λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1) + y ) ⋅ ⋅ e− λ − λ 2
y!
y!
y!
y=0
y =0
∞
∞
= ∑ ( y ⋅ ( y − 1))⋅
y=0
∞
λ y −λ
λy
⋅ e + λ − λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1))⋅ ⋅ e − λ + λ − λ 2
y!
y!
y=0
∞
= λ 2 ⋅ ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅
y=2
∞
= λ2 ⋅ ∑
y=2
λ y −2
( y − 2)!
1
λ y −2
⋅
⋅ e−λ + λ − λ2
y ⋅ ( y − 1) ( y − 2 )!
⋅ e− λ + λ − λ2 = λ2 + λ − λ2 = λ
417
Business Computing and Operations Research
Erwartungswert der Kosten
Damit können wir die folgende Formel ansetzen
S ∗ −1
( )
((
)
∞
)
((
)
)
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y=S ∗
y =0
Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die
unendliche Summe
Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick
„entfernen“
Wir definieren wie folgt
∞
((
)
)
cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
y=S ∗
∞
((
)
)
S ∗ −1
((
)
)
= cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y ) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y =0
y=0
Business Computing and Operations Research
418
Direkte Vereinfachungen
Und erhalten schließlich als vereinfachten Ausdruck
∞
∞
S ∗ −1
y =0
y=0
y=0
((
)
)
)
)
= cu ⋅ ∑ ( y ⋅ p( X = y )) − S ∗ ⋅ cu ⋅ ∑ ( p ( X = y )) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
S ∗ −1
((
)
)
= cu ⋅ λ − S ∗ ⋅ cu ⋅1 − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y =0
Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten
S∗
( )
((
)
)
(
S ∗ −1
)
((
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗ − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
y =0
y =0
419
Business Computing and Operations Research
Erwartungswert der Kosten
Und damit erhalten wir
( )
Z S∗
S∗
((
)
S∗
)
((
)
)
((
)
)
(
= co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
y =0
y =0
S∗
S∗
((
)
)
)
= co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − cu ⋅ S ∗
y =0
y =0
S
∗
((
)
)
(
= (co + cu ) ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
)
y =0
420
Business Computing and Operations Research
Poissonverteilung mit Mittelwert 3
Nachfrage
Wahrscheinlichkeit
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
0
0,049787068
0,049787068
1
0,149361205
2
0,224041808
0,423190081
3
0,224041808
0,647231889
4
0,168031356
0,815263245
5
0,100818813
0,916082058
6
0,050409407
0,966491465
7
0,021604031
0,988095496
8
0,008101512
0,996197008
9
0,002700504
0,998897512
10
0,000810151
0,999707663
11
0,00022095
0,999928613
12
5,52376E-05
0,999983851
13
1,27471E-05
0,999996598
14
2,73153E-06
0,99999933
15
5,46306E-07
0,999999876
16
1,02432E-07
0,999999978
17
1,80763E-08
0,999999996
18
3,01272E-09
0,999999999
19
4,75692E-10
1
20
7,13538E-11
1
21
1,01934E-11
1
22
1,39001E-12
1
0,199148273
Business Computing and Operations Research
421
Beispiel – Bestimmung von S*
Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen
( )
S∗
((
)
)
(
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
)
y =0
4
= (0,5 + 2 ) ⋅ ∑ ((4 − y ) ⋅ p ( X = y )) + 2 ⋅ (3 − 4 )
y =0
= 2,5 ⋅ (0,19914827 + 0,44808362 + 0,44808362 + 0,22404184 ) − 2
= 2,5 ⋅ (1,31935731) − 2 = 1,298393275 ≈ 1,30
Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn
( )
( )
( )
Π S ∗ = cu ⋅ µ − Z S ∗ = ( 3 − 1) ⋅ 3 − Z S ∗ = 6 − 1,30 = 4,70
Business Computing and Operations Research
422
Servicegrade
Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände einfach
Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert
Problem dabei ist allerdings
dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind
So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von
Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur
Konkurrenz wechseln
Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig
Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte Qualität in
Form von zu erreichenden Servicegraden vorgeben und
ausgehend hiervon die Bestellmengen festlegen
Business Computing and Operations Research
423
α-Servicegrad
Idee:
Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0
und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in α
Prozent vielen Fällen vollauf befriedigt werden kann
Das heißt formal, dass wir das folgende Problem
betrachten
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung
F (S ) ≥ α
Business Computing and Operations Research
424
Beispielwerte
α
z(α)
0,895
1,25
0,9
1,29
0,905
1,31
0,91
1,34
0,915
1,37
0,92
1,41
0,925
1,44
0,93
1,48
0,935
1,51
0,94
1,56
0,945
1,6
0,95
1,64
Business Computing and Operations Research
425
α-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
Wir können somit S* direkt ermitteln durch
S ∗ = F −1 (α )
An unserem Beispiel (µ=100, σ=20) folgt für
α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64.20=132,8. Also
133 Stück
α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29.20=125,8. Also
126 Stück
Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1 einen
extrem ansteigenden Verlauf
Business Computing and Operations Research
426
β-Servicegrad
Idee:
Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete
Fehlmenge J(S)
∞
J (S ) =
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y )dy
y=S
Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der
Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h.
∞
J (S )
=
µ
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Business Computing and Operations Research
427
β-Servicegrad
Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge S in
der Lage, genau
∞
1−
J (S )
= 1−
µ
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Prozent der Nachfrage zu befriedigen
Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines βServicegrades
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung 1 −
J (S )
≥β
µ
428
Business Computing and Operations Research
β-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der
Normalverteilung
Unter Verwendung von J(S)=σ.L(z) gehen wir über zu
der normierten Funktion L(z)
Damit muss für S* gelten
( )
( )
( )
J S∗
σ ⋅ L z∗
µ − σ ⋅ L z∗
≥ β ⇔ 1−
≥β⇔
≥β
µ
µ
µ
(1 − β ) ⋅ µ ≥ L z ∗
⇔ µ − σ ⋅ L z ∗ ≥ β ⋅ µ ⇔ (1 − β ) ⋅ µ ≥ σ ⋅ L z ∗ ⇔
σ
1−
( )
( )
( )
Beachte dass L(z) eine fallende Funktion ist
Business Computing and Operations Research
429
Am Beispiel ergibt sich
Wir unterstellen wieder die obigen Daten
β = 0 ,95,µ = 100 ,σ = 20
5
= 0,25 ≥ L z ∗
σ
20
(1 − β ) ⋅ µ =
( )
Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen
erhalten wir
z ∗ = L−1 (0,25) ≈ 0,34
⇒ S ∗ = 100 + 0,34 ⋅ 20 = 106,8 ≈ 107
Business Computing and Operations Research
430