Nachname: Matrnr.: M3 ET 13.11.08 A Nr Aussage J/N 1.) In

Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
Matrnr.:
M3 ET 13.11.08 A
Aussage
In einer Urne liegen 2 rote, 4 grüne und eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeit, beim Herausnehmen mit einem Griff 2 verschiedenfärbige Kugeln zu
erhalten ist kleiner als 0.5
Bei einem Test hat man 3 Fragen mit ‘J’ oder ‘N’ zu beantworten und ist für
2 richtige positiv. Die Wahrscheinlichkeit bei zufälligem Ankreuzen positiv zu
sein, ist größer als 0.3
Ein aus Nullen und Einsen (“0”,“1”) gebildetes Wort der Länge 4 wird mit
Fehlerwahrscheinlichkeit 1/10 pro Zeichen 0 oder 1 übertragen, wobei die Fehler
pro Zeichen voneinander unabhängig sind. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein
Wort falsch ist, ist kleiner als 0.3
Die Firmen X,Y und Z haben Fehlerquoten 10%, 20% und 10% und tragen zur
Gesamtproduktion mit 70, 20 und 10 Prozent bei. Die Wahrscheinlichkeit, daß
jemand ein fehlerhaftes Produkt aus der Gesamtproduktion greift und dieses
von der Firma X produziert worden ist, wird durch P (F | X) wiedergegeben
Situation wie im vorigen Beispiel. Es beschreibt P (F ∩ Y ) die Wahrscheinlichkeit dafür, ein fehlerhaftes Produkt aus der Gesamtproduktion zu ziehen
und es von der Firma Y produziert worden ist
In 2 Urnen befinden sich jeweils 3 rote und 3 blaue Kugeln. Jede der beide
Urnen werde mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt und danach 4 Kugeln
gezogen. A sei das Ereignis 3 rote und 1 blaue Kugel gezogen zu haben und B
jenes, 2 rote und 2 blaue gezogen zu haben. Dann sind A und B unabhängig.
Es sei X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsdichte f (x) = 85 (1 − x4 )
fürR |x| ≤ 1 und Null sonst. Dann ist die Verteilungsfunktion durch F (x) =
5 x
4
8 −∞ (1 − u ) du gegeben
R x+1
2
Es ist F2X−1 (x) = −∞
f (u) du, sofern X eine W-Dichte f = F 0 besitzt
Die Varianz von 2X −1 läßt sich in der Form V (2X −1) = 4V (X)2 −4V (X)−1
ausdrücken
J/N
N
J
N
N
J
N
N
J
N
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
Matrnr.:
M3 ET 13.11.08 B
Aussage
In einer Urne liegen 2 rote, 4 grüne und eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeit, beim Herausnehmen mit einem Griff 2 verschiedenfärbige Kugeln zu
erhalten ist grösser als 0.5
Bei einem Test hat man 3 Fragen mit ‘J’ oder ‘N’ zu beantworten und ist für
2 richtige positiv. Die Wahrscheinlichkeit bei zufälligem Ankreuzen positiv zu
sein, ist kleiner als 0.3
Ein aus Nullen und Einsen (“0”,“1”) gebildetes Wort der Länge 4 wird mit
Fehlerwahrscheinlichkeit 1/10 pro Zeichen 0 oder 1 übertragen, wobei die Fehler
pro Zeichen voneinander unabhängig sind. Die Wahrscheinlichkeit daß ein Wort
falsch ist, ist grösser als 0.3
Die Firmen X,Y und Z haben Fehlerquoten 10%, 20% und 10% und tragen zur
Gesamtproduktion mit 70, 20 und 10 Prozent bei. Die Wahrscheinlichkeit, daß
jemand ein fehlerhaftes Produkt aus der Gesamtproduktion greift und von der
Firma X produziert wurde, wird durch P (X | F ) wiedergegeben
Situation wie im vorigen Beispiel. Es beschreibt P (F ∩ Y ) die Wahrscheinlichkeit dafür, ein fehlerhaftes Produkt der Firma Y vorzufinden
In 2 Urnen befinden sich jeweils 3 rote und 3 blaue Kugeln. Jede der beide
Urnen werde mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt und danach 4 Kugeln
gezogen. A sei das Ereignis 3 rote und 1 blaue Kugel gezogen zu haben und
B jenes, 2 rote und 2 blaue gezogen zu haben. Dann sind A und B nicht
unabhängig.
Es sei X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsdichte f (x) = 85 (1 − x4 )
fürR |x| ≤ 1 und Null sonst. Dann ist die Verteilungsfunktion durch F (x) =
5 x
4
8 −1 (1 − u ) du gegeben
R 2x−1
Es ist F2X−1 (x) = −∞ f (u) du, sofern X eine W-Dichte f = F 0 besitzt
Die Varianz von 2X −1 läßt sich in der Form V (2X −1) = 4V (X)−1 ausdrücken
J/N
J
N
J
J
J
J
N
N
N
1
Erklärungen
1. Jede von 2 Kugeln ist eine Kombination von 7 Kugeln zur Klasse 2 (eine 2-elementige Teilmenge der
7-elementigen aller Kugeln). Davon gibt es 72 = 21 Möglichkeiten. Mengen mit verschiedenfärbigen
Kugeln sind von der Bauart RG, RB oder GB, wovon es jeweils 8, 2 und 4, also insgesamt 14 gibt.
14
Ergebnis 21
= 23 ≈ 0.6
2. Man kann zu jeder Aufgabe J/N als Antwort geben. Das ergibt 23 = 8 Möglichkeiten. Um
positiv zu sein, benötigt man eines der Antwortschemata der Form WWW, FWW, WFW, WWF
(Wahrheitswerte), also 4 an der Zahl. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 48 = 12 = 0.5.
3. Wegen der geforderten Unabhängigkeit der Fehler an den einzelnen Stellen ist P (1.Stelle falsch) ×
P (2.Stelle falsch) = P (1. und 2.te Stelle falsch) etc. Die P (mindestens eine Stelle falsch) =
1 − P (alle Stellen korrekt) = 1 − P (1.te Stelle korrekt) × P (2.te Stelle korrekt) × P (3.te Stelle
korrekt) = 1 − .94 = 1 − .6561 = .3439.
4. Die Elementarereignisse werden durch Paare in der Menge {X, Y, Z} × {F, ok} kodiert. Aus der
Angabe ergibt sich als leicht zeichenbarer Ereignisgraph
mm QQQQQ 1
mmm
QQQ10
m
m
2
QQQ
mm
m
10
m
QQQ
m
Q
mmm
X
Y
Z
}
}
}
1
2
1
10 }}
10 }}
10 }}
9
8
9
10
10
10
}}
}}
}}
}
}
}
}
}
}
F
F
F
ok
ok
ok
7
10
In diesem Baum sind in der ersten Reihe P (X) die Wahrscheinlichkeit, ein gefertigtes Stück von der
Firma X aus der Gesamtproduktion zu ziehen, etc, kodiert. In der zweiten P (F | X), die bedingte
Wahrscheinlichkeit, daß unter den von den der Firma X produzierten Stücken ein fehlerhaftes zu
finden.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, unter den fehlerhaften Stücken eines von der Firma X zu ziehen,
ist P (X | F ).
5. P (X ∩ F ) ist die Wahrscheinlichkeit, ein Stück zu erwischen, das sowohl fehlerhaft, als auch von
Firma X ist. Ist identisch mit dem Elementarereignis (X, F ).
6. Die Ereignisse sind unvereinbar, daher ist P (A ∩ B) = 0. Hingegen kann jedes der Ereignisse A, B
eintreten, also P (A)P (B) > 0. Somit ist 0 = P (A ∩ B) 6= P (A)P (B) > 0.
Rx
7. Es ist F (x) gleich Null links von −1, −1 f (u)du für −1 ≤ x ≤ 1 und 1 für x ≥ 1. (Man muß sich
die abschnittsweise Definition von f klarmachen).
Rx
x+1
8. Es ist F2X−1 (x) = P (2X − 1 < x) = P (X < x+1
2 ) = FX ( 2 ) = −∞ f (u) du.
9. Die Varianz wird wie folgt gerechnet:
V (2X − 1) = E((2X − 1)2 ) − E(2X − 1)2 = E(4X 2 − 4X + 1) − (2E(X) − 1)2 = 4E(X 2 ) − 4E(X) +
1 − 4E(X)2 + 4E(X) − 1 = 4(E(X 2 ) − E(X)2 ) = 4V (X).
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
Matrnr.:
M3 ET 14.11.08 Nachtest
Aussage
In einer Urne liegen 2 rote, 4 grüne und eine blaue Kugel. Die Wahrscheinlichkeit, beim Herausnehmen mit einem Griff 2 Kugeln gleicher Farbe zu erhalten ist kleiner als 0.5
Bei einem Test hat man 3 Fragen mit ‘J’ oder ‘N’ zu beantworten. Die
Wahrscheinlichkeit bei zufälligem Ankreuzen alle Fragen zu korrekt zu beantworten, ist kleiner als 0.1
Ein aus Nullen und Einsen (“0”,“1”) gebildetes Wort der Länge 4 wird mit
Fehlerwahrscheinlichkeit 1/10 pro Zeichen 0 oder 1 übertragen, wobei die Fehler
pro Zeichen voneinander unabhängig sind. Die Wahrscheinlichkeit daß mindestens 2 Stellen falsch übertragen werden ist kleiner als 0.01
Die Firmen X,Y und Z haben Fehlerquoten 10%, 20% und 10% und tragen zur
Gesamtproduktion mit 70, 20 und 10 Prozent bei. Die Wahrscheinlichkeit, daß
jemand ein fehlerhaftes Produkt aus der Gesamtproduktion greift und dieses
von der Firma X produziert worden ist, wird durch P (X | F ) wiedergegeben
Situation wie im vorigen Beispiel. Es beschreibt P (Y ∩ F ) die Wahrscheinlichkeit dafür, ein fehlerhaftes Produkt aus der Produktion der Firma Y zu
ziehen
In jeder von 2 Urnen befinden sich 3 rote und 3 blaue Kugeln. Jede der beide
Urnen werde mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt und danach 4 Kugeln
gezogen. A sei das Ereignis mindestens 2 rote und mindestens 1 blaue Kugel
gezogen zu haben und B jenes, 2 rote und 2 blaue gezogen zu haben. Dann
sind A und B unabhängig.
Die Funktion f (x) =R 58 (1 − x4 ) ist Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen.
∞
Es ist E(2X − 1) = −∞ uf (2u − 1) du, wenn immer X eine W-Dichte f = F 0
besitzt
Die Varianz von 2X − 1 läßt sich in der Form V (2X − 1) = 4V (X)2 − 1
ausdrücken
J/N
J
N
N
J
J
N
N
N
N
2
Erklärungen für den Nachtest
1. Es gibt nur die Möglichkeiten,
die beiden roten bzw., alternativ, 2 der grünen aus den 4 grünen
(also 42 = 6) der 72 = 21 zweielementigen Auswahlen aus den 7 Kugeln zu treffen, somit ist die
7
Wahrscheinlichkeit 21
= 13 .
2. Es ist WWW die einzige Wahl unter den 23 = 8 möglichen Antwortmustern, somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich 18 = .125.
3. Wegen der geforderten Unabhängigkeit der Fehler an den einzelnen Stellen ist P (1.Stelle falsch) ×
P (2.Stelle falsch) = P (1. und 2.te Stelle falsch) etc. Wenn also mindestens 2 Stellen falsch sind,
hat man Muster des Typs (wobei noch permutiert werden kann) Form und Wahrscheinlichkeiten
FFFF
FFFW
FFWW
.14
4 × .1 × .9
6 × .12 × .92
3
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 2 Stellen falsch sind, .14 +4×.13 ×.9+6×.12 ×.92 =
.12 × (.01 + 4 × .09 + 6 × .81) = .01 × (.01 + .36 + 4.86) = .0523.
4. Siehe die entsprechende Erklärung beim 1.ten Test.
5. Siehe die entsprechende Erklärung beim 1.ten Test.
6. Es ist A ∩ B = B, jedoch P (A) < 1, also P (A ∩ B) = P (B) > P (A)P (B).
R∞
7. Es ist für alle reellen x die Ungleichung f (x) ≥ 0 und −∞ f (x) dx = 1 zu prüfen. Beides ist nicht
erfüllt.
R∞
8. Es ist E(2X − 1) = 2E(X) − 1 = 2 −∞ uf (u) du. Wählt man nun z.B. f (x) = 1 für 0 ≤ x ≤ 1 und
R1
Null sonst als Dichte der Variablen X, so ist E(2X − 1) = 2E(X) − 1 = 2 0 x dx − 1 = 0, jedoch
u = t + 1 ∞
R1
R∞
R∞
2
= −∞ ( 2t + 1)f (t) dt = 0 ( 2t + 1) dt = 14 + 1 = 54 , also
ist −∞ uf (2u − 1) du = du = 12 dt −∞
von E(2X − 1) verschieden.
9. Siehe die Erklärungen vom 1.ten Test weiter oben.