6.1 Bruchzahlen - Gymnasium bei St. Anna

Gymnasium bei St. Anna, Augsburg
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Grundwissen 6. Klasse
6.1.2 Drei Standardaufgaben mit Bruchteilen
6.1
Bruchzahlen
6.1.1 Brüche und die Menge der rationalen Zahlen
Def.:
1. Zeichen der Art 1 , 1 , 3 , 3 ,..., nz nennt man Brüche. Teilt man eine
2 5 5 6
Größe in n gleiche Teile und setzt danach z solcher Teile zu einer
neuen Größe zusammen, so ist nz das Verhältnis des Bruchteils zur
ganzen Größe.
2. z heißt Zähler, n heißt Nenner.
3. Ist der Zähler z = 1, dann heisst 1n der Kehrbruch von n. Solche
Brüche werden auch Stammbrüche genannt.
Veranschaulichung der Brüche am Zahlenstrahl:
Zwei der drei folgenden Angaben sind gegeben, die restliche ist gesucht:
das Ganze G
ein Teil T (vom Ganzen)
der Bruchteil a , den der Teil bezüglich des Ganzen darstellt.
b
Typ 1: Gesucht ist der Teil T:
7
7
Beispiel:
von 36 =
⋅ 36 = (36 : 12) ⋅ 7 = 21
12
12
Typ 2: Gesucht ist der Bruchteil a :
b
Beispiel:
Welcher Bruchteil von 60 ist 42?
a
42
7
Lösung:
Der Bruchteil =
=
b 60 10
Typ 3: Gesucht ist das Ganze G:
Beispiel:
Lösung:
Wichtig:
5
von G ist 20
8
1
8
von G = 20 : 5 = 4 ⇒
von G = 4 ⋅ 8 = 32 = G
8
8
„Bruchteil von etwas“ ist „Bruchteil mal etwas“.
6.1.3 Erweitern und Kürzen
Def.:
Für jede Bruchzahl gibt es mehrere Schreibweisen z.B.:
1 2 5
6
7
= =
=
=
2 4 10 12 14
Der Quotient z : n und der Bruch nz sind gleichwertig (z ∈ Z; n ∈ N).
Def.: Die Menge der Bruchzahlen fassen wir in der Menge Q zusammen. Sie
heißen auch rationale Zahlen. Es gilt: N ⊂ Z ⊂ Q
Q + = { q∈Q | q > 0 }= Menge aller positiven Bruchzahlen
Q 0+ = { q∈Q | q ≥ 0 }= Menge aller positiven Bruchzahlen einschließl. 0
Q– = { q∈Q | q < 0 }= Menge aller negativen Bruchzahlen
-Q 0 = { q∈Q | q ≤ 0 }= Menge aller negativen Bruchzahlen einschließl. 0
1. Erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
2. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren, am
besten durch den größten gemeinsamen Teiler.
Beim Erweitern und Kürzen ändert sich nur die Form, nicht der Wert des
Bruches!
Beispiel:
7 2 14
=
;
12
24
7 3 21
=
;
12
36
Beispiel:
117
39
=
=
156 3 52 13
3
4
7 12 84
=
12
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Grundwissen 6. Klasse
ZZ
6.2
Rechengesetze für Bruchzahlen
NZ
ZZ : ZN = ZZ ⋅ NN
Vereinfachung von Doppelbrüchen: ZN
= NZ
NN NZ ⋅ ZN
NN
6.2.1 Addition und Subtraktion von Brüchen
Brüche mit verschiedenen Nennern werden
• erst auf den gleichen Nenner (Hauptnenner = kgV) gebracht,
• dann wird addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw.
subtrahiert und den Nenner beibehält;
• das Ergebnis wird ggfs. gekürzt.
2 4 18 20 18+ 20 38
5 2 25 4 21 7
Beispiele:
+ =
+
=
=
−
=
−
=
=
6 15 30 30 30 10
5 9 45 45
45
45
Def.:
1. Zahlen, die aus natürlichen Zahlen und Brüchen bestehen, heißen
gemischte Zahlen.
ZZ = Zähler des Zählers, NZ = Nenner des Zählers, ZN = Zähler des Nenners
und NN = Nenner des Nenners. Nach der Vereinfachung stehen im Zähler
ZZ mal NN, die gemischten Teile befinden sich im Nenner.
Beispiel:
7
12
27
48
=
7 ⋅ 48 7 ⋅ 4 28
1
=
=
=1
12 ⋅ 27 1⋅ 27 27
27
6.2.3 K-, A-, D – Gesetz
Diese fünf Gesetze (zwei Kommutativgesetze, zwei Assoziativgesetze und ein
Distributivgesetz) aus der 5. Klasse gelten unverändert auch in der Menge aller
rationalen Zahlen Q (siehe also dort).
2. Ist der Zähler größer als der Nenner, so heißt der Bruch unecht.
Beispiel:
1
6.3
5
5 12 5 17
=1+
=
+
=
12
12 12 12 12
6.3.1 Dezimalschreibweise
6.2.2 Multiplikation und Division von Brüchen
Multiplikation:
Beispiel:
5 9
5 ⋅ 9 1⋅ 3 3
⋅
=
=
=
6 25 6 ⋅ 25 2 ⋅ 5 10
Division:
(vor dem Multiplizieren kürzen!)
Durch einen Bruch nz wird dividiert, indem man
mit seinem Kehrbruch nz multipliziert.
Insbesondere:
Bruch : Zahl
Beispiel:
Zähler ⋅ Zähler
Nenner ⋅ Nenner
Zähler ⋅ Zahl
=
Nenner
Bruch ⋅ Bruch =
Bruch ⋅ Zahl
Dezimalzahlen
=
Zähler
Nenner ⋅ Zahl
2
7 3 7 ⋅ 16 7 ⋅ 2 14
: =
=
=
=4
8 16 8 ⋅ 3 1 ⋅ 3 3
3
1
1
1
0,01 =
0,001 =
10
100
1000
Die Anzahl der Nullen im Nenner bestimmt die Anzahl der Dezimalen.
0,1 =
Wichtige Dezimalbrüche:
1
= 0,5
2
1
= 0,25
4
3
= 0,75
4
1
= 0,2
5
2
= 0,4
5
3
= 0,6
5
4
= 0,8
5
1
= 0,125
8
3
= 0,375
8
5
= 0,625
8
7
= 0,875
8
1
= 0,04
25
1
= 0,025
40
1
= 0,02
50
1
= 0,008
125
Beachte: Der Wert eines Dezimalbruchs bleibt unverändert, wenn man
Endnullen anhängt (erweitert) oder Endnullen weglässt (kürzt). Die
Endnullen müssen natürlich hinter dem Komma stehen!
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6.3.2 Zahlenstrahl und Intervalle mit Dezimalzahlen
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Beispiele: 0,48 ⋅ 3,42 = 1,6416, weil 48 ⋅ 342 = 16416 ist.
1,24 ⋅ 2,45 = 3,0380 = 3,038, weil 124 ⋅ 245 = 30380 ist.
Im Folgenden steht zuerst die Mengenschreibweise, dann die
Intervallschreibweise:
abgeschlossenes Intervall:
I1={ x | 0,15 ≤ x ≤ 0,4 } = [0,15 ; 0,4]
Beim Dividieren durch einen Dezimalbruch formen wir zunächst durch
gleichsinnige Kommaverschiebung beim Dividenden und Divisor so um, dass der
Divisor eine natürliche Zahl wird; danach führen wir die Division durch (Komma
beachten!).
Beispiel: 0,0364 : 0,08 = 3,64 : 8 = 0,455
(Zunächst Kommaverschiebung um jeweils 2 nach rechts!)
6.3.4 Zusätzliche Rundungsregeln bei Dezimalzahlen
halboffenes Intervall:
offenes Intervall:
I2={ x | 0,1 ≤ x < 0,35 } = [ 0,1 ; 0,35[
I3={ x | 0,2 < x < 0,45 } = ] 0,2 , 0,45 [
6.3.3 Rechnen mit Dezimalbrüchen
Beim Addieren bzw. Subtrahieren von Dezimalbrüchen erweitern wir auf gleich
viele Ziffern nach dem Komma, dann addieren bzw. subtrahieren wir
stellenweise.
Beispiele: 4,805 + 0,9 = 4,805 + 0,900 = 5,705
3 – 2,65
= 3,00 – 2,65 = 0,35
Dezimalbrüche werden multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf das
Komma die Zahlen multipliziert. Danach erhält das Ergebnis so viele
Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen besitzen.
Regel: 1. Gültige Ziffern werden bei Dezimalzahlen immer erst ab der ersten
Ziffer ≠ 0 von links her berücksichtigt.
2. Bei Produkten und Quotienten mit Größen wird immer auf so viele
gültige Ziffern gerundet wie die ungenaueste Angabe.
3. Bei Additionen und Subtraktionen mit Größen ist beim Runden nicht
die Anzahl gültiger Ziffern entscheidend, sondern der tatsächliche
Genauigkeitswert.
Beispiel zu 1: Runden auf 2 gültige Ziffern: 0,002554 ≈ 0,0026
Beispiel zu 2+3: Zwei Längen wurden mit 12m und 152mm gemessen. Die
Messgröße 12m liegt im Interval [11,5m ; 12,5 m[, entsprechend gilt
152 mm ∈ [151,5mm; 152,5mm[. Die Genauigkeit bei der 2. Größe bringt für
das Ergebnis keine Vorteile. Das ungenaue erste Messergebnis schlägt immer
durch:
Produktbeispiel:
Untergrenze: 151,5mm ⋅ 11,5m = 0,1515 ⋅ 11,5 m2 = 1,74225 m2
Obergrenze: 152,5mm ⋅ 12,5dm = 1,525 ⋅ 12,5 dm2 = 1,90625 m2
daher 152mm ⋅ 12m = 1,824 m2 ≈ 1,8 m2 (2 gültige Ziffern!)
Additionsbeispiel:
Untergrenze: 151,5mm + 11,5m = 1,515 dm + 115 dm = 116,515dm
Obergrenze: 152,5mm + 12,5m = 1,525 dm + 125 dm = 125,1525dm
Ergebnis:
152mm + 12m = 1,52dm + 120 dm = 121,52dm ≈ 12m
(auf m gerundet, da das die Genauigkeit der ungenaueren Größe ist!)
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6.3.5 Periodische Dezimalzahlen
1
1
1
= 1: 3 = 0,333.... = 0, 3 ,
= 0,111.... = 0, 1
= 0, 142857
3
9
7
Def.: 1. Dezimalzahlen, deren Nachkommastellen bis ins Unendliche gehen,
heißen unendliche Dezimalzahlen, die bisherigen Zahlen heißen
endliche Dezimalzahlen.
2. Zahlen, die durch eine immer wiederkehrende Zifferngruppe (=
Periode) zusammengesetzt sind, heißen periodische Dezimalzahlen.
3. Periodische Dezimalzahlen, deren Periode unmittelhar hinter dem
Komma beginnt, heißen reinperiodisch, die anderen gemischt
periodisch.
6.4
Prozentrechnung
6.4.1 Grundlagen
1
= 0,01
100
n
n Prozent = n% =
100
1
1 Promille = 1%o =
= 0,001
1000
1 Prozent = 1% =
2
17 = 0,17 = 17%
Beispiele: 17 m² von 100 : 17 m = 100
100m 2
4. Die Ziffern zwischen dem Komma und der ersten Periode heißt
Vorperiode.
88 kg von 2 t:
Regeln:
Jeder Bruch nz mit z∈Z und n∈N lässt sich in eine periodische
Dezimalzahl verwandeln und umkehrt ist jede periodische Dezimalzahl ein
Bruch.
Endliche Brüche sind Brüche, bei denen die Primfaktorenzerlegung des
Nenners nur aus 2er- und 5er-Potenzen bestehen. Die Anzahl der
Dezimalstellen nach dem Komma entspricht dem größten Exponenten
dieser 2er- und 5er-Potenzen.
24
99
0,04 = 0, 4 : 10 = 49 :10 =
4
90
0, 024 =
24
999
=
8
333
0, 0024 =
24
9999
=
8
3333
0,024 =
24
990
=
4
165
0,0024 =
24
9900
=
2
825
Bemerkungen für besonders interessierte Schüler:
Die Vorperiodenlänge hängt nur von der Primfaktorenzerlegung des
Nenners ab. Sie entspricht dem größten Exponenten der 2er- und 5erPotenzen.
Ist der Nenner eines Bruches eine Primzahl p ungleich 2 und 5, so ist die
Periodenlänge ein Teiler von p–1.
Prozentwert = Prozentsatz vom Grundwert
PW = PS ⋅ GW
Merke:
Beispiele:
Beispiele:
0, 24 =
88kg
44
= 0,044 = 44%o = 4,4%
=
2000kg 1000
Prozentwert berechnen: 3% von 900 = 0,03 ⋅ 900 = 27
Grundwert berechnen:
30
12% von x = 30 ⇒ 0,12⋅x = 30 ⇒ x =
= 250
0,12
Prozentsatz berechnen:
225
x von 600 ist 225 ⇒ x⋅ 600 = 225 ⇒ x =
= 0,375 = 37,5%
600
6.4.2 Prozentrechnung in der Wirtschaft
Skonto, Rabatt
Skonto erhält man bei Bestellungen auf Rechnung, wenn man in sehr kurzer
Zeit bezahlt. Der Kaufpreis ist zunächst 100%, von dem der Skontobetrag
abgezogen wird.
Rabatt (Preisnachlass) erhält man wegen Sonderaktionen oder wegen
Qualitätsminderung. Die Berechnung ist gleichartig zum Skonto.
Mehrwertsteuer
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Wenn man in einem Geschäft Ware kauft, zahlt man automatisch
Mehrwertsteuer (MWSt), die der Händler an den Staat abführen muss. Sie
beträgt z.B. 16%, allerdings nicht vom Verkaufswert. Der Verkaufswert ist
116% = 100% + 16%. Bei einem Betrag ohne MWSt spricht man vom
Nettobetrag, bei dem mit MWSt vom Bruttobetrag.
Welcher Steueranteil wird von einem Käufer bezahlt, wenn er eine Ware von
174 € (Euro) erwirbt.
Lösung:
116% entsprechen 174 €
1% sind 174 € : 116 = 1,50 €
16% entsprechen 1,50 € ⋅ 16 = 24 €.
Der Händler kauft ein Gerät um 69,60 € (einschließlich Mehrwertsteuer).
Er verkauft die Ware um 84 € (ohne Mehrwertsteuer) und bezahlt die
Einkaufsrechnung nach 7 Tagen mit 3% Skonto.
a)
Nettobetrag
16% MWSt
Bruttobetrag
Einkaufspreis Skonto Einkaufs ursprüngl. Verkaufs
abzgl. Skonto
3%
preis (EK) Aufschlag -preis
58,20
1,80
60,00
24,00
84,00
9,31
0,29
9,60
3,84
13,44
67,51
2,09
27,84
97,44
69,60
b) Wieviel Prozent beträgt der tatsächliche Aufschlag des Händlers?
Lösung:
Der Händler hat zunächst 84 € – 60 € = 24 €, also 24 = 0,40 = 40%
60
auf seinen EK aufgeschlagen. Da sein Rohgewinn 84,00 € – 58,20 € =
25,80 € beträgt, ist der tatsächliche Aufschlag sogar
25,80
58,20 ≈ 0,443 = 44,3% .
Zinssatz und Zins
Wenn man Geld leiht, hat man dafür eine Gebühr (= Zins) zu zahlen. Die
Angabe wird in Prozent (=Zinssatz) gemacht. Jeder Monat wird mit 30
Tagen, das ganze Jahr also mit 360 Tagen gerechnet.
Jahreszins = Kapital ⋅ Zinssatz und
Tageszins = Jahreszins : 360
Beispiel: Ein Kaufmann erhält von einer Bank am 5. Februar ein Darlehen
von 8.000 €. und muss dafür 8% Zins zahlen. Die Rückzahlung erfolgt am
12. Dezember des gleichen Jahres.
Lösung: Zins = 8000 € ⋅ 0,08 : 360 ⋅ (11 ⋅ 30 + 12 – (30 + 5)) =
= 640 € : 360 ⋅ 307 = 545,78 €.
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6.5 Relative Häufigkeit
6.5.1 Zufallsexperimente
Experimente wie z.B. das Werfen eines Spielwürfels oder einer Münze, das
Drehen eines Glücksrades usw., deren Ergebnis vom Zufall abhängt, nennt man
Zufallsexperimente.
6.5.2 Relative Häufigkeit
Bsp.: Wirft man einen Würfel 100 mal und tritt dabei die Augenzahl fünf 13 mal
ein, so sagt man die absolute Häufigkeit der Augenzahl fünf ist 13, die relative
13
Häufigkeit ist 100
.
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl
Re lative Häufigkeit =
Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stabilisiert sich die relative
Häufigkeit eines einzelnen Ergebnisses um eine bestimmte Bruchzahl.
6.6 Zuordnungen
6.6.1 Direkte Proportionalität
Direkte Proportionalität bedeutet, dass zum 2-, 3-, 4-, ..., n-fachen der einen
Größe x der 2-, 3-, 4-, ..., n-fache Wert der anderen Größe y gehört.
Beispiel: 4 Stück einer Ware kosten 75,60 €. Wieviel kosten 9 Stück derselben
Ware?
Stückzahl
4
:4
1
⋅9
=9
Preis in €
75,60
:4
18,90
⋅9
= 170,10
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6.6.2 Indirekte Proportionalität
Indirekte Proportionalität bedeutet, dass zum 2-, 3-, 4-, ... , n-fachen Wert der
einen Größe x die Hälfte, der 3. Teil, der 4. Teil, ... , n-te Teil der anderen Größe
y gehört.
Schreibweise: x ~ y1
Sprechweise: „x indirekt proportional zu y“
Beispiele:
2 Pumpen brauchen zum Füllen eines Beckens 9 Stunden, wie lange brauchen 5
Pumpen?
Pumpenanzahl
2
:2
1
⋅5
5
Dauer in h
9
⋅2
18
:5
3,6
Beachte: Rechne über die Einheit 1 oder über den größten
gemeinsamen Teiler!
6.8
Geometrische Grundbegriffe
6.8.1 Flächeninhalt von
Parallelogramm, Dreieck und
Trapez
Flächeninhalt eines Parallelogramms:
A = a ⋅ ha = b ⋅ hb
Flächeninhalt eines Dreiecks:
A = 12 ⋅ a ⋅ h a = 12 ⋅ b ⋅ h b = 12 ⋅ c ⋅ h c
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Folgerung:
Dreiecke und Parallelogramme, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe
übereinstimmen, sind flächengleich.
Flächeninhalt eines Trapezes:
A = 12 ⋅ (a + c ) ⋅ h = m ⋅ h , wobei h der Abstand der parallelen Seiten a und c ist.
Bei komplizierteren Flächen muss man versuchen, die Fläche möglichst in
Dreiecke, Parallelogramme und/oder Trapeze zu zerlegen.
6.8.2 Volumen
Rauminhalte werden in Kubikmeter, Kubikdezimeter, usw. gemessen.
Die Umrechnungszahl ist 1000, d.h. das 1000-fache einer Volumeneinheit ergibt
jeweils die nächst größere Volumeneinheit:
1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³ = 1.000.000.000 mm³
1 dm³ =
1.000 cm³ =
1.000.000.mm³
1 cm³ =
1000 mm³
(1 dm³ = 1l)
Weitere Beispiele:
a)
1 hl = 100 l = 100 dm³
(Hektoliter)
b)
1 ml = 1 cm3
(Milliliter)
c)
1 km3 = 1 000 000 000 m³ = 10 9 m3 = 1015 cm3
Der Rauminhalt von Quader und Würfel
Quader mit Länge l, Breite b, Höhe h:
V=l⋅b⋅h
Würfel mit Kantenlänge a:
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Umrechnungszahl für Längen:
Umrechnungszahl für Flächen:
Umrechnungszahl für Rauminhalte:
10
100
1000