ExPhys 1, Vorlesung 20, 29.06.2010

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
19. Vorlesung:
Wärmetransport durch:
-Wärmekonvektion
-Wärmestrahlung
-Wärmeleitung
Planck‘sches Strahlungsgesetz
Stefan-Boltzman-Gesetz
Wiensches Verschiebungsgesetz
Hauptsätze der Thermodynamik
1. Hauptsatz für ideale Gase
dU = dQ - p dV
Enthalpie: H = U +pV
Experimentalphysik I SS 2010
20-1
Zur Erinnerung
Isochorer Prozess:
dU = dQ − p ⋅ dV
dQ = dU = CV ⋅ dT , ⇒ CV =
Isobarer Prozess:
Enthalpie H:
dp = 0 ⇒ dQ = dU + p ⋅ dV
dQ = C p ⋅ dT
Def.: H = U + p ⋅ V ,
dQ = dH (für dp = 0) C p =
Isothermer Prozess:
∂U
∂T V
dU = 0
∂H
∂T
H = „Maß für die Energie eines
thermodynamischen Systems“
p
⇒ dQ = p ⋅ dV
V 
W = R ⋅ T0 ⋅ ln 1 
 V2 
Experimentalphysik I SS 2010
20-2
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Adiabatischer
Prozess:
dQ = 0 ⇒ dU = − p ⋅ dV
R ⋅T
V
dV
dT
= −R∫
CV ⋅ ∫
V
T
dU = − p ⋅ dV = CV ⋅ dT
p=
dV
⇒
V
CV ⋅ ln T = − R ⋅ ln V + const.
⇒ CV ⋅ dT = − R ⋅ T ⋅
ln T CV + ln V R = const.
T CV ⋅ V
Poisson‘sche
Gleichungen/AdiabatenGleichungen:
T ⋅V
(C p −CV )
κ −1
κ
C p −CV
= const.
CV
⇒
κ=
= const.
p ⋅ V = const.
Experimentalphysik I SS 2010
ln (T CV ⋅ V R ) = const.
⇒
da
T=
Cp
CV
T ⋅V
f
=
2
f
R+R
2
= const.
CV
R
=
f +2
f
p ⋅V
R
20-3
Erster Hauptsatz: Konsequenzen
Adiabatischer
Prozess:
In der Thermodynamik bedeutet: „adiabatisch“ meist
„schneller Prozess“, damit ΔQ (Verlust durch
Wärmeleitung) klein.
Später (in Quantenmechanik) bedeutet „adiabatisch“ oft
„langsamer Prozess“ (kein Energieverlust durch
Übergang in anderen Energiezustand)
(immer: ΔQ = 0 !)
Experimentalphysik I SS 2010
20-4
Isothermer und adiabatischer Prozess
p=p(V):
Isothermen und
Adiabaten in einem
p-V-Diagramm
isotherme Änderung:
adiabatische Änderung:
p ⋅ V = R ⋅ T0
⇒
pisotherm (V ) =
p ⋅ V = const.(= p0 ⋅ V0
κ
κ
)
⇒
R ⋅ T0
V
p0 ⋅ V0κ
padiabatisch (V ) =
Vκ
p(V) Druck ändert sich mit V bei adiabtischem Prozess
(dQ = 0) schneller als bei isothermem Prozess (dU = 0),
da:
dV < 0: Kompressionsarbeit, T steigt → p steigt
dV > 0: Expansionsarbeit, T sinkt → p sinkt
Experimentalphysik I SS 2010
20-5
Isothermer und adiabatischer Prozess
Isothermer Prozess:
Vorgang (ΔV) „langsam“:
ΔW: Kompressions-/Expansionsarbeit
ΔQ: Erwärmung/Abkühlung
⇒ vollständiger Ausgleich durch Wärmebad
adiabatischer
Prozess:
Vorgang (ΔV) „schnell“:
ΔW: Kompressions-/Expansionsarbeit
ΔQ: Erwärmung/Abkühlung
⇒ kein Ausgleich durch Wärme-Abfuhr/-Zufuhr
T1 ⋅ V1κ −1 = T0 ⋅ V0κ −1
z.B. :
(pneumatisches
Feuerzeug)
Experimentalphysik I SS 2010
 V0 
⇒ T1 = T0 ⋅  
 V1 
κ −1
V0
= 10, κ ( N 2 ) = 7 = 1,4
5
V1
⇒ T1 = T0 ⋅100, 4 = T0 ⋅ 2,5
T0 = 293 K
⇒ T1 = 736 K
20-6
Versuchsbeispiel für adiabatischen Prozess
Bestimmung von CP/CV
durch periodische
adiabatische Kompression
und Expansion:
Bewegungsgleichung für Kugel
N2:
f = 3+2 bei
T = 300 K
Experimentalphysik I SS 2010
20-7
2. Hauptsatz der Thermodynamik
Kreisprozesse:
p1, V1, T1
p1
Umwandlung von
thermischer Energie in
mechanische Arbeit
p2
p4
p3
p2, V2, T1
p3, V3, T2
Wärme fließt von
selbst nur vom
wärmeren Körper zum
kälteren!
Ein thermodynamisches System durchläuft verschiedene
Zustände mit unterschiedlichen Zustandsgrößen und kehrt
in den Ausgangszustand (identische Zustandsgrößen)
zurück.
Es gibt reversible und irreversible Kreisprozesse
Experimentalphysik I SS 2010
20-8
Carnot-Prozess
Umwandlung von Wärme in Arbeit mit optimaler Effizienz
p1
p
Isotherme
(1)
Adiabate
T1
p2
(2)
p3
p4
∆Q1
(4)
T2
V
V1
V4 V2
T1
(3)
V1, p1
V3
V2, p2
nach Durchlaufen eines Zyklus:
Wärmemenge ∆Q = ∆Q1 - ∆Q2
dem Arbeitsmedium zugeführt
und in mechanische Arbeit umgewandelt
Experimentalphysik I SS 2010
∆Q2
V4, p4
T2
V3, p3
20-9
Carnot-Prozesse
Prozess (1) → (2):
guter Kontakt zum Reservoir T1
isothermer Prozess: Energie für Expansionsarbeit aus
Reservoir T1 entnommen
Prozess (2) → (3):
kein Kontakt zu Reservoirs Ti
adiabatischer Prozess: Energie für Expansionsarbeit
aus innerer Energie entnommen, TMedium sinkt
Prozess (3) → (4):
guter Kontakt zu Reservoirs T2
isothermer Prozess: Wärme durch Kompressionsarbeit
(von außen) wird an Reservoir T1 abgegeben
Prozess (4) → (1):
kein Kontakt zu Reservoirs Ti
adiabatischer Prozess: Wärme durch Kompressionsarbeit
geht in innere Energie, TMedium steigt
Experimentalphysik I SS 2010
20-10
Carnot-Prozesse
Expansion:
Kompression:
Netto:
Experimentalphysik I SS 2010
auf hohem Druck-Niveau und hohem Temperatur-Niveau
Expansionsarbeit wird geleistet,
Wärmeenergie aus Wärmebad aufgenommen
Energie für adiabatische Expansion aus ΔU(T1→ T2)
auf niedrigem Druck-Niveau und niedrigem TemperaturNiveau,
Kompressionsarbeit < Expansionsarbeit !!
Wärmeenergie an Wärmebad abgegeben
Wärme aus adiabatischer Kompression in ΔU(T2 → T1)
Expansion, aus Reservoir 1 (T1 > T2) : ΔQ1 aufgenommen,
Arbeit geleistet
Kompression, an Reservoir 2(T2 < T1) : ΔQ2 < ΔQ1
abgegeben, Arbeit erforderlich
(ΔQ1 - ΔQ2 ) = ΔW1,2,3,4 → mechanische Arbeit
isotherme Prozesse: Umwandlung Wärme → Arbeit
adiabatische Prozesse: Änderung der Temperatur
des Mediums, damit ΔQ2 < ΔQ1 möglich wird.
20-11
Carnot-Prozesse: Energiebilanz
(1) → (2) isotherm:
dQ = pdV = − dW
dV > 0
V2
V
− ∆W1, 2 = ∫ pdV = RT1 ⋅ ln 2 > 0 V2 > V1
V1
V1
(2) → (3) adiabatisch:
dQ = 0 dU = − pdV < 0 (dV > 0)
V3
− ∆W2 , 3 = ∫ pdV = U (T1 ) − U (T2 ) > 0
Vk
∫ pdV =
Vi
Fläche unter
der Kurve
Vi ⇒ Vk
V2
(3) → (4) isotherm:
dQ = pdV = − dW
V4
dV < 0
− ∆W3, 4 = ∫ pdV = RT1 ⋅ ln
V3
(4) → (1) adiabatisch:
V4
< 0 V3 > V4
V3
dQ = 0 dU = − pdV > 0 (dV < 0)
V1
− ∆W4 ,1 = ∫ pdV = U (T2 ) − U (T1 ) < 0
V4
Experimentalphysik I SS 2010
20-12
Carnot-Prozesse: Energiebilanz
Arbeit und pVDiagramm:
V2
V3
V1
V2
− ∆WExpan. = ∫ pdV + ∫ pdV
durch Expansion von der Maschine
geleistete mechanische Arbeit
= Fläche unter p(V) (V2 > V1, V3 > V2)
V4
V1
V3
V4
∆WKompr . = ∫ pdV + ∫ pdV
für die Kompression erforderliche Arbeit
(an der Maschine zu leisten)
= Fläche unter p(V) (V4 < V3, V1 < V4)
insgesamt verfügbare mechanische
Energie = im p-V-Diagramm
umfahrene Fläche
Experimentalphysik I SS 2010
20-13
Carnot-Prozesse: Energiebilanz
-ΔW1,2 = R T1 ln(V1/V2)
ΔW2,3 = U(T1) – U(T2)
-ΔW3,4 = R T2 ln(V3/V4)
ΔW4,1 = U(T2) – U(T1) = -ΔW2,3
Arbeit insgesamt:
ΔW
ΔW = - ΔW1,2 + ΔW2,3 – ΔW3,4 + ΔW4,1
= RT1 ln(V1/V2) + RT2 ln(V3/V4)
Eckpunkte des adiabatischen Prozesses:
T1V2κ-1 = T2V3κ-1
→ V2/V1 = V3/V4
T1V1κ-1 = T2V4 κ-1
ΔW = R(T1-T2) ln(V1/V2) vgl. ΔQ1 = RT1 ln(V1/V2)
Wirkungsgrad η: ΔQ1 → ΔW
η = ΔW/ ΔQ1 = (T1 – T2) / T1
Wirkungsgrad:
Experimentalphysik I SS 2010
Bei vollem Umlauf geleistete Arbeit bezogen auf die
aus dem WB (T1 > T2) aufgenommene Wärmeenergie.
η → 1 bei T2 → 0
20-14
Carnot-Prozesse: Zusammenfassung
Experimentalphysik I SS 2010
20-15
Carnot-Prozesse: Zusammenfassung
Es gibt keine
periodisch arbeitende
Maschine, deren
Wirkungsgrad höher
ist als der der CarnotMaschine.
Experimentalphysik I SS 2010
20-16
Stirling-Prozess
Stirling-Prozess als
Wärmekraftmaschine:
isotherme Expansion bei T1 > T2
das Arbeitsmedium nimmt Wärme auf
isochore Abkühlung T1 → T2
dem Arbeitsmedium wird Wärmeenergie entzogen
isotherme Kompression bei T2 < T1
das Arbeitsmedium gibt Wärmeenergie ab
isochore Erwärmung T2 → T1
dem Arbeitsmedium wird Wärmeenergie zugeführt
Reale Maschinen folgen
dem gegebenen Verlauf im
p-V-Diagramm (Carnot, Stirling,
andere …) nur näherungsweise.
Experimentalphysik I SS 2010
20-17
Stirling-Prozess
Stirling-Prozess als
Wärmekraftmaschine:
Experimentalphysik I SS 2010
20-18
Wärmekraftmaschine (Stirling Prozess)
isotherme Phase (T1)
vom Arbeitsmedium wird Energie
(durch Wärmeleitung) aus dem Reservoir T1
aufgenommen
Gas expandiert, Arbeitskolben bewegt sich nach
unten, treibt Schwungrad an
Verdrängerkolben (mechanisch an Schwungrad
gekoppelt) beginnt, sich nach oben zu bewegen
angetriebenes Rad (dient
auch als Schwungrad, d.h.
als Energiespeicher für die
Kompressionsarbeit)
Experimentalphysik I SS 2010
20-19
Wärmekraftmaschine (Stirling Prozess)
isochore Phase 1
Bewegung des Arbeitskolbens gering
(maximale Auslenkung in periodischer Bewegung)
Verdrängerkolben bewegt sich (relativ schnell)
nach oben und drängt das Arbeitsmedium (warm)
in den unteren Bereich
Arbeitsmedium ist in Kontakt mit dem Reservoir 2
(Kühlwasser), Wärmeenergie wird abgegeben,
Arbeitsmedium kühlt ab
Arbeitsmedium kann, da T2 < T1, durch Schwungrad
(via Arbeitskolben) mit nur einem Teil der während der
Expansionsphase gespeicherten Energie komprimiert
werden.
Experimentalphysik I SS 2010
20-20
Wärmekraftmaschine (Stirling Prozess)
isotherme Phase (T2)
Verdrängerkolben ist in der obersten Position
angekommen, Arbeitskolben bewegt sich nach
oben
Arbeitsmedium ist (noch) nahezu ausschließlich
in Kontakt mit kaltem Reservoir,
via Schwungrad wird Arbeitsmedium
komprimiert, Kompressionsarbeit wird
an Reservoir T2 abgegeben
Experimentalphysik I SS 2010
20-21
Wärmekraftmaschine (Stirling Prozess)
isochore Phase 2
Arbeitskolben ist in der oberen Extremalposition
angekommen
Verdrängerkolben bewegt sich relativ schnell
nach unten
Arbeitsgas (kalt) wird durch Verdrängerkolben nach
oben in Kontakt mit Reservoir T1 (warm) gedrängt
Energieaufnahme als Reservoir T1 beginnt,
Druck des Arbeitsgases steigt, Arbeitskolben
wird nach unten getrieben u.s.w.
Experimentalphysik I SS 2010
20-22
Stirling-Prozess: Zusammenfassung
als Wärmekraftmaschine:
isotherme Expansion bei T1 > T2
isochore Abkühlung T1 → T2
isotherme Kompression bei T2 < T1
isochore Erwärmung T2 → T1
Für Weg im p(V)-Diagramm ist Temperatur des
Arbeitsgases maßgeblich.
Ein Teil der Wärmeenergie wird
zwischengespeichert: ( T1→T2) und wieder abgerufen:
(T2→T1)
Experimentalphysik I SS 2010
20-23
Kreisprozesse
(a) Stirling-Motor
(b) Otto-Motor
(c) Dieselmotor
(d) Dampfmaschine
isentrop: keine Änderung der Wärmeenergie
Experimentalphysik I SS 2010
20-24
Kältemaschine - Wärmepumpe
Carnot-Zyklus in
umgekehrter Richtung:
Abgabe mechanischer Energie durch Expansion auf
niedrigem Niveau, Kompression bei T1 > T2.
Mechanische Energie erforderlich zur Kompression auf
höherem T-Niveau.
Wärmepumpe:
WB(T2) und Medium (T = T1) isoliert
→ ΔQ von WB(T2) nach Medium(T1) transportiert
→ T1 steigt.
Kältemaschine:
WB(T1) und Medium (T = T2) isoliert
→ ΔQ vom Medium(T2) nach WB(T1) transportiert
→ T2 sinkt.
Experimentalphysik I SS 2010
20-25