1. Aufgabe - WordPress.com

1. Aufgabe
Fall
a)
Merkmalsträger
Studierende des 1.
Semesters im
Studiengang
„Betriebswirtschaftslehre“
an der Hochschule BonnRhein-Sieg, Standort
Sankt Augustin
Merkmal
Staatsangehörigkeit
Merkmalsausprägung
Alle möglichen
Staatsangehörigkeiten:
Deutsch
Russisch
Polnisch
Türkisch ……………..
Skalenniveau
nominal
b)
Alle wahlberechtigten
Bürger der Stadt Bonn
Partei
nominal
c)
Alle deutschen Frauen
zwischen 30 und 40
Einkommen
CDU, SPD, FDP,
Bündnis 90/Die Grünen,
BBB,…………
Alle möglichen Angaben
in Euro
d)
Aller Städte ( >= 100.000
Einwohner) in NRW
Außentemperatur
am 31. Dezember
2008
Alle möglichen
Temperaturangaben in
C°
e)
Ausgewählte
Konsumenten
Von „sehr gut“ bis „sehr
schlecht“
ordinal
f)
Alle Bonner
Gymnasialschüler
Von 0 bis ……
Metrisch diskret
g)
Alle EU Mitgliedsstaaten
Von 0% bis …………
Metrisch - stetig
h)
Bonner Bürger
Verschiedene
Einstellungsabstufungen
ordinal
i)
Eier vom Bonner
Wochenmarkt
Bonner Kinder, die zum
Schuljahr 2009/10
eingeschult wurden
Beurteilung der
Qualität einer TV Show
Anzahl
Kinobesuche in den
Sommerferien 2009
Inflationsrate im Juli
2009
Einstellung zum
geplanten Bau des
Festspielhauses
Güteklasse
Die verschiedenen
Klassen, A, B und C
Alle möglichen
Ausprägungen in cm
ordinal
j)
Körpergröße
Metrisch –
verhältnisskaliert
(stetig oder
diskret)
Metrisch –
intervallskaliert
(stetig)
Metrisch (stetig)
2. Aufgabe
Merkmal
Merkmalsausprägung
Information
Augenfarbe
Grün, blau, braun
qualitativ
Bierkonsum
0 – 5 [ Liter ]
quantitativ
Bruttogehalt
Niedrig, hoch, sehr hoch
qualitativ
Konfession
evangelisch, katholisch
qualitativ
Steuerklasse
I -V
qualitativ
Merkmal
Skalenniveau
Vermerk
Geschwindigkeit von Ameisen
Metrisch (Verhältnisskaliert)
stetig
Alter in ganzen Jahren
Metrisch (Verhältniskaliert)
diskret
Fernsehkonsum in Std
Metrisch (Verhältnisskaliert)
diskret
Seitenzahl Buch
Metrisch (Verhältnisskaliert)
diskret
Steuerklasse
nominal
Konfektionsgröße
ordinal
Fußballmannschaft
nominal
Wertung beim Eiskunstlauf
ordinal
Güteklasse von Restaurants
ordinal
3. Aufgabe
4. Aufgabe
a)
xi
hi
270
280
290
295
300
310
330
480
510
Summe:
fi
2
1
1
1
1
1
1
1
1
10
Hi
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
1
Fi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
b)
Arithmetisches Mittel: 333,5
Modus: 270
Median: 297,5
c)
Der Median von 297,5 wird von den Ausreißern nicht beeinflusst. Das arithmetische Mittel
von 333,5 ist allerdings höher als 80% der beobachteten Werte (wird maßgeblich durch die
Ausreißer verzerrt!)!
5. Aufgabe
Der Median liegt bei 61 Punkten: Bei 21 Beobachtungswerten (ungerade) liegt der Median
beim (n+1)/2 ten (nach der Größe geordneten) Beobachtungswert: (21 + 1)/2 =11.
Beobachtungswert
Arithmetisches Mittel: 59,048
Intervall
Klassenmitte hi
0 – 20
21 - 40
41 - 60
61 - 80
81 - 100
9,5
30,5
50,5
70,5
90,5
Hi
1
4
5
7
4
21
fi
1
5
10
17
21
Fi
0,048
0,19
0,238
0,333
0,19
1
0,048
0,238
0,476
0,81
1
Summenhäufigkeitsfunktion
Die Punktzahl, die 50% aller Teilnehmer erreicht haben ist natürlich der Median: 61 und
diese Punktzahl liegt in Klasse 4!
6. Aufgabe
X G  6 1,16 * 1,18 * 1,1* *0,92 * 1,15 * 1.06 = 1,09124
7. Aufgabe
Die durchschnittliche Entwicklungsrate beträgt 11,73%
8. Aufgabe
Durchschnittliche Wachstumsrate Branche:
Wachstumsfaktoren: 1,021; 1,069; 1,0714
√
Durschnittliche W.-rate : 5,35% (mögliche Rundungsdiff. 5,38% genauer!!!)
Durchschnittliche Wachstumsrate Unternehmen:
√
Durchschnittliche W.-rate: 6,11% (6,12% genauer!)
9. Aufgabe
Varianz: 6860,25 [€²]
Stabw.: 82,8266 €
Gemessen am arithmetischen Mittel von 333,50 € ist ein Preis von 320€ eher als
unterdurchschnittlich anzusehen. Er liegt, gemessen am Median aber über den ersten 50%
der Verteilung und findet sich somit im oberen Preisniveau wieder!
10.
Aufgabe
Modus: 181 € (der häufigste Wert)
Median: 192 € (bei 8 Beobachtungswerten, liegt der Median, nachdem man die
Beobachtungswerte der Größe nach geordnet hat bei
Arithmetisches Mittel: 194 €
Varianz: 1436
Standardabweichung: 37,89
Kosten in€
hi
fi
Fi
125
1
0,125
0,125
159
1
0,125
0,25
181
2
0,25
0,5
203
1
0,125
0,625
225
1
0,125
0,75
233
1
0,125
0,875
245
1
0,125
1
Die mittleren 40% liegen 20% über und 20% unter dem Median (=50%), d.h. in dem Intervall
30% und 70%.
Die 30% werden bei 181 € erreicht – die 70% bei 225 €
Intervall der mittleren 40% [181; 225]
11.
Aufgabe
Anteile an der
Person Grundgesamtheit
Kumulierte
Anteile an der
Grundgesamtheit
Einkommen
Anteile am
Gesamteinkommen
0
Kumulierte Anteile
am Gesamteinkommen
0
A
0,2
0,2
11.000,00 €
0,183
0,183
D
0,2
0,4
11.000,00 €
0,183
0,367
E
0,2
0,6
11.000,00 €
0,183
0,550
B
0,2
0,8
13.000,00 €
0,217
0,767
C
0,2
1
14.000,00 €
0,233
1,000
60.000,00 €
12.
Aufgabe
In einer amtlichen Statistik finden Sie folgende Verteilung der Erwerbstätigen in der BRD für
April 1990 (in 1.000 Personen):
Altersgruppe
von … ..
bis unter…
Nr.
Selbstständige und
mithelfende
Familienangehörige
abhängig
Beschäftigte
1
15 -25
99
5002
2
25 - 35
531
7009
3
35 - 45
1243
5731
4
45 - 55
937
6051
5
55 - 65
595
2284
6
65 - 75
160
63
7
75 - 95
42
16
1)Was sind die statistischen Einheiten, Grundgesamtheiten und Merkmale?
Statistische Einheit ist bzgl. der 2 dimensionalen HV der einzelne Erwerbstätige in der BRD
im April 2009
Grundgesamtheit: Alle Erwerbstätigen im April 2009
Merkmale:
1.) Art der Beschäftigung mit 2 Ausprägungen
2.) Zugehörigkeit Altersklasse mit 7 Ausprägungen
2) Berechnen Sie das Durchschnittsalter der Selbstständigen und Familienangehörigen
sowie der abhängig Beschäftigten.
Durchschnittsalter Selbstständige: 45,23
Durchschnittsalter abh. Beschäftigte: 37,16
Altersgruppe X
von … ..
bis unter…
Nr.
Selbstständige und
mithelfende
Klassenmitte xi Familienangehörige
1
15 -25
19,5
99
1.931
2
25 – 35
29,5
531
15.665
3
35 – 45
39,5
1243
49.099
4
45 – 55
49,5
937
46.382
5
55 – 65
59,5
595
35.403
6
65 – 75
69,5
160
11.120
7
75 – 95
84,5
42
3.549
3.607
163.147
Summen
3) Welcher Anteil der Selbstständigen und welcher Anteil der Unselbstständigen ist 55
Jahre und älter?
Altersgruppe X
Selbstständige und
von … ..
mithelfende
bis unter…
Klassenmitte xi Familienangehörige
Nr.
Rel.
Häufigkeiten
Kum. rel.
Häufigkeiten
1
15 -25
19,5
99
0,027
0,027
2
25 - 35
29,5
531
0,147
0,175
3
35 - 45
39,5
1243
0,345
0,519
4
45 - 55
49,5
937
0,260
0,779
5
55 - 65
59,5
595
0,165
0,944
6
65 - 75
69,5
160
0,044
0,988
7
75 - 95
84,5
42
0,012
1,000
3.607
1,000
Summen
Altersgruppe X
von … ..
bis unter…
Klassenmitte xi
Nr.
abhängig
Beschäftigte
Rel.
Häufigkeiten
Kum. rel.
Häufigkeiten
1
15 -25
19,5
5002
0,191
0,191
2
25 - 35
29,5
7009
0,268
0,459
3
35 - 45
39,5
5731
0,219
0,678
4
45 - 55
49,5
6051
0,231
0,910
5
55 - 65
59,5
2284
0,087
0,997
6
65 - 75
69,5
63
0,002
0,999
7
75 - 95
84,5
16
0,001
1,000
26.156
1,000
Summen
4) Welcher Anteil der 65jährigen und älteren Erwerbstätigen ist selbstständig?
Anzahl der Erwerbstätigen ab 65 und älter: 223 + 58 = 281
Davon sind selbstständig: 160 + 42 = 202
Anteil: 202/281 = 71,9 %
13.
Aufgabe
(a) Merkmalsträger: Anzahl der Vorstellungen
Merkmal: Anzahl der verkauften Karten
(b) Xa = 800 Karten (Klassenmitten ausrechnen; diese mit den absoluten Häufigkeiten
multiplizieren und anschließend durch 500 teilen!)
(c) Einzelne absolute Häufigkeiten aufaddieren: 200+50+50 = 300
(d) (200/2)+50+50 = 300
(e) 400.000 Karten
14.
Aufgabe
a) 200,30 cm
b) 203 cm
c) Varianz: 74,21 [cm²] => Stabw: 8,61 cm
d) 8,61 / 200,30 = 0,043 = 4,30%
15.
Aufgabe
Zu a) ordinal skaliertes Merkmal: nur Median möglich
Nach der Reihenfolge sortiert (1, 2, 3,4, 4,), der 3. Beobachtungswert: 3
Modus : 4
Zu b) Verhältnisskaliertes Merkmal/metrisch skaliert: Geometrisches Mittel, da
Wachstumsfaktoren:
x G  n x 1h1 * x 2 h2 * ... * x k hk
 5 1* 2 * 3 * 4
2
 2,491
Durchschnittlicher Wachstumsfaktor 2,49%
Zu c) nominalskaliertes Merkmal: nur Modus: 4 (graublaue Augen)
Zu d) metrische Skalierung: arithmetisches Mittel: (1 +2 +3+ 4 + 4)/5 = 2,8 km
16.
Aufgabe
a)
Merkmal:
Anzahl der Taxen in der Stadt
Merkmalsträger:
20 Taxi Unternehmen
Merkmalsausprägungen:
jede denkbare Taxi-Anzahl (xi)
Beobachtungswerte:
Taxianzahl in dem jeweiligen Unternehmen
b)
xi
1
2
3
4
5
6
Summe:
hi
fi
8
4
2
2
2
2
20
Hi
0,4
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
1
Fi
8
12
14
16
18
20
0,4
0,6
0,7
0,8
0,9
1
c)
Arithmetisches Mittel: 2,6
Modus: 1 [Taxi]
Median: 2 [Taxen]
Q1 = 1 [Taxi]
Q3 = 4 [Taxen]
d)
QA = Q3 – Q1 = 3 => 50% der UN haben zwischen 1 und 4 Taxen!
Varianz: 3,04 => Stabw: 1,7436
e)
Anzahl aller Taxen der Stadt (bzw. der 20 Unternehmen): 2,6 (arithmetisches Mittel) * 20
(Unternehmen) = 52 Taxen
Anzahl der Taxen der 5 kleinsten Unternehmen
=>
1+1+1+1+1 = 5 => 5/52 * 100 = 9,6%
-> Die 5 kleinsten Unternehmen, haben 9,6% aller Taxen der Stadt!
Anzahl der Taxen der 5 größten Unternehmen:
=>
6+6+5+5+4=26 => 26/52 * 100= 50%
->Die 5 größten Taxiunternehmen haben 50% aller Taxen der Stadt!
17.
Aufgabe
a)
Anzahl
Überstunden
Anzahl
Mitarbeiter
fi
Hi
Fi
0
7 0,23
7
0,23
1
3 0,10
10
0,33
2
4 0,13
14
0,47
3
9 0,30
23
0,77
4
4 0,13
27
0,90
5
2 0,07
29
0,97
8
1 0,03
30
1,00
1
(b)
72 Überstunden! (0*7+1*2+2*4…)
(c)
Median: 0,5* (3+3)= 3 Überstunden
50% der MA haben bis zu 3 Überstunden gemacht
Modus:
3 Überstunden
Der am häufigsten beobachtete Wert waren 3 Überstunden
Arithmetisches Mittel:
72/30 = 2,4 Überstunden
Im Durchschnitt hat jeder MA 2,4 Überstunden gemacht.
(d)
Varianz= 3,507 => Stabw. = 1,873 Überstunden
Durchschnittlich weichen die einzelnen Beobachtungswerte um ca. 1,87
(Über-)Stunden vom arithmetischen Mittel ab.
(e) - die 10 Mitarbeiter mit den wenigsten Überstunden?
0*7+3*1 = 3
3/72= 4,16%
- die 10 Mitarbeiter mit den meisten Überstunden?
1*8+2*5+4*4+3*3= 43
(f)
0,3+0,13+0,07 = 50%
43/72= 59,72
18.
Aufgabe
a) 8.050.000,00 € - hier die Klassenmitten berechnen xi’ als Stellvertreter
b) 35.590,91 € arithmetisches Mittel; Der Modus liegt in Klasse 2 [ 10 bis unter 20 ], der Median
liegt in Klasse 3 [20 bis unter 30].
x io  x ui
xi' 
2
Depotwert
(in Tausend €)
Klasse von
Anzahl
Depots hi
bis unter
Klassen
breite
Depotwert pro
Klasse (in Tausend
€)
xi’
Hi
fi
Fi
1
0
10
40
10
5
200
40
0,18
0,18
2
10
20
60
10
15
900
100
0,27
0,45
3
20
30
50
10
25
1250
150
0,23
0,68
4
30
50
30
20
40
1200
180
0,14
0,82
5
50
100
20
50
75
1500
200
0,09
0,91
6
100
200
20
100
150
3000
220
0,09
1,00
220
kum
Depotwert
Anteil am
Gesamtwert
2 i 'x i x
Klasse
ou
c) Unter 30.000 € = F(3) = 68%
d) In Klasse 5: Hier wird der 50% Anteil am Gesamtwert überschritten
Fi
1
0,18
200
2,48%
2
0,45
1100
13,66%
3
0,68
2350
29,19%
4
0,82
3550
44,10%
5
0,91
5050
62,73%
6
1,00
8050
100,00%
8050
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen
19.
Aufgabe
beobachtete absolute Häufigkeiten
Lernfrequenz
Erfolg
Regelmäßig
Bestanden
nicht regelmäßig
152
8
8
32
nicht bestanden
beobachtete relative Häufigkeiten
Erfolg (X)
Bestanden
nicht bestanden
Summen
Lernfrequenz (Y)
regelmäßig
nicht regelmäßig
Summen
0,8 f(x1)
0,76
0,04
0,2 f(x2)
0,04
0,16
0,8
0,2
1
f(y1)
f(y2)
erwartete (theoretische) relative Häufigkeiten (Unabhängigkeit!!!)
Lernfrequenz (Y)
Erfolg (X)
regelmäßig
Summen
nicht regelmäßig
Bestanden
0,64
0,16
0,8
nicht bestanden
0,16
0,04
0,2
0,8
0,2
1
Summen
Indifferenztabelle (theor. abs. Häufigkeiten)
Lernfrequenz (Y)
Erfolg (X)
regelmäßig
Bestanden
nicht bestanden
Summen
Summen
nicht regelmäßig
128
32
160
32
8
40
160
40
200
Arbeitstabelle
Spalte j
1
2
1
2
ho
he
152
8
8
32
Summen:
200
Zeile i
1
1
2
2
X² max = 200
X²/X²max = 0,5625
V = 0,75
20.
Aufgabe
a) 10,13%
b) 87%
128
32
32
8
(ho-he)
24
-24
-24
24
(ho-he)²
576
576
576
576
X²
4,5
18
18
72
200
0
2304
112,5
21.
Aufgabe
Absolute Häufigkeiten
männlich
weiblich
Summe
unzufrieden
122
173
295
neutral
40
20
60
zufrieden
241
198
439
Summe
403
391
794
neutral
0,0504
0,0252
0,0756
zufrieden
0,3035
0,2494
0,5529
Summe
0,5076
0,4924
1,0000
Relative Häufigkeiten
männlich
weiblich
Summe
unzufrieden
0,1537
0,2179
0,3715
a) Anteil der Frauen unter den Personen, die mit der Euro-Währung zufrieden sind:
45,10% (198/439)
b) % der Männer, die unzufrieden sind mit der Euro-Währung
30,27% (122/403)
22.
Aufgabe
a)
Beobachtete absolute Häufigkeiten
männlich
12
25
37
Bier
Wein
Summe
weiblich
32
31
63
Summe
44
56
100
Beobachtete relative Häufigkeiten
männlich
0,12
0,25
0,37
Bier
Wein
Summe
weiblich
0,32
0,31
0,63
Summe
0,44
0,56
1
Erwartete relative Häufigkeiten (bei Unabhängigkeit)
männlich
0,16
0,21
0,37
Bier
Wein
Summe
weiblich
0,28
0,35
0,63
Summe
0,44
0,56
1,00
Erwartete absolute Häufigkeiten (bei Unabhängigkeit)
männlich
16
21
37
Bier
Wein
Summe
weiblich
28
35
63
Summe
44
56
100
Arbeitstabelle
Zeile i
Spalte j
1
1
2
2
ho
1
2
1
2
he
12
32
25
31
100
(ho-he)
16
28
21
35
100
-4
4
4
-4
0
(ho-he)²
16
16
16
16
64
X²
1,00
0,57
0,76
0,46
2,79
b)
Mit Cramer-Kontingenzmaß
V =√
√
= 0,167 => schwacher Zusammenhang der beiden Merkmale
Mit Phi-Koeffizienten
Φ=√
=√
= 0,167 => schwacher Zusammenhang der beiden Merkmale
Mit dem Pearson’schen Kontingenzkoeffizienten
C=√
=√
Ckorr=
mit cmax= √
Ckorr =
= 0,1647
= 0,707
= 0,233 => schwacher Zusammenhang der beiden Merkmale
c)
Es wurden wesentlich mehr Frauen als Männer befragt. Daher könnte man daran zweifeln,
ob die Umfrage repräsentativ ist!
23.
Aufgabe
a)
Relative Häufigkeiten
Bier (y1)
Wein (y2)
Tequila (y3)
Whiskey
(y4)
Wodka (y5)
Summe
Weiblich
(x1)
0,10
0,25
0,07
0,06
0,09
0,57
Männlich
(x2)
0,23
0,09
0,05
0,03
0,03
0,43
Summe
0,33
0,34
0,11
0,10
0,11
1,00
b)
Bedingung „Geschlecht“
Bier (y1)
Wein (y2)
Tequila (y3)
Whiskey
(y4)
Wodka (y5)
Summe
Weiblich
(x1)
0,18
0,44
0,12
0,11
0,15
1,00
Männlich
(x2)
0,53
0,21
0,11
0,08
0,07
1,00
Summe
c)
Bedingung „Alkohol“
Bier (y1)
Wein (y2)
Tequila (y3)
Whiskey
(y4)
Wodka (y5)
Weiblich
(x1)
0,31
0,73
0,60
0,65
0,75
Männlich
(x2)
0,69
0,27
0,40
0,35
0,25
Summe
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Summe
d)
Unabhängigkeit.
Bei Unabhängigkeit müssten die Werte folgendermaßen verteilt sein:
Bier (y1)
Wein (y2)
Tequila (y3)
Whiskey
(y4)
Wodka (y5)
Summe
Weiblich
(x1)
0,19
0,20
0,07
0,06
0,07
0,57
Männlich
(x2)
0,14
0,15
0,05
0,04
0,05
0,43
Summe
0,33
0,34
0,11
0,10
0,11
1,00
Zum Vergleich nochmal die Verteilung der relativen Häufigkeiten:
Bier (y1)
Weiblich
(x1)
Männlich
(x2)
Summe
Wein (y2) Tequila (y3)
Whiskey
(y4)
Wodka (y5)
Summe
0,10
0,25
0,07
0,06
0,09
0,57
0,23
0,09
0,05
0,03
0,03
0,43
0,33
0,34
0,11
0,10
0,11
1,00
Daraus folgt, dass die Merkmale nicht unabhängig voneinander sind!!!
24.
Aufgabe
a)
rs= 0,783 [Rechnung:(1 -
)]=> Starker positiver Zusammenhang
der beiden Merkmale.
Das Sprichwort trifft auf Basis der oben aufgeführten Untersuchung zu!
(b)
Es fällt auf, dass Paar #4 die größte Differenz aufweist! Es handelt sich bei
diesem Paar um einen Ausreißer!
Durch Weglassen des Paares #4 ergibt sich folgendes Bild:
Ehepaar Nr.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
Konfektionsgröße Frau xi
46
52
32
42
36
48
38
44
34
Konfektionsgröße Mann yi
56
58
44
54
46
60
50
52
48
Rang xi
3
1
9
5
7
2
6
4
8
Rang yi
3
2
9
4
8
1
6
5
7
di
0
-1
0
1
-1
1
0
-1
1
di2
0
1
0
1
1
1
0
1
1
n = 9!!! Und es entsteht eine neue Rangfolge
6
D.h. der Zusammenhang der beiden Merkmale ohne den Ausreißer (Paar
Nummer 4) ist deutlich höher als vorher. Dies schlägt sich in einem höheren
Wert des Rangkorrelationskoeffizienten wieder!
25.
Aufgabe
̅̅̅̅
̅̅̅̅
sx² = 44,790 =>
sx = 6,693
sy² = 99.982,001 => sy = 316,199
Cxy = 478,012,
 rxy = 0,226 => d.h. positiver linearer Zusammenhang der beiden Merkmale.
Regressionsgrade:
f(x) = a+b*x
b = rxy *
 a =̅̅̅̅
0,226 * (316,199/6,693) = 10,677
̅̅̅̅
530,27 – 10,677*6,68 = 458,948
 f(x) = 458,948+10,677*x
R² = (rxy²) = (0,226²) = 0,051 => d.h. 5% der Varitation von y durch x warden durch die
Regressionsgerade erklärt!
26.
Aufgabe
a)
Anzahl Personen (X)
Verteilung der absoluten Häufigkeiten:
Anzahl PKW (Y)
0
2
1
0
1
4
1
2
3
4
Summe
1
6
4
1
1
12
2
0
1
3
0
4
Summe
8
6
4
2
20
Anzahl Personen (X)
Verteilung der relativen Häufigkeiten:
Anzahl PKW (Y)
0
0,1
0,05
0
0,05
0,2
1
2
3
4
Summe
1
0,3
0,2
0,05
0,05
0,6
b)
1.
keinen:
20%
einen:
60%
zwei:
20%
2.
25 % (0,05 / 0,2)
3.
35% (1*1 + 3*2 PKW = 7 PKW => 7/20 = 0,35)
4.
31,25% (5/16 = 0,3125)
5.
65% (13/20)
c)
Arithmetisches Mittel von X = 2 Personen
2
0
0,05
0,15
0
0,2
Summe
0,4
0,3
0,2
0,1
1
Arithmetisches Mittel von Y = 1 PKW
Varianz von X = 1 [Person²] => Stabw. = 1
Varianz von Y = 0,4 [PKW²] => Stabw. = 0,632
d)
Kovarianz
Tabelle zur Hilfe:
HH
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
40
Summe
/20
Xa= 2
x*y
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
1
2
2
2
0
1
20
/20
Ya = 1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
2
4
3
6
6
6
0
4
43
HH
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Summe
y
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
40
x²
x*y
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
1
2
2
2
0
1
20
0
0
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
2
4
3
6
6
6
0
4
43
y²
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
4
9
9
9
9
16
16
100
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
4
1
4
4
4
0
1
28
s²x= 100/20 – (2²) = 1 => √
s²y= 28/20 – (1²) = 0,4 => √
Antwort:
Schwache positive Korrelation der beiden Merkmale X und Y!!!
27.
Aufgabe
a) Absolute Häufigkeitsverteilung
yi
xi
15-35 Jahre
35-45 Jahre
45-75 Jahre
Summe
0
1
10
30
25
65
30
50
20
100
2
25
20
15
60
3
13
7
0
20
4 Summe
2
3
0
5
80
110
60
250
relative Häufigkeitsverteilung
yi
xi
15-35 Jahre
35-45 Jahre
45-75 Jahre
Summe
0
1
0,04
0,12
0,1
0,26
0,12
0,2
0,08
0,4
2
0,1
0,08
0,06
0,24
3
0,052
0,028
0
0,08
b)
Durchschnittsalter ermitteln => zunächst Klassenmitten berechnen:
15 – 35 Jahre = 25 ( (15+35)/2)
35 – 45 Jahre = 40 ((35+45)/2)
45 – 75 Jahre = 60 ((45+75)/2)
Durchschnittsalter: 25*80+40*110+60*60 = 10000/250 = 40 Jahre
Varianz von X = 168 [Jahre²]
c)
Arithmetisches Mittel von Y: 1,20
Varianz: 0,96 [PCs²]
d)
4 Summe
0,008
0,012
0
0,02
0,32
0,44
0,24
1
a) 300 PCs (100*1+2*60+3*20+4*5)
b) 16,67% (20*1+15*2 = 50/300 = 0,1667
c) 0,8333 PCs (20*1+15*2 = 50/60 = 0,8333)
d) 41,67% (25/60 = 0,4167)
e) 14% (35/250 = 0,14)
28.
Aufgabe
Person
Wettbewerb 1 (X)
Wettberwerb 2 (Y)
A
4
6
B
8
4
C
1
3
D
7
7
E
6
5
F
2
1
G
5
8
H
3
2
Arbeitstabelle:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Summe
X
4
8
1
7
6
2
5
3
36
Y
6
4
3
7
5
1
8
2
36
1- ((6*36)/8*(8²-1))
d
-2
4
-2
0
1
1
-3
1
0
=
d²
4
16
4
0
1
1
9
1
36
0,5714
 positiver, mäßig starker Zusammenhang zwischen den Platzierungen des 1. und 2.
Wettbewerbs
29.
Aufgabe
a) Merkmalsträger: Die neun bewerteten Fakultäten bzw. Universitäten!
b)
Anwendung des Rangkorrelationskoeffizienten für den Fall von Bindungen!
Universität Studentenurteil (X) Rang X Professorenurteil (Y) Rang Y
Köln
3
3,5
2,3
Frankfurt
3,1
6
2,4
Münster
3,2
8
2,1
Hamburg
3
3,5
3,1
Mannheim
3,1
6
1,6
Sankt Augustin
2,9
2
2,8
München
2,6
1
2,6
Göttingen
3,1
6
2,1
Erlangen
3,3
9
2,5
Summe
45
Arithm. Mittel X
5
Arithm. Mittel Y
5
Kovarianz
Stabw. X
Stabw. Y
X*Y
4
5
2,5
9
1
8
7
2,5
6
45
-3,5
6,38889 Wurzel =>
6,61111 Wurzel =>
Korrelationskoeffizient
2,528
2,571
-0,5385
X²
14
30
20
31,5
6
16
7
15
54
193,5
Y²
12,25
36
64
12,25
36
4
1
36
81
282,5
16
25
6,25
81
1
64
49
6,25
36
284,5
30.
Aufgabe
Wie gut schätzt die Regressionsgerade die Veränderung der Punktzahl in der Klausur bei
einer Veränderung der Anzahl vorbereiteter Hausübungen?
 R² = 0,513 => 51,30 % der Regression von Y durch X werden durch die
Regressionsgrade erklärt.
31.
Aufgabe
32.
Betrieb
Aufgabe
Umsatz (X)
xi2
Aufwand (Y)
yi2
xi*yi
A
78
27
6084
729
2106
B
85
28
7225
784
2380
C
105
31
11025
961
3255
D
116
32
13456
1024
3712
E
91
28
8281
784
2548
F
74
25
5476
625
1850
G
63
22
3969
484
1386
H
75
26
5625
676
1950
I
85
30
7225
900
2550
J
98
31
9604
961
3038
K
105
32
11025
1024
3360
L
57
24
3249
576
1368
1.032
336
92.244
9.528
29.503
Summe
Xa = 1.032/12 = 86
C XY 
sx2 
Ya= 336/12 = 28
1 n
1 n
1
(
x

x
)
*
(
y

y
)

x jy j  X A Y A 
* 29.503  86 * 28  50,59


j
j
n j1
n j1
12
1 n 2
1
x i ( X )2 
* 92.244  86 2  291

n i1
12
s x  291  17,059
sy2 
1 n 2
1
y i ( y )2 
* 9.528  28 2  10

n i1
12
s y  10  3,162
rXY 
C XY
50,59

 0,938
 X *  Y 17,059 * 3,162
b  rxy *
sy
sx
 0,938 *
3,162
 0,174
17,059
a  28  0,174 * 86  13,036
ŷ i  a  bx i
^
 y i  13,036  0,174 * x i
^
y( 70 )  13,036  0,174 * 70  25,216
R2 ( rxy )2  0,9382  0,869
33.
Aufgabe
1. Zunächst werden die Ränge über jeden Gutachter erstellt
Kandidat
i
Bewertung
A
Bewertung
B
Rang A
Rang B
1
82
11
42
10
2
98
7
46
9
3
87
8
39
11
4
40
12
37
12
5
116
3
65
5
6
113
4
88
2
7
111
5
86
3
8
83
10
56
7
9
85
9
62
6
10
126
1
92
1
11
106
6
54
8
12
117
2
81
4
2. Da es keine Bindungen gibt, kann mit der vereinfachten Formel des
Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman berechnet werden:
n
6 * d
2
n
6 *  d2
i1
i1
rs  1 
 1
( n  1) * n *( n  1)
n *( n2  1)
Hierzu müssen zunächst die Rangdifferenzen berechnet werden!
Kandidat
i
Rang A
Rang B
Differenz der
Rangplätze( d):
Rang A - Rang B
d2
1
11
10
1
1
2
7
9
-2
4
3
8
11
-3
9
4
12
12
0
0
5
3
5
-2
4
6
4
2
2
4
7
5
3
2
4
8
10
7
3
9
9
9
6
3
9
10
1
1
0
0
11
6
8
-2
4
12
2
4
-2
4
78
78
0
52
Summe
n
rs  1 
6 *  d2
i 1
2
 1
6 * 52
312

1


12 *( 122  1)
12 * 143
n *( n  1)
312
1
 1  0,1818  0,8182
1716
Es besteht somit ein starker positiver Zusammenhang zwischen den beiden Einstufungen
der Abteilungsleiter A und B.
Den gleichen Wert hätte man erhalten, wenn man den Bravais-Pearson
Korrelationskoeffizient auf die Ränge A und B angewendet hätte.
Ist aber aufwendiger und nur im Fall von „Bindungen“ anzuwenden.
34.
Aufgabe
(a)
X= Fläche der Wohnung in m²
Y= Mietpreis in €
sx= 8,944
sy= 76,345
Berechnung von rxy:
7,904= rxy *76,345/8,944
7,904= rxy * 8,536
rxy= 0,926
R² = (0,926²) = 0,857
85,7 % der Variation von Y (der Kaltmiete) werden durch die Regressionsfunktion
bzw. durch die Variation von X (der Fläche der Wohnung) erklärt.
(b)
Mit circa 466,61€ ( y= 166,26+7,904*38
=>
466,61)
35.
Aufgabe
relative Häufigkeiten
positiv
unentschieden
negativ
Summe
weiblich
0,17
0,082
0,148
0,4
männlich
0,3
0,104
0,196
0,6
Summe
0,47
0,186
0,344
1
Wie müssten die relativen Häufigkeiten aussehen, wenn es keinen Zusammenhang
zwischen der Entscheidung der Pausenregelung und dem Geschlecht gibt:
Unabhängigkeitstabelle
Positiv
unentschieden
Summe
negativ
0,47*200 = 94
0,186*200 = 37,2
0,344*200 = 68,8
200
männlich
141
55,8
103,2
300
Summe
235
93
172
500
weiblich
ij
hij (o)
hij ( e )
hij (o) - hij (e )
(hij (o) - hij (e ))
2
(hij (o) - hij (e )) / hij ( e )
11
85
94
-9
81
0,862
12
41
37
4
16
0,432
13
74
69
5
25
0,362
21
150
141
9
81
0,574
22
52
56
-4
16
0,286
23
98
103
-5
25
0,243
Summe
C
2
Chi-Quadrat =2,759
2

2  n
2,759
 0,0055  0,0741
2,759  500
min( k,r )  1
1

 0,707
min( k,r )
2
C max 
C korr 
C

C max
36.
2
 2  n 0,0741

 0,105
C max
0,707
Aufgabe
Zunächst muss die Rangfolge bzgl. beider Ausprägungen bestimmt werden:
Preis € Rang (P) Qualitätsurteil Rang (Q)
Nr
1
15
8
++
1
2
30
5
-
10
3
10
12
+
5
4
22
7
++
2
5
44
3
++
3
6
13
10
+
6
7
15
9
0
8
8
23
6
+
7
9
30
4
0
9
10
45
2
++
4
11
12
11
-
11
12
46
1
--
12
Hier ist jetzt zu beachten, dass sowohl bzgl. des Preises als auch des Qualitätsurteils die
Produkte teilweise gleiche Ränge erhalten: Es muss der durchschnittliche Rang
berechnet werden.
Bzgl. des Preises haben Produkt Nr. 1 und 7 den gleichen Preis von 15 €, d.h. sie
belegen Rang 8 und 9: Ø Rang: (8 + 9)/2 =8,5
Produkt 2 und 9 kosten jeweils 30 €, d.h. sie belegen Rang 4 und 5: Ø Rang: (4 + 5)/2
=4,5
Bzgl. des Qualitätsurteils sind
4 Produkte mit ++ bewertet: (Rang1,2,3 und 4):Ø Rang: (1 +2+ 3+4)/4 = 2,5
3 Produkte mit + bewertet (Rang 5,6 und 7): Ø Rang: (5 +6+ 7)/3 = 6
2 Produkte mit 0 bewertet (Rang 8 und 9): Ø Rang: (8+9)/2 = 8,5
2 Produkte mit - bewertet (Rang 10 und 11): Ø Rang: (10+11)/2 = 10,5
Preis € Rang (P) Qualitätsurteil Rang (Q)
Nr
1
15
8,5
++
2,5
2
30
4,5
-
10,5
3
10
12
+
6
4
22
7
++
2,5
5
44
3
++
2,5
6
13
10
+
6
7
15
8,5
0
8,5
8
23
6
+
6
9
30
4,5
0
8,5
10
45
2
++
2,5
11
12
11
-
10,5
12
46
1
--
12
Es muss aufgrund der vielen Bindungen der Rangkorrelationskoeffizient nach BravaisPearson berechnet werden, aber anstatt der Werte werden die Ränge betrachtet:

rXY 

1 n
 rg(x j )  rg(x ) rg(y j )  rg(y )
n j1





n
2 1
2
1 n
rg(x j )  rg( x )   rg(y j )  rg(y )

n j1
n j1
Es folgen zwei Lösungsmöglichkeiten
I.
Lösungsweg aus dem Skript von Frau Jacobsen:
1.)
Rang (P) (X)
Rang (Q) (Y)
rg(x) rg(Xa)
2.)
rg(y) rg(Ya)
3.)
1.)*2.)
(rg(x) rg(Xa))
2
4.)
(rg(y) rg(Ya))
2
1
8,5
2,5
2,00
-4,00
-8,00
4,00
16,00
2
4,5
10,5
-2,00
4,00
-8,00
4,00
16,00
3
12
6
5,50
-0,50
-2,75
30,25
0,25
4
7
2,5
0,50
-4,00
-2,00
0,25
16,00
5
3
2,5
-3,50
-4,00
14,00
12,25
16,00
6
10
6
3,50
-0,50
-1,75
12,25
0,25
7
8,5
8,5
2,00
2,00
4,00
4,00
4,00
8
6
6
-0,50
-0,50
0,25
0,25
0,25
9
4,5
8,5
-2,00
2,00
-4,00
4,00
4,00
10
2
2,5
-4,50
-4,00
18,00
20,25
16,00
11
11
10,5
4,50
4,00
18,00
20,25
16,00
12
1
12
-5,50
5,50
-30,25
30,25
30,25
Summen
78
78
0
0
-2,5
142
135


1 n
1
rg(x j )  rg(x ) rg(y j )  rg(y ) 
*( 2,5 )  0,2083

n j1
12
Zähler von rs:

Nenner von rs :


n
2 1
2
1 n
1
1
rg(
x
)

rg(
x
)

rg(y j )  rg(y ) 
* 142 *
* 135  133,125  11,53798


j
n j1
n j1
12
12
rs 


 0,2083
 0,018
11,53798
Es besteht kein linearer Zusammenhang und die Aussage trifft nicht zu!!!
II.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Summen
Lösungsweg den wir im Tutorium besprochen haben:
Rang (X) Rang (Y) X*Y
8,5
2,5
4,5
10,5
12
6
7
2,5
3
2,5
10
6
8,5
8,5
6
6
4,5
8,5
2
2,5
11
10,5
1
12
78
78
Xa
Ya
Cxy
sx
sy
r
=
=
=
=
=
=
X²
21,25
47,25
72
17,5
7,5
60
72,25
36
38,25
5
115,5
12
504,5
Y²
72,25
20,25
144
49
9
100
72,25
36
20,25
4
121
1
649
78/12
=
78/12
=
((504,5/12))-(6,5*6,5) =
(649/12)-(6,5²) =
(642/12)-(6,5²) =
-0,2083/(3,440*3,354) =
6,25
110,25
36
6,25
6,25
36
72,25
36
72,25
6,25
110,25
144
642
6,5
6,5
-0,2083
11,8333333 => Wurzel
11,25 => Wurzel
-0,018
3,440
3,354
37.
Aufgabe
Zunächst wird die abhängige Variable Ct mit y bezeichnet, die unabhängige Variable Yt mit x.
Die Koeffizienten a und b werden wie folgt berechnet:
y b* x  a
b
C xy
s
2
x
|*
sy
sy

C xy * s y
sx * sy * sx
 rxy *
sy
sx
Hilfstabelle aufstellen, um sx und sy zu berechnen sowie den Korrelationskoeffizient bzw. die
Covarianz:
C XY 
Jahr
1 n
1 n
(
x

x
)
*
(
y

y
)

 j
 x jy j  X A Y A
j
n j1
n j1
Ct =Yj
Yt = Xj
y  YA
( x  X A ) *( y  Y A )
x  XA
2000
3
3,5
-0,5
-1
0,5
2001
3,3
4
-0,2
-0,5
0,1
2002
3,5
4,5
0
0
0
2003
4,2
6
0,7
1,5
1,05
14
18
1
YA  ( 3  3,3  3,5  4,2 )  3,5
4
C XY 
Summe = 1,65
1
X A  ( 3,5  4  4,5  6 )  4,5
4
1 n
1
( x j  x ) *( y j  y )  * 1,65  0,4125

n j1
4
Jahr
Ct =Yj
Yt = Xj
(xj - X) 2
xj - X
2000
3
3,5
-1
1
2001
3,3
4
-0,5
0,25
2002
3,5
4,5
0
0
2003
4,2
6
1,5
2,25
Summe = 3,5
Die Varianz von x sx2:
x 2 
b
1 n
1
( x j  x A )2  * 3,5  0,875

n j1
4
C xy
s
2
x
0,4125
 0,471
0,875

Oder zunächst den Korrelationskoeffizienten berechnen
b  rxy *
sy
sx
 x    x 2  0,875  0,9354
 y    y 2  0,1955  0,4415
rXY
1 n
( x j  x ) *( y j  y )
n j1
C XY
0,4125



 0,998
X * Y
X * Y
0,9354 * 0,4415
b  rxy *
sy
sx
 0,998 *
0,4415
 0,471
0,9354
a  y  b * x  3,5  0,471* 4,4  1,378
Ct = a + b*Yt
Ct (yt) = 1,378 + 0,471*Yt
C (7) = 1,378 + 0,471*7 = 4,678 Billionen
Gütemaß
R2 ( rxy )2 ( 0.998)2  0,997