Vorlesung 10 - cismasemanuel.com

Höhere Mathematik
Vorlesung 8
Mai 2017
ii
“In der Mathematik versteht man die Dinge nicht. Man gewöhnt sich
nur an sie.”
John von Neumann
8
Funktionentheorie
Komplexe Zahlen
Jede komplexe Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung:
𝑧 = 𝑥 + 𝑖 · 𝑦,
𝑥, 𝑦 ∈ R
Komplexe Zahlen kann man auch durch gerichtete Strecken (Vektoren) darstellen,
die im Koordinatenursprung beginnen und im entsprechenden Punkt der Zahlebene
enden. Die komplexe Zahl 𝑧 = 2+3𝑖 kann man daher nicht nur durch den Punkt
−→
𝐴(2, 3) darstellen, sondern auch durch den Vektor 𝑂𝐴
Man nennt 𝑥 = Re(𝑧) den Realteil und 𝑦 = Im(𝑧) den Imaginärteil der
komplexen Zahl 𝑧. Ist 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ C so nennt man 𝑧¯ = 𝑥 − 𝑖𝑦 die zu 𝑧
konjugierte komplexe Zahl. Man erhält diese Zahl durch Spiegelung an der
𝑥-Achse:
1
Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind gegeben durch:
𝑅𝑒(𝑧) =
𝑧 + 𝑧¯
,
2
𝐼𝑚(𝑧) =
𝑧 − 𝑧¯
2𝑖
Die Addition zweier komplexen Zahlen 𝑧1 , 𝑧2 ist definiert durch:
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) + (𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 )
Die Substraktion zweier komplexen Zahlen 𝑧1 , 𝑧2 ist definiert durch:
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) − (𝑥2 + 𝑖𝑦2 ) = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑖(𝑦1 − 𝑦2 )
2
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen 𝑧1 und 𝑧2 gilt:
𝑧1 ·𝑧2 = (𝑥1 +𝑖𝑦1 )·(𝑥2 +𝑖𝑦2 ) = 𝑥1 ·𝑥2 −𝑦1 𝑦2 +𝑖(𝑦1 𝑥2 +𝑥1 𝑦2 )
Eigentlich ist das die Klammerregel der Multiplikation zweier reellen Zahlen
mit der neuen Information:
𝑖2 = −1
Die Länge des Vektors, der eine komplexe Zahl darstellt, bezeichnet man als
den Betrag dieser komplexen Zahl. Den Betrag der komplezen Zahl 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
bezeichnet man durch |𝑧| oder durch den Buchstaben 𝑟.
|𝑧| =
√
𝑧 · 𝑧¯ =
√︀
𝑥2 + 𝑦 2
Der Betrag stimmt mit der euklidischen Norm des Vektors 𝑧 überein:
Ist 𝑧 ̸= 0, gilt:
3
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑧¯
1
= 2 = 2
𝑧
|𝑧|
𝑥 + 𝑦2
Das Inverse der komplexen Zahl gewinnt man demnach, indem man 𝑧 zunächst
an der 𝑥-Achse spiegelt, und dann am Einheitskreis. Denn 𝑧1 zeigt in die gleiche
Richtung 𝑧¯, hat aber die Länge 𝑟, wenn 𝑧 die Länge 𝑟 hat.
Die Division zweier komplexen Zahlen 𝑧1 , 𝑧2 ist die Multiplikation mit dem
Inverse von 𝑧2 :
𝑧1
1
1
𝑥2 − 𝑖𝑦2
= 𝑧1 ·
= (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) ·
= (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) · 2
𝑧2
𝑧2
𝑥2 + 𝑖𝑦2
𝑥2 + 𝑦22
𝑥1 · 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 − 𝑖(𝑦1 𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 )
=
𝑥22 + 𝑦22
−→
Der Winkel zwischen der Abszissenachse 𝑂𝑥 und dem Vektor 𝑂𝐴, der die
komplexe Zahl darstellt, heisst Argument der komplexen Zahl 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦.
4
Gibt es die Formel:
𝜃 = arctg
(︁ 𝑦 )︁
𝑥
𝑘∈Z
+ 𝑘𝜋,
Denn cos und sin sind 2𝜋-periodisch, ist das Argument nicht eindeutig, sondern
𝜃 ± 2𝜋, 𝜃 ± 2𝜋, . . . sind andere Argumente.
Mit:
arg(𝑧) = 𝜃 + 2𝑘𝜋,
𝑘∈Z
bezeichenen wir die
√︀ Menge aller Argumente.
Für 𝑟 = |𝑧| = 𝑥2 + 𝑦 2 sieht man leicht ein:
Polardarstellung: Jede komplexe Zahl lässt sich in der Gestalt:
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)
darstellen, wobei 𝑟 und 𝜃 Polarkoordinaten von 𝑧 sind.
Beispiel:
√
Wir suchen
die Polarkoordinaten-Darstellung von 𝑧 = − 3 − 𝑖. Denn
√
𝑥 = − 3 und 𝑦 = −1 erhalten wir:
(︃ √ )︃
(︁ 𝑦 )︁
3
𝜋
= arctg
= + 𝑘𝜋
𝜃 = arctg
𝑥
3
6
√
Der Punkt 𝐴(− 3, −1) liegt im dritten Quadrant deshalb:
𝜋<𝜃<
3𝜋
.
2
Einen solchen Wert bekommen wir für 𝑘 = 1, somit 𝜃 =
√︁ √
Der Betrag ist 𝑟 = |𝑧| = (− 3)2 + (−1)2 = 2.
5
𝜋
6
+1·𝜋 =
7𝜋
6 .
Schliesslich die Polardarstellung lautet:
(︂
)︂
7𝜋
7𝜋
𝑧 = 2 cos
+ sin
6
6
Hauptargument: Man bezeichnet den Winkel 𝜃 von 𝑧, der:
−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋
erfüllt, als Hauptargument von 𝑧, in Formeln 𝜃 = Arg(𝑧). Deshalb gibt es die
Beziehung:
arg(𝑧) = Arg(𝑧) + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ZZ.
Beispiel:
In dem letzten Beispiel ein Argument war 𝜃 = 7𝜋
6 . Mit Hilfe der Formel
Arg(𝑧) = 𝜃 ± 2𝑘𝜋 ∈ (−𝜋, 𝜋], 𝑘 ∈ N, suchen wir das Hauptargument.
5𝜋
Deshalb Arg(𝑧) = 7𝜋
6 − 2𝜋 = − 6 .
Haben wir auch die alternative Polardarstellung:
(︂
(︂
)︂
(︂
)︂)︂
5𝜋
5𝜋
𝑧 = 2 cos −
+ sin −
6
6
Eine geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen erhält man
mit Hilfe der Polarkoordinaten:
𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 (cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑖 sin(𝜃1 + 𝜃2 ))
6
Eine änliche Situation für Division:
𝑧1
𝑟1
= (cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2 ))
𝑧2
𝑟2
Formel von Moivre:
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃),
für alle 𝑛 ∈ Z.
Die Lösungen der Gleichung 𝑤𝑛 = 𝑧:
Für jede natürliche Zahl 𝑛 hat dei Gleichung 𝑤𝑛 = 𝑧 genau 𝑛 Lösungen, nämlich:
(︂
)︂
√︀
√
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑛
𝑛
𝑧 = |𝑧| cos
+ 𝑖 sin
,
𝑛
𝑛
wobei 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛 − 1.
Beispiel:
Die Gleichung 𝑤𝑛 = 𝑖, 𝑤 ∈ C hat drei Lösungen. Man sieht leicht ein,
dass |𝑖| = 1 und 𝜃 = 𝜋2 , somit:
Für 𝑘 = 0 :
√
3
(︂
𝜋 )︂
𝜋
𝜋
𝜋
1 cos 2 + 𝑖 sin 2 = cos + 𝑖 sin
3
3
6
6
√
3 1
=
+ 𝑖
2
2
𝑤1 =
7
Für 𝑘 = 1 :
√
3
𝜋
2
)︂
𝜋
+ 2𝜋
5𝜋
5𝜋
2 + 2𝜋
𝑤2 = 1 cos
+ 𝑖 sin
= cos
+ 𝑖 sin
3
3
6
6
√
)︁
(︁
)︁
(︁
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3 1
+ 𝑖 sin 𝜋 −
= − cos + 𝑖 sin = −
= cos 𝜋 −
+ 𝑖
6
6
6
6
2
2
(︂
Für 𝑘 = 2 :
(︂
√
3
𝑤3 = 1 cos
𝜋
2
)︂
𝜋
+ 4𝜋
9𝜋
9𝜋
2 + 4𝜋
+ 𝑖 sin
= cos
+ 𝑖 sin
3
3
6
6
)︁
(︁
)︁
(︁
3𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋
𝜋
𝜋
= cos
+ 𝑖 sin 2𝜋 −
= cos − 𝑖 sin
+ 𝑖 sin
= cos 2𝜋 −
2
2
2
2
2
2
= −𝑖
Die 𝑛-ten Einheitswurzeln 𝜀𝑛 = 1:
Es gibt zu jedem 𝑛 ∈ N genau 𝑛 verschiedene 𝑛-te Einheitswurzeln, nämlich:
2𝜋
2𝜋
+ 𝑖 sin
𝑛
𝑛
4𝜋
4𝜋
𝜀2 = cos
+ 𝑖 sin
𝑛
𝑛
.....................
2𝑘𝜋
2𝑘𝜋
+ 𝑖 sin
𝜀𝑘 = cos
𝑛
𝑛
.....................
𝜀1 = cos
𝜀𝑛 = 1
Komplexwertige Funktionen einer Variablen
Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion 𝑓 : 𝐷 → C bei der die Zielmenge die Menge der komplexen Zahlen ist. Die komplexwertigen Funktionen
mit 𝐷 ⊂ C heissen komplexe Funktionen.
Manchmal schreiben wir:
𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦),
wobei 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, für eine komplexe Funktion 𝑓. Also 𝑢, 𝑣 sind reellwertige
Funktionen.
8
Lineare Funktionen: Eine komplexe Funktion 𝑓 heisst linear falls 𝑓 für
feste komplexe Konstanten 𝑎, 𝑏 ∈ C, 𝑎 ̸= 0, eine Darstellung der folgenden Form
besitzt:
𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.
Bemerkung:
∙ Die Wahl 𝑎 = 1 führt zu eine Translation oder Parallelverschiebung
um 𝑏:
𝑓 (𝑧) = 𝑧 + 𝑏, 𝑧 ∈ C.
∙ Die Wahl 𝑎 ∈ R+ und 𝑏 = 0 führt zu einer Streckung (bzw. Stauchung):
𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑧,
𝑧 ∈ C.
d.h. der Betrag von 𝑧 wird gestreckt (𝑎 > 1) oder gestaucht (0 < 𝑎 < 1)
Allgemein spricht man von einer Skalierung mit Skalierungsfaktor 𝑎 > 0.
∙ Die Wahl 𝑎 ∈ C mit |𝑎| = 1 und 𝑏 = 0 führt zu einer Rotation um den
Ursprung mit dem Winkel 𝜃 = Arg(𝑎):
𝑓 (𝑧) = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧,
𝑧 ∈ C.
Charakterierung einer linearen Abbildung:
Jede lineare Funktion 𝑓 : C → C lässt sich als Komposition:
𝑓 = 𝑓3 ∘ 𝑓2 ∘ 𝑓1
von drei Abbildungen schreiben:
1) 𝑓1 (𝑧) == (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑧 eine Rotation um den Ursprung
2) 𝑓2 (𝑧) = |𝑎|𝑧 eine Skalierung
3) 𝑓3 (𝑧) = 𝑧 + 𝑏 eine Translation um den Vektor 𝑏
Exponentialfunktion:
Die komplexe Exponentialfunktion exp : C → C ist definiert durch:
exp(𝑧) = 𝑒𝑧 = 𝑒𝑥+𝑖𝑦 := 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sin 𝑦
Man sieht leicht ein, dass |𝑒𝑧 | = 𝑒𝑥 und arg(𝑧) = 𝑦 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ Z.
9
Eigenschaften der Exponentialfunktion:
i) Die Exponentialfunktion ist eine 2𝜋𝑖-periodische Funktion:
𝑒𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒𝑧 ,
ii) 𝑒𝑧 𝑒𝑤 = 𝑒𝑧+𝑤 ,
𝑧 ∈ C.
𝑧, 𝑤 ∈ C,
𝑧
iii)
𝑒
= 𝑒𝑧−𝑤
𝑒𝑤
iv) (𝑒𝑧 )𝑛 = 𝑒𝑛𝑧 ,
𝑛 ∈ Z.
Der komplexe Logarithmus:
Die mengenwertige Abbildung:
Ln(𝑧) = ln |𝑧| + 𝑖 · arg(𝑧)
ist der komplexe Logarithmus Ln : C* → C und die Lösung der Gleichung:
𝑒𝑤 = 𝑧.
Eigenschaften des komplexen Logarithmus:
Für 𝑧, 𝑤 ̸= 0 gelten:
i) Ln(𝑧) + Ln(𝑤) = Ln(𝑧𝑤)
(︀ )︀
ii) Ln𝑧 − Ln(𝑤) = Ln 𝑤𝑧
iii) Ln(𝑧 𝑛 ) = 𝑛 · Ln(𝑧),
𝑛 ∈ Z.
Die allgemeine Potenzfunktionen:
Die komplexen Potenzfuntkionen werden mit Hilfe des Logarithmus definiert:
𝑧 𝛼 = 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖 arg(𝑧))
wobei 𝛼 ∈ C ist eine beliebige komplexe Konstante.
Die komplexen Potenzfunktionen sind auch mengenwertige Funktionen. Der
Ausdruck 𝑒𝛼(ln |𝑧|+𝑖Arg(𝑧)) heisst Hauptwert der Potenzfunktion 𝑓 (𝑧) = 𝑧 𝛼 und
ist eine Funktion von 𝑧.
10
Eigenschaften des Hauptwertes der komplexen Potenzfunktionen:
Für 𝑧 ∈ C* und 𝛼, 𝛽 ∈ C gelten:
i) 𝑧 𝛼 · 𝑧 𝛽 = 𝑧 𝛼+𝛽
ii)
𝑧𝛼
𝑧𝛽
= 𝑧 𝛼−𝛽
ii) (𝑧 𝛼 )𝑛 = 𝑧 𝑛𝛼 ,
𝑛 ∈ Z.
Bemerkung:
Die Regel 𝑧 𝛼 · 𝑤𝛼 = (𝑧𝑤)𝛼 gilt nicht für alle 𝑧, 𝑤 ∈ C* und 𝛼, 𝛽 ∈ C.
Beispielsweise finden wir für den Hauptwert der Potenzfunktion:
2
(−1)𝑖 · (−1)𝑖 = 𝑒𝑖 𝜋 𝑒𝑖
2
𝜋
= 𝑒−2𝜋
aber:
[(−1) · (−1)]𝑖 = 1𝑖 = 𝑒𝑖·0 = 1
Komplexe hyperbolische und trigonometrische Funktionen:
Die folgende komplexe Funktionen sind Fortsetzungen der entsprechenden elementaren reellen Funktionen:
sin 𝑧 =
𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧
,
2𝑖
sinh 𝑧 =
𝑒𝑧 − 𝑒−𝑧
2
cos 𝑧 =
𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧
,
2
cosh 𝑧 =
𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧
2
Diese Funktionen sind stetig und differenzierbar auf C !
Elementare Eigenschaften :
Für alle 𝑧 ∈ C :
i) cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1 und
ii) cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧
und
cosh2 𝑧− sinh2 𝑧 = 1
sinh(𝑖𝑧) = 𝑖 sin 𝑧
iii) In C gelten, wie in R, die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen:
sin(𝑧1 ± 𝑧2 ) = sin 𝑧1 cos 𝑧2 ± sin 𝑧2 cos 𝑧1 ,
cos(𝑧1 ± 𝑧2 ) = cos 𝑧1 cos 𝑧2 ∓ sin 𝑧1 sin 𝑧2 .
11
Komplex versus reell
Der Abstand in der komplexen Ebene ist gegeben durch:
𝑑(𝑧, 𝑤) = |𝑧 − 𝑤| =
√︀
(𝑥1 − 𝑥2 )2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2 ,
𝑧, 𝑤 ∈ C.
Normalerweise betrachten wir als offene Umgebung des Punktes 𝑧0 eine offene
Kreisscheibe um 𝑧0 vom Radius 𝛿, d.h. die Menge:
𝐷(𝑧0 , 𝛿) = {𝑧 ∈ C : |𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿}.
Konvergente Folgen:
Sei (𝑧𝑛 )𝑛 eine Folge komplexer Zahlen und 𝑧 eine weiter komplexe Zahl. Folgende Aussagen sind äquivalent:
𝑧𝑛 → 𝑧, für 𝑛 → ∞
⇔
Re(zn ) → Re(z) und Im(zn ) → Im(z), für 𝑛 → ∞
In C eine Funktion 𝑓 : 𝐷 → C hat einen Grenzwert 𝐿 im Punkt 𝑧0 genau
dann, wenn für alle Folgen (𝑧𝑛 )𝑛 , die gegen 𝑧0 konvergieren, die Folge 𝑓 (𝑧𝑛 )
gegen 𝐿 konvergiert.
Der Unterschied zwischen dem reellen Fall und dem komplexen Fall ist, dass
in C die Folgen nicht nur von einer Richtung konvergieren, sondern von unendlichen Richtungen:
12
Beispiel:
𝑧¯
existiert nicht !
𝑧→0 2𝑧
Betrachten wir eine Folge (𝑧𝑛 )𝑛 , die in der Richtung der 𝑥-Achse gegen
0 konvergiert, zum Beispiel 𝑧𝑛 = 𝑛1 . Dann:
Der Grenzwert lim
𝑓 (𝑧𝑛 ) =
𝑧𝑛
=
2𝑧𝑛
1
𝑛
2
𝑛
=
1
1
→ .
2
2
Aber für eine Folge (𝑤𝑛 )𝑛 , die in der Richtung der 𝑦-Achse gegen 0
konvergiert, zum Beispiel 𝑤𝑛 = 𝑛1 𝑖, es gilt:
𝑓 (𝑤𝑛 ) =
−𝑖
𝑤𝑛
1
1
= 2𝑖𝑛 = − → − .
2𝑤𝑛
2
2
𝑛
Grenzwert einer komplexen Funktion:
Sei 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 und 𝐿 = 𝑎 + 𝑖𝑏, dann lim 𝑓 (𝑧) = 𝐿
𝑧→𝑧0
genau dann, wenn:
lim
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎
und
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
lim
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑏.
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
Beispiel:
Wir berechen den Grenzwert lim (𝑧 2 + 1). Sei 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, wie üblich.
𝑧→1+𝑖
Dann:
𝑓 (𝑧) = 𝑧 2 + 𝑖 = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 + 𝑖 = 𝑥2 − 𝑦 2 + (2𝑥𝑦 + 1)𝑖
Um den letzen Satz zu verwenden, betrachten wir 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦 2 und
𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 1. Hier 𝑧0 = 1 + 𝑖, deshalb 𝑥0 = 1 und 𝑦0 = 1.
Denn:
lim
(𝑥2 − 𝑦 2 ) = 0
(𝑥,𝑦)→(1,1)
und:
lim
(2𝑥𝑦 + 1) = 3
(𝑥,𝑦)→(1,1)
existiert der Grenzwert und ist 𝐿 = lim (𝑧 2 + 1) = 0 + 3𝑖.
𝑧→1+𝑖
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Stetigkeit der komplexen Funktionen:
Sei 𝐷 ⊂ C eine offene Umgebung von 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 . Eine Funktion 𝑓 : 𝐷 → C :
𝑓 (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
ist stetig im 𝑧0 , wenn die reellwertigen Funktionen 𝑢, 𝑣 stetig im (𝑥0 , 𝑦0 ) sind.
Die Exponentialfunktion 𝑓 (𝑧) = 𝑒𝑧 ist stetig auf C, denn 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 cos 𝑦
und 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 sin 𝑦.
Differenzierbarkeit der komplexen Funktionen:
Sei 𝐷 ⊂ C ein Gebiet. Eine Funktion 𝑓 : 𝐷 → C heisst komplex differenzierbar
in 𝑧0 ∈ 𝐷, falls der Grenzwert:
𝑓 ′ (𝑧0 ) = lim
𝑧→𝑧0
𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧0 )
𝑧 − 𝑧0
existiert. Die komplexe Zahl 𝑓 ′ (𝑧0 ) nennt man die Ableitung von 𝑓 in 𝑧0 .
Eine Funktion heisst in 𝑧0 ∈ C holomorph, wenn sie in einer offenen Umgebung
𝐷(𝑧0 , 𝛿) ⊂ C definiert und komplex differenziebar ist.
Beispiel:
𝑓 (𝑧) = 𝑥+4𝑖𝑦 ist nicht komplex differenzierbar
Zunächst presentieren wir den Satz von Looman-Menchoff :
Komplex differenzierbar vs. reell differenzierbar:
Die Funktion 𝑓 : 𝐷 → C definiert als 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 · 𝑣(𝑥, 𝑦), wenn 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,
erfüllt die Bedingungen:
i) 𝑓 ist stetig in einer Umgebung von 𝑧0 ∈ 𝐷.
ii) Die partielle Ableitungen
von 𝑧0 .
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑥 , 𝜕𝑦
und
𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝜕𝑥 , 𝜕𝑥
existieren in einer Umgebung
iii) Die Funktionen 𝑢, 𝑣 erfüllen in einer Umgebung von 𝑧0 die CauchyRiemann Gleichungen:
𝜕𝑢
𝜕𝑣
(𝑥0 , 𝑦0 ) =
,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑣
(𝑥0 , 𝑦0 ) = − (𝑥0 , 𝑦0 ).
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Dann ist die Funktion 𝑓 in 𝑧0 komplex differenzierbar ( sogar holomorph).
14
Beispiel:
Studieren Sie die komplexe Differenzierbarkeit der Funktion 𝑓 (𝑧) = cos 𝑧
Ableitungsregeln für holomorphe Funktionen (wie im Reellen):
i) Linearität: (𝛼𝑓 (𝑧) + 𝛽𝑔(𝑧))′ = 𝛼𝑓 (𝑧)′ + 𝛽𝑔(𝑧)′
ii) Produktregel: (𝑓 (𝑧)𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′ (𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓 (𝑧)𝑔 ′ (𝑧)
(︂
)︂′
𝑓 (𝑧)
𝑓 ′ (𝑧)𝑔(𝑧) − 𝑓 (𝑧)𝑔 ′ (𝑧)
iii) Quotientenregel:
=
𝑔(𝑧)
𝑔 2 (𝑧)
iv) Kettenregel: 𝑓 (𝑔(𝑧))′ = 𝑓 ′ (𝑔(𝑧))𝑔 ′ (𝑧)
15
Übungsblatt 10
Aufgabe 1. Beweise: (︀sinh 𝑧 )︀= 0 genau dann, wenn 𝑧 = 𝑛𝜋𝑖 und cosh 𝑧 = 0
genau dann, wenn 𝑧 = 12 + 𝑛 𝜋𝑖.
√
Aufgabe 2. Schreibe folgende komplexe Zahlen in Polarform 𝑧1 = − 3 − 𝑖,
𝑧2 = 1 − 𝑖.
√
i) Finden Sie das Hauptargument 𝐴𝑟𝑔(𝑧1 ) und berechnen Sie (− 3 − 𝑖)50 .
ii) Für die komplexen Zahlen 𝑧1 = −1, 𝑧2 = 5𝑖, überprüfen Sie dass:
𝐴𝑟𝑔(𝑧1 𝑧2 ) ̸= 𝐴𝑟𝑔(𝑧1 ) + 𝐴𝑟𝑔(𝑧2 )
(︂
𝐴𝑟𝑔
𝑧1
𝑧2
)︂
̸= 𝐴𝑟𝑔(𝑧1 ) − 𝐴𝑟𝑔(𝑧2 )
und
𝑎𝑟𝑔(𝑧1 𝑧2 ) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧1 ) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2 )
𝑎𝑟𝑔(
𝑧1
) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧1 ) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧2 ).
𝑧2
Aufgabe 3. Zeigen Sie dass |Re 𝑧| ≤ |𝑧| und |Im 𝑧| ≤ |𝑧|. Zeigen Sie die
Identität:
|𝑧 + 𝑤|2 = |𝑧|2 + |𝑤|2 + 2𝑅𝑒(𝑧𝑤),
𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶
und die Dreiecksungleichung |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤|.
Aufgabe 4. Skizzieren Sie die Mengen der Punkte 𝑧, in der komplexen Ebene,
die die folgenden Bedingungen erfüllen:
i) 1 < |𝑧 − 1 − 𝑖| ≤ 2
ii) |𝑧 − 𝑖| = |𝑧 − 1|
iii) |𝑎𝑟𝑔(𝑧)| <
𝜋
4
iv) Re ((1 + 𝑖)𝑧 − 1) = 0
v) 0 < Re 𝑧 < 1.
Aufgabe 5. Lösen Sie in C die Gleichung:
cos 𝑧 = 2
16
Aufgabe 6. i) Lösen Sie in C die Gleichungen:
𝑧6 = 1 + 𝑖
𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0
𝑧4 + 1 = 0
ii) Berechnen Sie
√︀
3+
√
3𝑖
Aufgabe 7. Beweisen Sie dass:
cos(𝑧 + 𝑤) = cos 𝑧 cos 𝑤 − sin 𝑧 sin 𝑤
sin(2𝑧) = 2 sin 𝑧 cos 𝑧
sin2 𝑧 + cos2 𝑧 = 1
für 𝑧, 𝑤 ∈C.
l
17
18
Literaturverzeichnis
[1] K. Fritzsche. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademischer Verlag
Heidelberg, 2009.
[2] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis with
Applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003.
[3] C. I. Hedrea. Curs de Matematici speciale, 2016.
19
20