Funktionentheorie Vorlesungszusammenfassung SS 2012

Funktionentheorie
Vorlesungszusammenfassung
SS 2012
Andreas Müller-Rettkowski
e-mail: andreas.mueller-rettkowski@kit.edu
Dies ist eine Vorlesungszusammenfassung, gedacht zur Vorlesungsbegleitung
und als Gedächtnisstütze. Der Besuch der Vorlesung ist hierdurch nicht zu
ersetzen, denn in der Vorlesung wird erklärt, begründet, veranschaulicht und
eingeordnet.
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Die
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
komplexen Zahlen C
Definition von C . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit komplexen Zahlen . . . .
Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . .
Polardarstellung komplexer Zahlen . .
Funktionen in C . . . . . . . . . . . .
Die Funktion f (z) = z n . . . . . . . .
Die Gleichung ε|z|2 + αz + αz + β = 0
“ .
Die Riemannsche Zahlenkugel und C
C kann nicht angeordnet werden . . .
2 Offene, abgeschlossene, kompakte
Topologische Grundbegriffe
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kompakte Mengen in C . . . . .
2.4 Zusammenhängende Mengen . .
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4
4
5
6
7
8
8
8
9
10
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11
11
12
13
13
Mengen in C
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3 Differentiation in Komplexen
15
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Bemerkungen. Ergänzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Potenzreihen
4.1 Erinnerungen
4.2 . . . . . . . .
4.3 . . . . . . . .
4.4 . . . . . . . .
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18
18
19
20
21
5 Konforme Abbildung
23
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
INHALTSVERZEICHNIS
2
6 Möbiustransformationen
6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Winkeltreue. Orientierungstreue. Gebietstreue.
6.5 Das Doppelverhältnis . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Spiegeln an verallgemeinerten Kreisen. . . . . .
7 Der
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Logarithmus
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25
26
26
27
28
28
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29
29
29
29
29
30
8 Kurvenintegrale
31
Stammfunktionen
8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9 Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete
34
9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2 Der Integralsatz für Sterngebiete . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.3 Die Cauchysche Integralformel für Kreise und Sterngebiete . . 35
10 Folgerungen
10.1 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen
10.2 Der Identitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Ganze Funktionen. Der Satz von Liouville
Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . .
10.4 Die Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Das
11.1
11.2
11.3
11.4
Maximumprinzip
Die Parsevalsche Formel . . . . . .
Das Maximumprinzip . . . . . . .
Das Schwarzsche Lemma . . . . . .
Die biholomorphen Abbildungen D
12 Die
12.1
12.2
12.3
12.4
Windungszahl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Windungszahl . . . . . . . . .
(Verkehrsregel) zur Berechnung der
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→D
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Windungszahl
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37
37
38
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39
40
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41
41
41
42
42
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44
44
44
44
46
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INHALTSVERZEICHNIS
13 Die Cauchysche Integralformel und
gralsatz
13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Verallgemeinerung von Satz 1 . . . .
13.3 Der Cauchysche Integralsatz . . . . .
13.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . .
3
der Cauchysche Inte.
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47
47
49
49
50
14 Die
14.1
14.2
14.3
Laurent Entwicklung
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Die Laurent Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15 Die
15.1
15.2
15.3
isolierten Singularitäten
55
Isolierte Singularität. Hebbare Singularität. . . . . . . . . . . 55
Hebbare Singularität, Polstelle, wesentliche Singularität . . . 56
Die Laurent Entwicklung um isolierte Singularitäten . . . . . 56
16 Der Residuensatz
58
16.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
16.2 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
17 Berechnung reeller Integrale mit Hilfe
17.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+∞
ˆ
17.3
f (x)eix dx . . . . . . . . . . . . . .
des Residuensatzes 61
. . . . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . .
63
−∞
18 Das
Der
18.1
18.2
18.3
Argumentprinzip
Satz von Rouché
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Der Satz von Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Die komplexen Zahlen C
4
Kapitel 1
Die komplexen Zahlen C
1.1
Definition von C
Eine komplexe Zahl z ist eine geordnetes Paar (x, y) reeller Zahlen. Mit C
wird die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet. Es seien z = (x, y) und
w = (u, v) aus C.
Definition:
1) z = w ⇐⇒ x = u und y = v,
2) z + w = (x + u, y + v) (Addition in C),
3) zw = (xu − yv, xv + yu) (Multiplikation in C).
Satz 1:
Mit diesen Verknüpfungen ist C ein Körper.
Anmerkungen:
0 := (0, 0) ist das neutrale Element bezüglich der Addition,
1 := (1, 0) ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation,
−z := (−x, −y) ist das inverse Element für die Addition.
1
Für z =
6 0 ist :=
z
gilt.
Satz 2:
Å
x
−y
, 2
2
2
x + y x + y2
ã
das Element aus C, für das
1
z=1
z
Es seien x, u ∈ R. Dann gelten:
(x, 0) + (u, 0) = (x + u, 0) und
(x, 0)(u, 0) = (xu, 0).
Die komplexe Zahl (x, 0) wird mit x ∈ R identifiziert. Somit sind die reellen
Zahlen ein Unterkörper von C.
Für λ ∈ R gilt:
λ(x, y) = (λ, 0)(x, y) = (λx, λy).
Die komplexen Zahlen C
5
Wegen (0, 1)(y, 0) = (0, y) können wir schreiben
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + (0, 1)y.
Das heißt, dass jede komplexe Zahl z mittels zweier reeller Zahlen x, y und
der Zahl (0, 1) dargestellt werden kann.
Definition:
i := (0, 1).
Satz 3:
i2 = −1.
Satz 4:
z = (x, y) kann in der Form z = x + iy geschrieben werden.
Es gilt C = {z|z = x + iy, x, y ∈ R}.
1.2
Rechnen mit komplexen Zahlen
z = x − iy heißt die zu z = x + iy (x, y ∈ R) konjugiert komplexe Zahl.
Re(z) := x heißt Realteil und Im(z) := y heißt Imaginärteil von z.
Für z, w ∈ C und α, β ∈ R gelten:
Re(αz + βw) = αRe(z) + βRe(w),
Im(αz + βw) = αIm(z) + βIm(w),
Satz 5:
Re(z)
=
1
(z + z),
2
Im(z)
=
1
(z − z).
2i
Für z, w ∈ C gelten:
a) z ∈ R ⇐⇒ z = z,
b) z = z,
Å ã
c) z + w = z + w, zw = z w und
1
z
=
1
,
z
d) zz ∈ R, zz ≥ 0 und zz = 0 nur falls z = 0.
√
Definition: |z| := zz heißt Betrag von z ∈ C.
|z| gibt den euklidischen Abstand des Punktes z vom Koordinatenanfangspunkt an. |z − w| ist die Länge der Verbindungsstrecke [z, w].
Die komplexen Zahlen C
Satz 6:
6
Für z, w ∈ C gelten:
a) |z| = |z|,
b) |zw| = |z||w|,
1
1
c) =
,
z
|z|
d) |Re(z)| ≤ |z| und |Im(z)| ≤ |z|,
e) |z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw),
f) |z + w| ≤ |z| + |w|.
1.3
Konvergenz
(zk ) ⊂ C sei eine Folge komplexer Zahlen, a ∈ C.
Definition:
lim zk = a ⇐⇒ lim |zk − a| = 0 ⇐⇒ zk → a(k → ∞) .
k→∞
k→∞
a heißt Grenzwert der Folge.
Satz 7:
Es gilt:
zk → a (k → ∞) ⇐⇒ Re(zk ) → Re(a)
und Im(zk ) → Im(a).
Eine Folge (zk ) ⊂ C heißt Cauchy Folge, falls es zu jedem > 0 einen Index
N derart gibt, dass für alle k, l ≥ N |zk − zl | < ε erfüllt ist.
Bemerkung:
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge.
Eine Folge (zk ) ⊂ C heißt beschränkt, wenn es eine Zahl R > 0 gibt, so
dass |zk | ≤ R ∀k gilt.
Die komplexen Zahlen C
7
Satz 8: (Bolzano, Weierstrass)
In C gelten:
a) Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
b) Jede Cauchy Folge ist konvergent.
1.4
Polardarstellung komplexer Zahlen
Jede komplexe Zahl z besitzt eine Darstellung
Ä
ä
z = reiϕ := r(cosϕ + isinϕ)
mit ϕ ∈ R und r = |z|.
Für z 6= 0 ist ϕ bis auf Addition ganzzahliger Vielfacher von 2π eindeutig
bestimmt.
Wird ϕ auf ein beliebiges halboffenes Intervall der Länge 2π beschränkt, so
ist der Zahl z 6= 0 ϕ mit z = reiϕ eindeutig zugeordnet.
Wir werden je nach Gegebenheit ϕ auf [0, 2π) oder (−π, +π] beschränken.
Der Winkel, der dann z = reiϕ liefert, heißt das Argument von z, es wird
durch Arg(z) bezeichnet. Also:
Arg : C\{0} → [0, 2π) oder (−π, +π].
Ein Element der Menge {Arg(z)+2kπ, k ∈ Z} wird durch arg(z) bezeichnet.
Satz 9: Es seien θ, ϕ ∈ R. Es gilt:
ei(θ+ϕ) = eiθ eiϕ .
Für z = x + iy wird definiert ez := ex eiy .
Satz 10: Für z, w ∈ C gilt:
ez+w = ez ew .
Die komplexen Zahlen C
1.5
8
Funktionen in C
Es sei S ⊂ C und z → w := f (z) eine Funktion f : S → C.
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) , (x, y) ∈ S.
u := Re(f ) : S ⊂ R2 → R.
v := Im(f ) : S ⊂ R2 → R.
Beispiele:
1) f (z) = z 2 : u(x, y) = x2 − y 2
b) f (z) = ez : u(x, y) = ex cos(y)
1.6
und
und
v(x, y) = 2xy
v(x, y) = ex sin(y)
Die Funktion f (z) = z n
Wir betrachten für n ∈ N und z ∈ D = {z/|z| ≤ 1}
f (z) = z n .
Es gilt f (D) = D und jeder Punkt w ∈ D wird n mal angenommen.
Beispiel:
Gegeben ist die Argumentfunktion mit Arg : C\{0} → [0, 2π).
Gegeben sei z = reiθ (z 6= 0), θ = Arg(z).
Gesucht sind alle w ∈ C mit wn = z.
Suche w in der Darstellung w = teiϕ , ϕ ∈ [0, 2π). Man erhält alle Lösungen
der Gleichung wn = z in der Form:
wk =
√
n
iθ
re n e
ik2π
n
, k = 0, 1, · · · , n − 1.
Bemerkung:
2πi
Für ζ = e n gilt (ζ k )n = 1.
ζ k , k = 0, 1, · · · , n − 1 heißen die n-ten Einheitswurzeln.
1.7
Die Gleichung ε|z|2 + αz + αz + β = 0
2
Für ε = 1, α ∈ C,
» β ∈ R mit β < |α| ist das die Gleichung des Kreises um
−α mit Radius |α|2 − β.
Für ε = 0, α ∈ C, β ∈ R liegen die z ∈ C, die dieser Gleichung genügen, auf
einer Geraden.
Die komplexen Zahlen C
9
c
Die Riemannsche Zahlenkugel und C
1.8
Σ := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 /x21 + x22 + x23 = 1}.
C := {(x, y) ∈ R2 } = {z/z = x + iy , x, y ∈ R}.
Ö
N :=
0
0
1
è
∈ Σ.
Definiere Π : Σ\{N } → C durch
Π(x1 , x2 , x3 ) :=
x1 + ix2
1 − x3
∞ := Π(0, 0, 1)
und
“ = C ∪ ∞, so ist Π : Σ → C
“ bijektiv.
Nennt man C
Π heißt stereographische Projektion.
Die Umkehrabbildung Π−1 werde durch p bezeichnet. Man rechnet nach:
Ö
• p(z) =
1
+1
|z|2
Ö
• p(∞) =
0
0
1
è
z+z
−i(z − z)
|z|2 − 1
, z ∈ C,
è
Durch χ(z, z 0 ) := »
2|z − z 0 |
|z|2
+1
definiert.
Man rechnet für z ∈ C nach:
»
|z 0 |2
+1
2
χ(z, ∞) = »
|z|2 + 1
“ wird auf C
“ eine Metrik
, z, z 0 ∈ C
und
χ(∞, ∞) = 0.
Bemerkung: Es gilt
χ(z, z 0 ) = ||p(z) − p(z 0 )||
wobei
Ö
x1
x2
x3
è
Ö
−
x01
x02
x03
è
Ä
ä1
= (x1 − x0 )2 + (x2 − x0 )2 + (x3 − x0 )2 2
1
2
3
Ö
der euklidische Abstand zwischen
x1
x2
x3
è
Ö
und
x01
x02
x03
è
ist.
Die komplexen Zahlen C
“ , a ∈ C.
“
Definition: Seien (an ) ⊂ C
“ :⇐⇒ χ(an , a) → 0 (n → ∞).
an → a (n → ∞) in C
Satz 11:
“ ab.
a) Π bildet Kreise in Σ auf Kreise oder Geraden in C
“ auf Kreise in Σ ab.
b) p bildet Kreise oder Geraden in C
1.9
C kann nicht angeordnet werden
Es gibt kein “<”. Es gibt lediglich “=” oder “6=”, denn:
Aus 1 6= 0 folgt 0 < 12 = 1.
Aus i 6= 0 müsste folgen 0 < i2 = −1.
Hieraus würde folgen 0 < 1 + (−1) = 0 !Widerspruch!
10
Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C
Topologische Grundbegriffe
11
Kapitel 2
Offene, abgeschlossene,
kompakte Mengen in C
Topologische Grundbegriffe
2.1
1) a ∈ C, r > 0. D(a, r) := {z ∈ C/|z−a| < r} heißt offene Kreisscheibe um a
mit Radius r (r-Umgebung von a).
2) U ⊂ C heißt offen :⇔ ∀ b ∈ U
∃ r > 0 D(b, r) ⊂ U .
3) A ⊂ C heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge (zn ) ⊂ A mit zn → zo
(n → ∞) gilt: zo ∈ A.
M ⊂C:
M c := C\M .
4) Satz 1:
a) M ⊂ C ist abgeschlossen
b) M ⊂ C ist offen
⇔
⇔
M c ist offen.
M c ist abgeschlossen.
5) Es sei M ⊂ C. zo ∈ C heißt:
a) innerer Punkt von M , falls gilt: D(zo , r) ⊂ M für ein r > 0.
b) Randpunkt von M , wenn für jedes ε > 0 gelten: D(zo , ε)∩M 6= ∅
und D(zo , ε) ∩ M c 6= ∅.
c) Häufungspunkt (HP) von M , wenn: ∀ ε > 0 ∃ z ∈ M \{zo } z ∈
D(zo , ε).
d) isolierter Punkt von M , wenn gelten: zo ∈ M und zo ist kein HP
von M .
Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C
Topologische Grundbegriffe
6)
12
◦
a) M := {z/z ist innerer Punkt von M }.
b) ∂M := {z/z ist Randpunkt von M }.
c) M := M ∪ ∂M heißt der Abschluss von M .
d) M heißt beschränkt, falls es ein R > 0 mit M ⊂ D(0, R) gibt.
e) diam(M ) := sup{|z − w|/z, w ∈ M } heißt der Durchmesser der
beschränkten nichtleeren Menge M .
f) H(M ) = {z/z ist HP von M }
7) Satz 2: Es sei M ⊂ C eine Menge. Es gelten:
◦
1) M ist offen ⇔ M =M ⇔ M ∩ ∂M = ∅.
2) ∂M = ∂(M c ).
3) M ist abgeschlossen ⇔ ∂M ⊂ M ⇔ M = M .
◦
4) ∂M = M \ M .
5) zo ∈ H(M ) ⇔ es gibt eine Folge (zn ) ⊂ M \{zo } mit zn → zo
(n → ∞).
6) M ∪ H(M ) = M .
7) M ist abgeschlossen ⇔ H(M ) ⊂ M .
2.2
Es sei M 6= ∅, M ⊂ C. f : M → C sei eine Funktion.
1) zo ∈ H(M ).
lim f (z) = a :⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z ∈ (M ∩ D(zo , δ)) \{zo }
z→zo
|f (z) − a| < ε.
2) zo ∈ M .
f heißt stetig in zo :⇔ lim f (z) = f (zo ).
z→zo
3) f heißt gleichmäßig stetig auf M , falls:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z 0 ∈ M (|z − z 0 | < δ ⇒ |f (z) − f (z 0 )| < ε).
Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C
Topologische Grundbegriffe
2.3
13
Kompakte Mengen in C
Die Menge K ⊂ C heißt kompakt, falls aus jeder Folge (zn ) ⊂ K eine Teilfolge ausgewählt werden kann, die gegen ein Element aus K konvergiert.
Satz 3: K ⊂ C ist kompakt ⇔ K ist beschränkt und abgeschlossen.
Satz 4: K ⊂ C sei kompakt und Kj (j ∈ N) seien abgeschlossene MenT
gen, für die Kj+1 ⊂ Kj (j ∈ N) erfüllt ist. Dann gilt
Kj 6= ∅.
j∈N
Satz 5: K ⊂ C sei kompakt und f : K → C sei stetig. Dann ist f (K)
kompakt.
Satz 6: K ⊂ C sei kompakt und f : K → R sei stetig. Dann gibt es
v, w ∈ K mit f (w) ≤ f (z) ≤ f (v) für alle z ∈ K.
Satz 7: K ⊂ C sei kompakt und f : K → C sei stetig. Dann ist f auf
K gleichmäßig stetig.
Definition: (Abstand zweier Mengen)
A, B ⊂ C : dist(A, B) := inf {|z − w| / z ∈ A, w ∈ B}
Satz 8: Es seien A ⊂ C eine abgeschlossene Menge und v ∈ C. Dann gibt
es ein w ∈ A mit dist(A, {v}) = |w − v|.
Satz 9: Es seien K ⊂ C kompakt und A ⊂ C abgeschlossen. Dann existieren zo ∈ K und wo ∈ A mit dist(K, A) = |zo − wo |.
Satz 10: Gegeben ist eine kompakte Menge K ⊂ C und r > 0. Dann gibt
es endlich viele Punkte z1 , z2 , ..., zN so dass K ⊂
2.4
N
S
j=1
D(zj , r) gilt.
Zusammenhängende Mengen
Ein metrischer Raum (X, d) heißt zusammenhängend (zshgd),
• wenn es keine Zerlegung X = U ∪ V gibt mit: U ∩ V = ∅; U, V offen
(in X); U 6= ∅, V 6= ∅.
• wenn aus (X = U ∪ V ; U ∩ V = ∅; U, V offen) folgt: U = ∅ oder V = ∅.
Satz 11: X ⊂ R enthalte mindestens zwei Elemente. Dann ist X zshgd genau dann, wenn X ein Intervall ist.
Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen in C
Topologische Grundbegriffe
14
Satz 12: Das Bild f (X) eines zshgd Raumes X unter einer stetigen Funktion f : X → Y ist zshgd.
Der metrische Raum X heißt wegzshgd, wenn es zu je zwei Punkten a, b ∈ X
eine (stetige) Kurve (5.Kapitel) γ : [0, 1] → X mit γ(0) = a, γ(1) = b gibt.
Beispiel: Jede konvexe Menge X in einem normierten Vektorraum ist wegzshgd.
Satz 13: Jeder wegzshgd Raum ist zshgd.
Beweis: Indirekt und mit Satz 11 und Satz 12.
Satz 14: Jede zshgd offene Menge X in C ist wegzshgd. Es gilt sogar: Je
zwei Punkte a, b ∈ X können durch einen Streckenzug in X verbunden werden.
Beweis: Es sei a ∈ X. Definiere
U = {x ∈ X/ es gibt in X einen Streckenzug, der a mit x verbindet}
Zeige: U 6= ∅, U offen und V = X\U offen. Folgere mit der Voraussetzung
“X zshgd”, dass V = ∅, also X = U gilt.
Definition: Eine nichtleere offene zshgd Menge in C heißt Gebiet.
Differentiation in Komplexen
15
Kapitel 3
Differentiation in Komplexen
3.1
Es seien Ω ⊂ C eine offene Menge, zo ∈ Ω und f : Ω → C eine Funktion.
f (z) − f (zo )
, so heißt f in zo differenzierbar (diff’bar). Der
Existiert lim
z→zo
z − zo
Grenzwert wird dann durch f 0 (zo ) bezeichnet und heißt die erste Ableitung
von f in zo .
f heißt holomorph in zo ∈ Ω, falls es eine Umgebung D(zo , δ) ⊂ Ω von zo
gibt derart, dass f in jedem z ∈ D(zo , δ) diff’bar ist.
f heißt holomorph in Ω, falls f in jedem Punkt z ∈ Ω holomorph ist. Mit
H(Ω) wird die Menge der auf Ω holomorphen Funktionen bezeichnet.
3.2
Es sei f : Ω ⊂ C → C, w = f (z) gegeben.
u := Re(f ) : Ω ⊂ R2 → R, v := Im(f ) : Ω ⊂ R2 → R.
Satz 1:
Es ist f genau dann in zo = xo + iyo ∈ Ω diff’bar, wenn u, v in (xo , yo )
diff’bar sind und in (xo , yo ) die Cauchy-Riemanschen Differentialgleichungen (CR-DGLn)
D1 u = D2 v und D2 u = −D1 v
erfüllt sind.
(f ist in Ω holomorph ⇔ u, v sind in Ω diff’bar und es sind in Ω
D1 u = D2 v
erfüllt.)
und D2 u = −D1 v
Differentiation in Komplexen
3.3
16
Bemerkungen. Ergänzungen.
1) Sind u, v in Ω stetig partiell diff’bar und sind in Ω die CR-DGLn
erfüllt, so ist f = u + iv in Ω holomorph.
2) Ist f = u + iv in z = x + iy ∈ Ω diff’bar, so hat man
f 0 (x + iy) = D1 u(x, y) + iD1 v(x, y) = D2 v(x, y) − iD2 u(x, y)
= D2 v(x, y) + iD1 v(x, y) = D1 u(x, y) − iD2 u(x, y).
Ç
3) Mit f~ : Ω ⊂ R2 → R2 , f~(x, y) =
u(x, y)
v(x, y)
å
, folgt mit 2)
detf~ 0 (x, y) = |f 0 (x + iy)|2 .
4) Wir ordnen f : Ω ⊂ C → C, f = u + iv, die Funktion F : Ω ⊂
R2 → C, F (x, y) := u(x, y)+iv(x, y) zu. Hiermit können die CR-DGLn
für f in der einen Gleichung D2 F (x, y) = iD1 F (x, y) zusammengefasst
werden.
Å
ã
1
1
(z + z), (z − z)
5) Es seien f und F wie unter 4). Definiere G(z, z) := F
2
2i
und behandle die Variablen z, z als voneinander unabhängige Variable.
Es gilt (∂z partielle Ableitung nach z)
i
∂z G(z, z) = (D2 F − iD1 F ),
2
so dass man die Holomorphie von f auch durch
(∂z f ) (z) = 0, z ∈ Ω,
charakterisieren kann. (Wirtinger Kalkül. Siehe dazu Remmert).
6) Ist f in Ω holomorph, u = Re(f ), v = Im(f ), so gilt
∇u(x, y) · ∇v(x, y) = 0, d.h. die Kurvenscharen u(x, y) = konst und
v(x, y) = konst sind orthogonal zueinander.
7) Wir nehmen das Ergebnis: f ∈ H(Ω) ⇒ f 0 ∈ H(Ω) vorweg. Es folgt
dann: f ∈ H(Ω), u = Re(f ), v = Im(f ) ⇒ u, v ∈ C ∞ (Ω).
Satz 2: Es sei f ∈ H(Ω). Dann sind u und v in Ω ⊂ R2 harmonisch:
es gilt für (x, y) ∈ Ω ∆u(x, y) = ∆v(x, y) = 0 (∆u = D12 u + D22 u).
Satz 3: Ist Ω ⊂ R2 ein einfach zshgd Gebiet und ist u in Ω harmonisch, so gibt es harmonische Funktionen v derart, dass f := u + iv
in Ω ⊂ C holomorph ist.
Differentiation in Komplexen
17
8) Es sei Ω ⊂ÇR2 ein einfach
zshgd Gebiet und ~v : Ω → R2 ,
å
p(x, y)
das Geschwindigkeitsfeld einer stationären, ebe~v (x, y) =
q(x, y)
nen, inkompressiblen, wirbelfreien Flüssigkeitsströmung. Es gelten somit (p, q sollen genügend oft stetig diff’bar sein)
D1 p + D2 q = 0 und D2 p − D1 q = 0
2
in Ω. Mit 7)
v
Ç erhält
å man Funktionen ϕ, ψ : Ω ⊂ R → R mit ∇ϕ = ~
−q
und ∇ψ =
in Ω.
p
Damit ist f := ϕ+iψ in Ω holomrph. f heißt komplexes Potential für ~v .
Es gilt f 0 = p + iq (= ~v ).
Die Kurven ϕ(x, y) = konst heißen Potentiallinien, die Kurven
ψ(x, y) = konst heißen Stromlinien der durch ~v = f 0 beschriebenen
Strömung. ψ heißt auch Stromfunktion von ~v .
Beispiele:
Ç
1) f (z) =
z2
= ϕ + iψ ⇒ ~v =
2x
−2y
å
, ϕ(x, y) = x2 − y 2 , ψ(x, y) =
2xy.
(Skizze der Strömung!).
Ö
è
x
x2 + y 2
2) ~v (x, y) =
, (0, 0) 6∈ Ω.
y
2
2
x +y
Man erhält
»
y
ϕ(x, y) = ln( x2 + y 2 ), ψ(x, y) = arctan , f (z) = ln|z|+i arg(z).
x
Die Stromlinien sind vom Ursprung ausgehende Halbgeraden.
Potenzreihen
18
Kapitel 4
Potenzreihen
4.1
Erinnerungen
1) (ak ), (bk ) seien komplexe Zahlenfolgen.
1. (
X
ak konvergent ) ⇒ ( ak → 0 , k → ∞ ).
2. (Majorantenkriterium)
X
X
( |ak | ≤ |bk |, ∀k,
bk konvergent ) ⇒ (
ak ist absolut konvergent ).
2) U ⊂ C sei eine offene Menge, (fk ) eine Folge von Funktionen
fk : U → C.
fk → f (k → ∞) punktweise auf U bedeutet:
∀ε > 0 ∀z ∈ U
∃ ko ∈ N ∀ k ≥ ko
|fk (z) − f (z)| < ε.
Für g : U → C bezeichnen wir durch ||g||U die Supremumsnorm:
||g||U = sup {|g(z)| /z ∈ U }.
fk → f (k → ∞) gleichmäßig auf U , falls gilt:
lim ||fk − f ||U = 0.
k→∞
fk → f (k → ∞) lokalgleichmäßig auf U , falls gilt:
∀z ∈ U
∃ D(z, λ) ⊂ U
||fk − f ||D(z,λ) → 0
(k → ∞).
Es gelten:
3. Die Folge (fk ) konvergiert auf U lokalgleichmäßig genau dann,
wenn (fk ) auf jeder kompakten Teilmenge von U gleichmäßig konvergiert.
Potenzreihen
19
4. Die Grenzfunktion einer auf U lokalgleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist auf U stetig.
5. (fk ), fk : U → C. Ist
∞
X
ak konvergent und gilt
k=0
|fk (z)| ≤ ak
so ist
∞
X
∀z ∈ U, ∀k ∈ N,
fk auf U gleichmäßig und absolut konvergent.
k=0
4.2
(ak ) sei eine komplexe Zahlenfolge. zo ∈ C. Für welche z ∈ C ist
∞
X
(1)
ak (z − zo )k
k=0
konvergent? Für diese z wird durch (1) eine Funktion p definiert. Welche
Eigenschaften hat p?
Ä
ä
1) Satz 1: Es sei z1 6= zo und die Folge an (z1 − zo )n n sei beschränkt.
Dann konvergiert die Potenzreihe (1) absolut und lokalgleichmäßig in
D(zo , r1 ), wobei r1 = |z1 − zo | gesetzt ist.
Satz 2: Eine Potenzreihe (1) konvergiert entweder absolut und
lokalgleichmäßig auf C oder es gibt eine Zahl R, 0 ≤ R < +∞, mit der
Eigenschaft: (1) konvergiert absolut und lokalgleichmäßig auf D(zo , R)
und ist für alle z mit |z − zo | > R divergent. Es gilt:
»
1
= lim sup k |ak | .
R
Hierbei sind R = 0, falls lim sup
lim sup
»
k
»
k
|ak | = +∞, und R = +∞ im Fall
|ak | = 0 gemeint.
2) Bemerkungen:
a) R heißt Konvergenzradius der Reihe (1). R ist der Radius des
größten Kreises um zo , in dem (1) konvergiert.
1
ak+1
b) Es gilt
= lim |
|, falls dieser Grenzwert existiert.
R k→∞ ak
Potenzreihen
20
3) Beispiele:
∞
X
zk
ez (= exp(z)) :=
sin(z) :=
∞
X
(−1)k
k=0
∞
X
cos(z) :=
,z ∈ C,
k!
k=0
z 2k+1
(2k + 1)!
(−1)k
k=0
z 2k
(2k)!
,z ∈ C,
,z ∈ C.
Für jede dieser Reihen gilt R = ∞. exp, sin, cos sind also für alle z ∈ C
durch obige Reihen definiert.
Es gilt: eiz = cos(z) + i sin(z) , z ∈ C.
1
1
Es folgt: cos(z) = (eiz + e−iz ), sin(z) = (eiz − e−iz ).
2
2i
Speziell für z = x ∈ R hat man Re(eix ) = cos(x), Im(eix ) = sin(x),
|eix = 1|.
Es gilt (Ausmultiplizieren mittels Cauchy-Produkt, Binomischer Satz):
exp(z) exp(w) = exp(z + w) , z, w ∈ C.
4.3
1) Satz 3:
∞
X
Die Potenzreihe
ak z k (o.B.d.A. zo = 0 ) mit ak ∈ C sei
k=0
in
G = {z/ |z| < R} konvergent.
Dann ist die Funktion f : G → C, z →
Es gilt
f 0 (z)
=
∞
X
∞
X
ak z k holomorph.
k=0
kak z
k−1
, z ∈ G.
k=1
zum Beweis:
1. Der Konvergenzradius der Reihe
∞
X
kak z k−1 ist ebenfalls R.
k=1
2. Für ξ, |ξ| < R, ist zu zeigen, dass für |z| ≤ %:

f (z) − f (ξ)





z−ξ

q(z) :=
∞

X




kak ξ k−1

, z 6= ξ
, z=ξ
k=1
in ξ stetig ist. Hier ist % beliebig mit |ξ| < % < R.
Potenzreihen
21
Mit gn (z) =
q(z) =
∞
X
n−1
X
z n−k−1 ξ k , z ∈ C , n ∈ N gilt:
k=0
an gn (z), |z| ≤ %.
n=1
3. Mit dem Majorantenkriterium (4.1, 5.) zeigt man die gleichmäßige
Konvergenz dieser Reihe. Da die gn stetig sind, ist q in {z/|z| ≤ %}
also in ξ stetig.
2) Folgerungen:
1. f (z) =
∞
X
ak (z − zo )k habe den Konvergenzradius R. Dann ist
k=0
f (j) für |z − zo | < R holomorph (j = 0, 1, 2, · · · ). Es gelten:
f (j) (z)
=
∞
X
k (k − 1) · · · (k − j + 1) ak (z − zo )k−j , |z| < R,
k=j
1
aj = f (j) (zo ) , j = 0, 1, 2, · · · .
j!
2. Satz 4: (Identitätssatz für Potenzreihen)
Es seien f (z) =
∞
X
ak (z − zo )k und g(z) =
k=0
∞
X
bk (z − zo )k kon-
k=0
vergent für |z − zo | < R. Dann gilt:
f (z) = g(z) für |z − zo | < R ⇔ ak = bk , k = 0, 1, 2, · · · .
4.4
Satz 5:
f (z) =
∞
X
ak z k mit ak ∈ R, ak+1 ≤ ak , ak → 0 (k → ∞) sei gegeben. Dann
k=0
konvergiert die Reihe für |z| ≤ 1 mit eventueller Ausnahme von z = 1.
Satz 6:
(Der Abelsche Grenzwertsatz)
Es sei f (z) =
∞
X
ak z k mit Konvergenzradius R > 0 gegeben. Es sei ξ,
k=0
|ξ| = R, mit:
∞
X
k=0
ak ξ k ist konvergent. Dann gilt lim f (%ξ) =
%→1−0
∞
X
ak ξ k .
k=0
(Stetigkeit von f in ξ bei radialer Annäherung).
(für eine Verallgemeinerung siehe Storch/Wiebe Lehrbuch der Mathematik
Band 1, Abschnitt 12.B.7).
Potenzreihen
22
Beispiele:
1) ln 2 =
∞
X
(−1)
k−1 1
k
k=1
= lim
x→1−0
∞
X
(−1)
k
k−1 x
k
k=1
Å
ã
= lim ln(1 + x) .
x→1
2) Aus der Konvergenz der Reihen
∞
X
ak ,
k=0
folgt
∞
X
k=0
|
Ñ
∞
X
bk ,
k=0
k
X
j=0
∞
X
k=0
é
ak−j bj
{z
=
}
Das Cauchy Produkt der beiden
Reihen rechts
Ñ
k
X
é
ak−j bj
j=0
∞
X
k=0
!
ak
∞
X
k=0
!
bk .
Konforme Abbildung
23
Kapitel 5
Konforme Abbildung
5.1
1) Eine Kurve C ist gegeben durch eine stetige Funktion ϕ : [α, β] → C;
z = ϕ(t) heißt Parameterdarstellung von C. |C| heißt Träger der Kurve.
|C| ist eine kompakte Menge als stetiges Bild der kompakten Menge
[α, β].
2) Die Kurve C, ϕ heißt geschlossen, falls ϕ(α) = ϕ(β) gilt. ϕ heißt
Jordankurve, falls: α ≤ t < t0 < β ⇒ ϕ(t) 6= ϕ(t0 ).
3) Sind zwei Kurven Cj , ϕj : [αj , βj ] → C (j = 1, 2) mit ϕ1 (β2 ) = ϕ2 (α2 )
gegeben, so definieren wir die Summenkurve C1 + C2 durch:
®
ϕ(t) :=
ϕ1 (t)
,
α1 ≤ t ≤ β1
ϕ2 (t + α2 − β1 ) , β1 ≤ t ≤ β1 + β2 − α2
Mit [a, b] wird die Verbindungsstrecke von a ∈ C nach b ∈ C bezeichnet. Sind z1 , z2 , · · · , zn ∈ C, so bezeichnet [z1 , z2 ] + [z2 , z3 ] + · · · +
[zn−1 , zn ] den Polygonzug von z1 über z2 , · · · , zn−1 bis zn .
4) C sei durch z = ϕ(t), α ≤ t ≤ β gegeben. −C, die zu C entgegengesetzte
Kurve, ist dann etwa durch:
z = ψ(t) := ϕ(α + β − t) , α ≤ t ≤ β ,
gegeben.
5) Die Kurve C: z = ϕ(t) , α ≤ t ≤ β, heißt glatt, wenn ϕ ∈ C 1 [α, β] und
ϕ̇(t) 6= 0 , α ≤ t ≤ β, erfüllt sind.
Die Kurve C heißt ein Weg (oder stückweise glatt), falls es glatte Kurven C1 , C2 , · · · , Cn mit C = C1 + C2 + · · · + Cn gibt.
Konforme Abbildung
24
5.2
Es seien G ⊂ C eine offene Menge, f : G → C eine holomorphe Funktion
und C : z = ϕ(t), α ≤ t ≤ β, eine Kurve in G, d.h. ϕ : [α, β] → G oder auch
|C| ⊂ G.
f (C), w : [α, β] → C, w = f ◦ ϕ, ist stetig, also eine Kurve: die Bildkurve.
Es sei jetzt C glatt: ϕ̇(t) 6= 0 und f 0 (z) 6= 0, z ∈ G.
Dann ist f (C) wieder glatt:
ẇ(t) = f 0 (ϕ(t))ϕ̇(t) 6= 0 , α ≤ t ≤ β
arg(ż(to )) ist der Winkel zwischen der Tangente an C in zo = z(to ) und der
positiven reellen Achse.
Satz:
Es sei f in G holomorph und f 0 (z) 6= 0 für z ∈ G. Dann ist das Bild f (C) der
glatten Kurve C eine glatte Kurve, und der Winkel zwischen zwei glatten
Kurven bleibt unter f (hinsichtlich Größe und Drehsinn) erhalten.
Bemerkungen:
1) Ist in zo ∈ G f 0 (zo ) = 0, so kann sich der Winkel in zo ändern:
f (z) = z n (n ∈ N), zo = 0. Der Winkel zwischen Kurven, die sich in 0
schneiden ver-n-facht sich.
2) Ist f 0 (zo ) 6= 0, ϕ̇(to ) 6= 0 (zo = ϕ(to )), so gilt für die Längen der
Kurven C und f (C) bei zo näherungsweise l(f (C)) = l(C)|f 0 (zo )|.
3) Eine Abbildung f heißt konform, wenn Schnittwinkel erhalten bleiben.
Der Satz besagt somit:
Holomorphe Funktionen f mit f 0 (z) 6= 0 sind konforme Abbildungen.
Möbiustransformationen
25
Kapitel 6
Möbiustransformationen
6.1
“→C
“ heißt Möbiustransformation ⇔ es gibt Zahlen a, b, c, d ∈ C mit
T :C
ad − bc 6= 0 und

az + b





cz + d



T (z) :=








a
c
∞
d
, z ∈ C\{− }
c
,
,
z=∞
d
z=−
c
c = 0 ist der Trivialfall: T ist eine Drehstreckung verknüpft mit einer Translation.
c 6= 0:
T (z) =
a
ad − bc
ad − bc
“
−
, T 0 (z) =
, z ∈ C.
c c(cz + d)
(cz + d)2
Wir bezeichnen durch M die Menge aller Möbiustransformationen. T ∈ M
ist
bijektiv und holomorph.
Satz 1: (M, ◦) ist eine Gruppe.
zum Beweis:
id ∈ M.
T =
az + b
−dz + b −1
, T ∈ M ⇒ T −1 (z) =
, T ∈ M.
cz + d
cz − a
S, T ∈ M ⇒ S ◦ T ∈ M.
Möbiustransformationen
6.2
26
Bemerkung
Spezielle Möbiustransformationen sind:
z → az (a 6= 0)
Drehstreckung,
z →a+z
1
z→
z
Translation,
Inversion.
Satz 2: Die Gruppe (M, ◦) wird durch Drehstreckungen, Inversion und
Translationen erzeugt.
Bemerkungen:
1) Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis oder eine Gerade.
“→C
“ heißt kreistreu, wenn sie verallgemeinerte Krei2) Eine Abbildung C
se in verallgemeinerte Kreise abbildet.
Satz 3:
Die Inversion ist kreistreu.
Satz 4:
Jede Abbildung T ∈ M ist kreistreu.
6.3
Satz 5: Eine Möbiustransformation mit mehr als zwei Fixpunkten ist die
Identität.
“ Durch:
(DV ) Es seien z1 , z2 , z3 paarweise verschiedene Punkte aus C.
T (z) :=

z − z1 z2 − z3




z − z3 z2 − z1








z2 − z3





z − z3

















, (z1 , z2 , z3 ∈ C)
,
(z1 = ∞)
z − z1
z − z3
,
(z2 = ∞)
z − z1
z2 − z1
,
(z3 = ∞)
wird die Möbiustransformation definiert, die z1 → 0, z2 → 1, z3 → ∞ abbildet.
Satz 6:
“
z1 , z2 , z3 und w1 , w2 , w3 seien Tripel paarweise verschiedener Zahlen aus C.
Möbiustransformationen
27
Es gibt genau ein T ∈ M mit T (zj ) = w; (j = 1, 2, 3).
zum Beweis:
Existenz mit (DV ). Eindeutigkeit mit Satz 5.
Ist T1 die Abbildung, die w1 → 0, w2 → 1, w3 → ∞ und T2 die Abbildung,
die z1 → 0, z2 → 1, z3 → ∞ bewirkt, so ist T = T1−1 ◦ T2 die geforderte
Möbiustransformation.
Die in Satz 6 bestimmte Abbildung T wird implizit durch T1 (T (z)) = T2 (z)
gegeben. Ausgeschrieben bedeutet das:
(∗)
6.4
T (z) − T (z1 ) T (z2 ) − T (z3 )
z − z1 z2 − z3
.
=
T (z) − T (z3 ) T (z2 ) − T (z1 )
z − z3 z2 − z1
Winkeltreue. Orientierungstreue. Gebietstreue.
1. Zwei verallgemeinerte Kreise K1 , K2 mögen sich in b schneiden. Gilt
a ∈ K1 , c ∈ K2 , so bezeichnen wir den (orientierten) Schnittwinkel
zwischen K1 , K2 in b durch ](a, b, c).
Da für T ∈ M für alle z T 0 (z) 6= 0 gilt, hat man nach Kapitel 5:
Satz 7: (Winkeltreue)
Für T ∈ M gilt: ](a, b, c) = ](T (a), T (b), T (c)).
2. Drei verschiedene Punkte a, b, c eines verallgemeinerten Kreises K legen wie folgt eine Orientierung (a, b, c) fest: c liegt nicht auf dem Bogen
(a, b) von a nach b.
“ wird unterteilt in K und zwei Gebiete. Das zur Linken von K lieC
gende Gebiet ist dasjenige, in das der Normalenvektor it (t Tangente)
weist.
Satz 8: (Orientierungstreue, Gebietstreue)
“ das Gebiet zur Linken bezüglich der Orientierung (a, b, c)
Es sei G ⊂ C
des verallgemeinerten Kreises K. Dann liegt für jedes T ∈ M das Bild
T (G) zur Linken bezüglich der Orientierung (T (a), T (b), T (c)) des verallgemeinerten Bildkreises T (K). T (G) ist ein Gebiet.
“ stetig und G offen ist. Da
zum Beweis: T (G) ist offen, da T −1 in C
T stetig ist, ist T (G) zshgd: T (G) ist ein Gebiet. Es liegt links oder
rechts von T (K). Die Tangentenrichtung im Bild ergibt sich aus der
ı T (bc),
Ù T (cı
Abfolge der Bögen T (ab),
a).
Möbiustransformationen
6.5
28
Das Doppelverhältnis
“ und z1 , z2 , z3 ∈ C
“ und
Das Doppelverhältnis der Zahlen z, z1 , z2 , z3 : z ∈ C
z1 6= z2 6= z3 ist die unter 6.3 (DV ) definierte Möbiustransformation T , die
wir jetzt durch (z, z1 , z2 , z3 ) bezeichnen. Es gelten also:
(z1 , z1 , z2 , z3 ) = 0, (z2 , z1 , z2 , z3 ) = 1, (z3 , z1 , z2 , z3 ) = ∞.
“ und z1 , z2 , z3 paarweise verschiedeSatz 9: Es seien z, z1 , z2 , z3 ∈ C
ne und S ∈ M. Es gilt:
(z, z1 , z2 , z3 ) = (S(z), S(z1 ), S(z2 ), S(z3 )).
Lemma:
z1 , z2 , z3 , z4 liegen auf einem verallgemeinerten Kreis genau dann, wenn
(z4 , z1 , z2 , z3 ) ∈ R gilt.
6.6
Spiegeln an verallgemeinerten Kreisen.
Definition: z1 , z2 , z3 mögen auf einem verallgemeinerten Kreis K liegen.
%K (z) heißt Spiegelpunkt von z an K, falls:
(%K (z), z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 )
erfüllt ist.
Bemerkung:
“ (= R ∪ {∞}), so liest man ab:
Ist K = R
%R
b (z) = z.
Satz 10: (Symmetrie-Prinzip) Es seien T ∈ M, K ein verallgemeinerter
Kreis und z1 , z2 , z3 ∈ K. Es gilt:
“
T (%K (z)) = %T (K) (T (z)) , z ∈ C.
“ und T (K) = R,
“ besagt das: T (z) = T (z).
Im Fall K = R
(Das kann man auch aus (∗), 6.3 ablesen).
Satz 11:
gilt:
L sei die Gerade z(t) = a + t eiϕ , t ∈ R, (a ∈ C, ϕ ∈ R fest). Es
%L (z) = e2iϕ (z − a) + a.
L ist die Mittelsenkrechte der Strecke [z, %L (z)].
Satz 12:
Es sei K der Kreis um a mit Radius R. Es gilt:
%K (z) = a +
R2
.
z−a
Übung: Deute %K (z) geometrisch. Verwende dies zu einer Konstruktion von
%K (z) aus z.
Der Logarithmus
29
Kapitel 7
Der Logarithmus
7.1
7.2
Satz 1: Es sei α ∈ R. Jeder Streifen Sα := {z/ α < Im(z) < α + 2π}
wird durch f (z) = exp(z) schlicht (d.h. holomorph und injektiv) auf die
geschlitzte Ebene Eα = C\{w/ w = reiα , r ≥ 0} abgebildet.
7.3
Satz 2: E−π = {z/ z 6= 0, −π < arg(z) < π} (=C\(−∞, 0]) wird durch
log(z) := ln |z| + i arg(z) schlicht auf S−π := {w/ − π < Im(w) < π}
abgebildet.
1
Es gelten exp(log(z)) = z, z ∈ E−π , und log0 (z) = , z ∈ E−π .
z
7.4
Es seien G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine stetige Funktion, die
exp(f (z)) = z, z ∈ G, erfüllt.
f heißt dann ein Zweig des Logarithmus auf G.
Mit G = E−π ist log aus Satz 2 ein Zweig des Logarithmus: der sogenannte
Hauptzweig.
Der Logarithmus
30
Satz 3: Ist G ⊂ C ein Gebiet und f auf G ein Zweig des Logarithmus,
so sind alle Zweige des Logarithmus auf G durch f (z)+2kπi, k ∈ Z, gegeben.
Bemerkung:
In A3, 5. Übung, wird gezeigt, dass auf {z/ |z − 1| < 1} der Hauptzweig des
Logarithmus die Darstellung
log(z) =
∞
X
n=1
(−1)n−1
(z − 1)n
n
besitzt.
7.5
Ist log(z) ein Zweig des Logarithmus auf G, so wird für b ∈ C
durch
z b = exp(b log(z)), z ∈ G,
f (z) = z b
definiert.
Satz 4: Ist log der Hauptzweig des Logarithmus, so ist f (z) = z b , z ∈ E−π
holomorph. Es gilt f 0 (z) = bz b−1 .
Kurvenintegrale
Stammfunktionen
31
Kapitel 8
Kurvenintegrale
Stammfunktionen
8.1
−∞ < α < β < ∞, w : [α, β] → C sei stückweise stetig:
w(t) = u(t) + i v(t), u(t) = Rew(t), v(t) = Imw(t).
Satz 1:
β
β
ˆ
ˆ
|w(t)|dt.
w(t)dt ≤
α
α
zum Beweis:
ˆβ
ˆβ
Ist
w(t)dt 6= 0, so sei ϑ = arg( w(t)dt).
α
α
Es gilt:
β
β
ˆβ
ˆ
ˆ
−iϑ
Re(e w(t))dt ≤ |w(t)|dt.
w(t)dt =
α
α
α
8.2
1) Ist ϕ : [α, β] → C eine glatte Kurve C und f : |C| → C stetig, so wird
definiert:
ˆ
ˆβ
f (z)dz = f (ϕ(t))ϕ̇(t)dt.
α
C
[α∗ , β ∗ ]
Bemerkung: Ist h :
→ [α, β] aus C 1 und streng wachsend, so
ist z = ψ(τ) := ϕ(h(τ)), α∗ ≤ τ ≤ β ∗ , eine Kurve C ∗ mit |C| = |C ∗ |.
Es gilt:
ˆ
ˆ
(∗)
f (z)dz = f (z)dz.
C
C∗
Kurvenintegrale
Stammfunktionen
32
Also: Geht C aus C ∗ durch Parametertransformation hervor, so gilt
(∗).
2) Ist C ein Weg: C = C1 + C2 + · · · + Cn , so gilt
ˆ
f (z)dz =
ˆ
n
X
f (z)dz.
j=1
C
Cj
3) Ist −C die zu C entgegengesetzte glatte Kurve, so gilt
ˆ
ˆ
f (z)dz = − f (z)dz,
−C
C
ˆ
und also
f (z)dz = 0 .
C+(−C)
ˆ
4)
ˆβ
f (z)|dz| :=
C
Satz 2:
f (ϕ(t))|ϕ̇(t)|dt.
α
ˆ
ˆ
|f (z)||dz| ≤ M l(C),
f (z)dz ≤
ˆ
C
C
wobei M = max{|f (z)|, z ∈ |C|} und l(C) =
|dz| die Länge von |C|
C
sind.
Ist C ein geschlossener Weg, so schreiben wir auch:
ˆ
‰
f (z)dz = f (z)dz
C
C
ˆ
oder

f (z)dz =
C
Beispiel:
Es gilt
f (z)dz.
C
Es sei C: z = ϕ(t) = reit , 0 ≤ t ≤ 2π.
®
‰
n
z dz =
C
2πi , n = −1
0 , n 6= −1 , n ∈ Z.
Kurvenintegrale
Stammfunktionen
33
8.3
Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine Funktion.
g : G → C heißt Stammfunktion von f in G, wenn g in G holomorph ist
und wenn g 0 = f in G erfüllt ist.
Satz 3:
Die stetige Funktion f habe in G die Stammfunktion g. Es seien a, b ∈ G.
Es gilt:
ˆ
f (z)dz = g(b) − g(a)
C
für jeden Weg C, |C| ⊂ G, der a mit b verbindet.
Folgerung: Es sei f stetig im Gebiet G und besitze in G eine Stammfunktion. Dann gilt für jeden geschlossenen Weg C in G:
‰
f (z)dz = 0.
C
Beispiele:
1) f (z) =
∞
X
an z n haben den Konvergenzradius r.
n=0
g mit g(z) =
∞
X
an n+1
z
ist in {z/ |z| < r} eine Stammfunktion
n+1
n=0
von f .
1
1
, n = 2, 3, · · · Stammfunktion von
n−1
n−1z
1
f (z) = n , n = 2, 3, · · · .
z
‰
1
1
3) Da
dz = 2πi 6= 0 gilt, besitzt f (z) = in C\{0} keine Stammz
z
2) In C\{0} ist g(z) = −
|z|=r
funktion.
4) f (z) =
1
besitzt in E−π = C\(−∞, 0], (7.2) die Stammfunktion
z
g(z) = log(z) = ln |z| + i arg(z), −π < arg(z) < π.
Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete
34
Kapitel 9
Der Integralsatz und die
Integralformel von Cauchy
für Sterngebiete
9.1
Satz 1: (Das Lemma von Goursat)
Es sei G ⊂ C ein Gebiet und p ∈ G. Es sei f ∈ C(G) ∩ H(G\{p}). Dann gilt
für jedes abgeschlossene Dreieck 4 ⊂ G:
‰
f (z)dz = 0.
∂4
zum Beweis:
‰
Angenommen f (z)dz = α > 0.
∂4
Man konstruiert abgeschlossene Dreiecke 4j mit:
4 ⊃ 41 ⊃ 42 ⊃ · · · ⊃ 4n ⊃ 4n+1 ⊃ · · ·
die
(1)
‰
f (z)dz ≥
α
4n
, n = 1, 2, · · ·
∂4n
erfüllen.
Bezeichnen dn = diam(4n ) und l(∂4n ) die Länge von ∂4n , so folgt mit
(2) dn <
zunächst:
1
l(∂4)
2n
und dn =
∞
\
j=1
1
diam(4) n = 1, 2, · · ·
2n
4j = {zo }.
Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete
35
Nutzt man aus, dass f in zo diff’bar ist, so erhält man mit (1) und (2):
Für beliebiges ε > 0 gilt:
α ≤ ε diam(4) l(∂4)
Für ε <
9.2
α
ist das falsch.
diam(4) l(∂4)
Der Integralsatz für Sterngebiete
Das Gebiet G heißt Sterngebiet, falls es in G einen Punkt a gibt mit:
(z ∈ G) ⇒ ([a, z] = {ξ = a + t(z − a), 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ G).
Satz 2:
Es sei G ein Sterngebiet bezüglich a. Es sei p ∈ G. Dann hat jede Funktion
f ∈ C(G) ∩ H(G\{p}) in G eine Stammfunktion.
ˆ
zum Beweis: g(z) =
f (ξ)dξ , z ∈ G, ist in G Stammfunktion von f .
[a,z]
Satz 3: (Cauchy Integralsatz für Sterngebiete)
Es sei G ein Sterngebiet und p ∈ G und f ∈ C(G) ∩ H(G\{p}). Dann gilt
für jeden geschlossenen Weg C in G:
‰
f (z)dz = 0.
C
9.3
Die Cauchysche Integralformel für Kreise und
Sterngebiete
Satz 4: (Die Integralformel für Kreise)
Es seien G ein Gebiet und f ∈ H(G). Es seien zo ∈ G und r > 0 so, dass
{z/ |z − zo | ≤ r} ⊂ G. Dann gilt:
‰
f (ξ)
1
dξ , z ∈ D(zo , r).
f (z) =
2πi
ξ−z
|ξ−zo |=r
zum Beweis:
Wähle zu z ∈ D(zo , r) δ > 0 so, dass D(z, δ) ⊂ D(zo , r) gilt.
Zeige:
‰
‰
f (ξ)
f (ξ)
dξ =
dξ
ξ−z
ξ−z
|ξ−zo |=r
und bilde lim .
δ→0
|ξ−z|=δ
Der Integralsatz und die Integralformel von Cauchy für Sterngebiete
36
Bemerkungen:
1) Für z mit |z − zo | < r gilt (setze oben f = 1):
‰
1
dξ = 2πi.
ξ−z
|ξ−zo |=r
2) Für z = zo in Satz 4 erhält man den Mittelwertsatz:
1
f (zo ) =
2π
ˆ2π
f (zo + reit )dt.
0
Satz 5: (Die Integralformel für Sterngebiete)
Es seien G ein Sterngebiet, C ein geschlossener Weg in G und f ∈ H(G).
Dann hat man für z ∈ G \ |C|:
‰
1
f (ξ)
n(C, z)f (z) =
dξ , z 6∈ |C|
2πi
ξ−z
C
wobei zur Abkürzung
1
n(C, z) =
2πi
‰
C
dξ
ξ−z
gesetzt wurde. (Siehe Kap. 12)
(Ist C ein Kreis um zo mit |C| ⊂ G, so gilt für z aus dem Innern des Kreises
n(C, z) = 1).
zum Beweis:
Mit z ∈ G beliebig, fest, z 6∈ |C|, wird der Satz 3 angewendet auf
g : G → C, g(ξ) :=
Es ist g ∈ C(G) ∩ H(G\{z}).

f (ξ) − f (z)






ξ 6= z
ξ−z
,
f 0 (z)
, ξ = z.
Folgerungen
37
Kapitel 10
Folgerungen
10.1
Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen
Satz 1: Es sei f holomorph im Gebiet G ⊂ C und zo ∈ G. Es sei D(zo , r)
die größte Kreisscheibe um zo , die in G liegt. Dann gilt:
f (z) =
∞
X
an (z − zo )n
, z ∈ D(zo , r),
n=0
mit
an =
1
2πi
‰
|ξ−zo |=ρ
f (ξ)
dξ
(ξ − zo )n+1
, n = 0, 1, 2 · · · .
ρ ist beliebig mit 0 < ρ < r.
zum Beweis:
1) O.B.d.A zo = 0.
2) Mit |ξ| = ρ und |z| < ρ und m ∈ N hat man:
m
Ä z äm+1 1
X
1
zn
=
+
.
ξ − z n=0 ξ n+1
ξ
ξ−z
3) Mit der Cauchy Integralformel (9.3, Satz 4) gilt:
‰
1
f (ξ)
f (z) =
, |z| < ρ.
2πi
ξ−z
|ξ|=ρ
Setze 2) hier ein, setze an wie im Satz angegeben (mit zo = 0). Man
erhält:
Folgerungen
38
|f (z) −
m
X
1
an z n | = n=0
2πi
‰
|ξ|=ρ
f (ξ) Ä z äm+1 dξ ξ−z ξ
z → 0 (m → ∞) mit < 1 und Satz 2, 8. Kapitel.
ξ
Folgerungen:
1) Ist f ∈ H(G), so gilt f (n) ∈ H(G) für jedes n ∈ N.
2)
f (n) (zo ) =
n!
2πi
‰
|ξ−zo |=ρ
f (ξ)
dξ
(ξ − zo )n+1
, n = 0, 1, 2, · · · .
Mit 1) folgt leicht der Satz von Morera:
Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f ∈ C(G). Für jedes abgeschlossene Dreieck
4 ⊂ G gelte
‰
f (z)dz = 0.
∂4
Dann ist f auf G holomorph.
zum Beweis: Wähle zo ∈ G und δ > 0 so, dass D(zo , δ) ⊂ G. In D(zo , δ)
ist
ˆz
g(z) := f (ξ)dξ
zo
(Integration längs der geradlinigen Verbindung von zo nach z) Stammfunktion von f . Da mit g auch g 0 holomorph ist, ist f holomorph.
10.2
Der Identitätssatz
Satz 2: Es sei G ein Gebiet und f ∈ H(G), zo ∈ G. Aus f (z) = 0
für unendlich viele verschiedene sich in zo häufende Punkte z ∈ G folgt:
f (z) = 0, z ∈ G.
zum Beweis:
1) Mit Satz 1 und den Voraussetzungen folgt
f (j) (zo ) = 0
, j = 0, 1, · · · .
Somit gilt f (z) = 0 für |z − zo | < r, z ∈ G.
2) Die Menge Go = {z ∈ G/ f (n) (z) = 0, n = 0, 1, 2, · · · } ist nichtleer
und offen. Hier wird wieder Satz 1 angewendet. G1 = G\Go ist offen,
da f (n) stetig ist für jedes n. Da G als Gebiet zshgd ist, folgt G1 = ∅
und somit G = Go .
Folgerungen
39
Bemerkungen:
1) Das Gebiet G enthalte das Intervall I ⊂ R. Es sei g eine auf I definierte
Funktion. Dann: g lässt sich auf höchstens eine Weise ins Komplexe
als holomorphe Funktion fortsetzen.
2) Aus cos2 x + sin2 x = 1 für x ∈ R folgt cos2 z + sin2 z = 1 für z ∈ C.
3) Es sei G ein Gebiet, f ∈ H(G), f 6= konst.
zo heißt c - Stelle der Ordnung m, falls f (zo ) = c, f (j) (zo ) = 0
(j = 1, 2, · · · , m − 1), f (m) (zo ) 6= 0.
Es gilt in der Umgebung einer c - Stelle der Ordnung m die Entwicklung
f (z) = c + (z − zo )m
∞
ÄX
am+l (z − zo )l
ä
l=0
mit am 6= 0.
10.3
Ganze Funktionen. Der Satz von Liouville
Der Fundamentalsatz der Algebra
f heißt ganze Funktion, wenn f ∈ H(C). Das sind die Funktionen, die sich
um jeden Punkt in eine Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius entwickeln lassen.
Satz 3: (Der Satz von Liouville)
Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant.
zum Beweis:
Man geht aus von f (z) =
∞
X
an z n mit
n=0
an =
1
2πi
‰
|ξ|=r
f (ξ)
dξ
ξ n+1
(Satz 1).
Mit M (r) = max{|f (ξ)|, |ξ| = r} folgt mit Satz 2, 8. Kapitel:
|an | ≤
M (r)
rn
, n = 0, 1, 2, · · · , 0 < r < ∞.
Die Ungleichungen (∗) findet man auch unter dem Stichwort ”Cauchysche Abschätzung”.
Folgerung aus dem Satz von Louville:
Folgerungen
40
Der Fundamentalsatz der Algebra:
Es sei p ein nichtkonstantes Polynom. Dann hat p in C eine Nullstelle.
1
zum Beweis: Ist p(z) 6= 0 für alle z, so ist f (z) :=
eine ganze Funkp(z)
tion, für die wegen p(z) → ∞ für z → ∞ gilt: f (z) → 0 für z → ∞. Hieraus
folgt mit Satz 3, dass f konstant ist.
10.4
Die Gebietstreue
Hilfssatz:
Es sei f in einer Umgebung von D(zo , r) holomorph. Es gelte
|f (zo )| < min{|f (z)|, |z − zo | = r}. Dann hat f in D(zo , r) eine Nullstelle.
1
Beweis: mittels Widerspruch: mit Potenzreihenentwicklung von
um
f (z)
1
zo und mit der Cauchyschen Abschätzung für
.
f (zo )
Satz 4: (Gebietstreue)
Es sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ H(G) und f 6= konst. Dann ist f (G) ein
Gebiet.
zum Beweis: mit dem Hilfssatz.
Das Maximumprinzip
41
Kapitel 11
Das Maximumprinzip
11.1
Die Parsevalsche Formel
Satz 1:
Es sei f (z) =
(0 < ρ ≤ ∞). Es gilt:
n=0
|f (zo + reit )|2 dt =
0
barkeit von
an (z − zo )n holomorph in {z/ |z − zo | < ρ}
ˆ2π
1
2π
zum Beweis:
∞
X
∞
X
|an |2 r2n
(0 < r < ρ).
n=0
Nachrechnen!
Es werden Sätze verwendet über die Vertauschˆ
und , d.h. auch Sätze die Konvergenz von Potenzreihen
X
betreffend.
11.2
Das Maximumprinzip
Satz 2: Es sei G ein Gebiet, f ∈ H(G), f 6= konst. Dann nimmt |f | in G
kein Maximum an.
zum Beweis: Es wird gezeigt:
Zu jedem zo ∈ G gibt es ein z1 ∈ G mit |f (zo )| < |f (z1 )|. Es wird der Satz
1 angewendet. Ist D(zo , r) eine Kreisscheibe mit D(zo , 2r) ⊂ G, so liegt z1
auf dem Kreis ξ(t) = zo + reit , 0 ≤ t ≤ 2π.
Satz 3: Das Gebiet G sei beschränkt. Es sei f ∈ H(G) ∩ C(G). Dann
gilt |f (z)| ≤ max{|f (ξ)|, ξ ∈ ∂G} , z ∈ G. Hier gilt 00 =00 nur im Fall
f = konst.
zum Beweis: Mittels Widerspruch und mit Satz 2.
Folgerung: Voraussetzungen wie für Satz 3.
Es gilt Re(f (z)) ≤ max{Re(f (ξ)), ξ ∈ ∂G}. Gleichheit gilt nur im Fall
f = konst.
Das Maximumprinzip
42
zum Beweis:
Setze g(z) := exp(f (z)). Es gilt |g(z)| = exp(Ref (z)). Wende Satz 3 auf
|g(z)| an. Beachte die Monotonie von exp und ln.
Bemerkung:
11.3
Dies ist ein Satz zu harmonischen Funktionen.
Das Schwarzsche Lemma
Satz 4: Es sei f holomorph in D = {z/ |z| < 1} und es seien f (0) = 0
und |f (z)| < 1 für z ∈ D erfüllt. Dann gelten:
|f (z)| ≤ |z| , z ∈ D,
und |f 0 (0)| ≤ 1.
Gilt |f 0 (0)| = 1 oder |f (z)| = |z| für ein z ∈ D, so folgt f (z) = eiα z mit
einem α ∈ R.
zum Beweis:
Verwende die Potenzreihe von f um 0 und wende das Maximumprinzip auf
f (z)
, z ∈ D, (g(0) = f 0 (0)) an.
g(z) :=
z
11.4
Die biholomorphen Abbildungen D → D
1) Es sei a ∈ D beliebig, fest.
ϕa mit ϕa (z) :=
z−a
ist holomorph in einer offenen Kreischeibe, die
1 − az
D = {z/ |z| ≤ 1} enthält.
ϕa : D → D und ϕa ist biholomorph. Es ist ϕ−1
a = ϕ−a . Es
1
0
2
0
.
gelten: ϕa (∂D) = ∂D, ϕa (0) = 1 − |a| , ϕa (a) =
1 − |a|2
Satz 5:
2) Es sei a ∈ D und f ∈ H(D) mit |f (z)| ≤ 1, z ∈ D. Es gilt:
(1) |f 0 (a)| ≤
1 − |f (a)|2
1 − |a|2
und: In (1) gilt die Gleichheit genau für
(2) f (z) = ϕ−f (a) (c ϕa (z)) , z ∈ D
mit c konstant und |c| = 1.
Das Maximumprinzip
43
zum Beweis von (1), (2):
Auf g := ϕf (a) ◦ f ◦ ϕ−a kann das Schwarzsche Lemma angewendet
werden. Es gilt somit |g 0 (0)| ≤ 1 zusammen mit einer Aussage, unter
welchen Umständen Gleichheit vorliegt. Wird dies auf f umgerechnet,
so erhält man (1), (2).
3) Satz 6:
Es sei f : D → D biholomorph mit f (a) = 0. Dann gilt f = cϕa mit
einer Konstanten c mit |c| = 1.
zum Beweis:
Es sei g die inverse Funktion von f
(3) g(f (z)) = z
, z ∈ D.
Wende (1), (2) mit f und a und mit g und f (a) = 0 an. Verwende (3).
Man erhält |f 0 (a)| = (1 − |a|2 )−1 .
Die Aussage (2) zur Gleichheit in (1) gibt die Behauptung.
Die Windungszahl
44
Kapitel 12
Die Windungszahl
12.1
Die (Zusammenhangs)komponenten der offenen Menge G ⊂ C sind die maximalen zshgd. Teilmengen von G. Die Komponenten sind die Äquivalenzklassen
der Äquivalenzrelation ∼ auf G × G, die für a, b ∈ G so definiert wird:
a∼b
⇔
a und b lassen sich in G durch eine Kurve verbinden.
Jede offene Menge ist disjunkte Vereinigung ihrer Komponenten. Jede Komponente ist ein Gebiet.
12.2
Ist C ein geschlossener Weg in C, so heißen die Komponenten von C\|C| auch
die Komplementärgebiete von C. Da ∞ 6∈ |C|, liegt ∞ in genau einem dieser Gebiete: dem Außengebiet von C. Bezeichnet man diese unbeschränkte
Komponente von C\|C| durch U , so hat man:
{z/ |z| > R} ⊂ U für R > 0 genügend groß.
12.3
Die Windungszahl
Es sei C ⊂ C ein geschlossener Weg. Die Windungszahl n(C, z) von C bzgl
z ∈ C\|C| ist durch
‰
1
1
dξ
n(C, z) :=
2πi
ξ−z
C
definiert.
Die Windungszahl
45
Satz 1: n(C, z) ∈ Z
zum Beweis:
Ist C durch ξ : [α, β] → C parametrisiert, ξ glatt, so ist mit
ˆτ
h(τ) =
α
˙
ξ(t)
dt
ξ(t) − z
, α ≤ τ ≤ β,
g(τ) = (ξ(τ) − z) exp(−h(τ)) auf [α, β] konstant. Hieraus folgt die Behauptung.
Satz 2:
Ist C ein Weg in C, so ist die Funktion
ˆ
mit f (z) :=
C
Satz 3:
f : C\|C| → C
dξ
stetig.
ξ−z
Es sei C ein geschlossener Weg in C. Es gelten:
‰
1) Ist U eine Komponente von C\|C|, so ist f : U → C, f (z) :=
C
dξ
,
ξ−z
konstant.
2) n(C, z) = 0
für z aus der unbeschränkten Komponente von C\|C|.
Bemerkung/Übung:
1) C sei geschlossener Weg. Dann gilt:
n(C, a) = −n(−C, a)
, a 6∈ |C|.
2) C1 , C2 seien geschlossene Wege mit demselben Anfangspunkten. Für
a 6∈ |C1 | ∪ |C2 | gilt:
n(C1 + C2 , a) = n(C1 , a) + n(C2 , a).
3) Ist C ein geschlossener Weg in C, so heißen die Mengen
int(C) := {z ∈ C\|C|/ n(C, z) 6= 0},
ext(C) := {z ∈ C\|C|/ n(C, z) = 0}
heißen das Innere bzw. das Äußere von C.
3.1
Es ist
C = int(C) ∪ |C| ∪ ext(C)
eine disjunkte Zerlegung von C.
Die Windungszahl
3.2
46
Es gelten
∂(int(C)) ⊂ |C| ,
3.3
∂(ext(C)) ⊂ |C|
und für D = D(zo , r)
int(∂D) = D
,
ext(∂D) = C\D,
∂(int(∂D)) = ∂(ext(∂D)) = ∂D.
3.4
12.4
int(C) ist beschränkt, ext(C) ist nichtleer und unbeschränkt:
Aus |C| ⊂ D(zo , r) folgen int(C) ⊂ D(zo , r), C\D(zo , r) ⊂ ext(C).
(Verkehrsregel) zur Berechnung der Windungszahl
Satz 4: Der geschlossene Weg C zerlege die Kreisscheibe D in zwei Gebiete Dl und Dr .
Es gilt
n(C, zl ) = n(C, zr ) + 1
(”Vorfahrtsregel”).
, zl ∈ Dl
, zr ∈ Dr
Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz
47
Kapitel 13
Die Cauchysche
Integralformel und der
Cauchysche Integralsatz
13.1
Satz 1: (Die Integralformel) Es seien G ⊂ C eine offene Menge und f :
G → C eine holomorphe Funktion. C sei ein geschlossener Weg in G. Es sei
n(C, w) = 0 für w ∈ C\G erfüllt. Dann gilt für z ∈ G\|C|
˛
1
f (ξ)
n(C, z)f (z) =
dξ.
2πi
ξ−z
C
zum Beweis:
1. Schritt: Es ist H := {w ∈ C/ n(C, w) = 0} eine offene Menge, und es
gilt H ∪ G = C.
2. Schritt: g : G × G → C mit:

f (ξ) − f (z)



g(ξ, z) :=



ξ 6= z
ξ−z
,
f 0 (z)
, ξ = z.
ist stetig auf G × G.
Beim Nachweis der Stetigkeit in (zo , zo ) ∈ G × G mit (ξ, z) → (zo , zo ) mit
ξ 6= z verwendet man
1
g(ξ, z) − g(zo , zo ) =
ξ−z
ˆξ
(f 0 (w) − f 0 (zo )) dw
z
(Integration längs der Verbindungsstrecke) und die Stetigkeit von f 0 .
Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz
48
˛
3. Schritt:
ho (z) :=
g(ξ, z) dξ
, z ∈ G, ist holomorph. Dies wird mit
C
dem Satz von Morera (10.1) gezeigt. Es werden verwendet: der Satz von
Fubini und das Lemma von Goursat (Satz 1 in 9.1).
4. Schritt: Für z ∈ G ∩ H gilt
‰
f (ξ)
ho (z) =
dξ =: h1 (z).
ξ−z
C
5. Schritt: Es ist h1 auf H holomorph. Das ist ein Spezialfall des folgenden
Satzes: Ist C ein Weg in der offenen Menge U und p eine auf |C| stetige
Funktion, so ist
ˆ
p(ξ)
dξ
λ(z) :=
ξ−z
C
auf U \|C| holomorph mit
ˆ
(n)
λ (z) = n!
C
p(ξ)
dξ
(ξ − z)n+1
, z ∈ U \|C| , n ∈ N.
Diesen Satz haben wir mittels Potenzreihenentwicklung des Integranden bewiesen.
6. Schritt


 ho (z) , z ∈ G
h(z) :=

 h (z) , z ∈ H.
1
ist eine ganze beschränkte (es gilt h1 (z) → 0, z → ∞) Funktion, die also
nach dem Satz von Louville (10.3) konstant ist. Wegen h(z) → 0 für z → ∞
gilt somit h(z) = 0, z ∈ G, also auch ho (z) = 0 für z ∈ G\|C|. Das ist die
Behauptung des Satzes.
Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz
13.2
49
Verallgemeinerung von Satz 1
Es sei G ⊂ C eine offene Menge und f ∈ H(G).
Satz 2:


C1 , · · · , Cm seinen geschlossene Wege in G mit




m
(V )
X


n(Cj , w) = 0 für w ∈ C\G.



j=1
Dann gilt für z ∈ G\
m
[
|Cj |
j=1
m
ÄX
ä
n(Cj , z) f (z) =
j=1
m
X
1
2πi
j=1
‰
Cj
f (ξ)
dξ.
ξ−z
zum Beweis: Der Beweis geht wie der von Satz 1. g = g(ξ, z) wird wie
dort definiert. Jetzt ist
H = {w/
m
X
n(Cj , w) = 0}
j=1
und
ho (z) =
m
X
‰
g(ξ, z) dξ
, z ∈ G.
j=1
Cj
13.3
Der Cauchysche Integralsatz
Satz 3:
Dann gilt
(V ) wie in Satz 2.
m
X
‰
f (ξ)dξ = 0.
j=1
Cj
zum Beweis:
Wähle a ∈ G\
m
[
|Cj |. Setze F (z) := (z − a)f (z).
j=1
Nach Satz 2 gilt:
m
m ‰
m ‰
ä
ÄX
1 X
F (ξ)
1 X
n(Cj , a) F (a) = 0
f (ξ) dξ =
dξ =
2πi j=1
2πi j=1 ξ − a
j=1
Cj
Cj
Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz
13.4
50
Beispiele
1) Es sei G offene Menge, C ein geschlossener Jordanweg in G mit int(C) ⊂
G und f ∈ H(G). Dann gilt:
‰
f (z)dz = 0
C
2) Es sei f ∈ H(G). G = {z/ R1 < |z| < R2 }. Wähle r1 , r2 mit
R1 < r1 < r2 < R2 und bezeichne
C1 : ξ1 (t) = r1 eit , 0 ≤ t ≤ 2π
C2 : ξ2 (t) = r2 eit , 0 ≤ t ≤ 2π
Mit Satz 3 folgt
‰
‰
f (z)dz =
C1
f (z)dz
C2
Es seien z ∈ G und r1 , r2 so, dass R1 < r1 < |z| < r2 < R2 erfüllt ist.
Mit Satz 2 folgt:
Satz 4:
(Cauchy Integralformel für den Kreisring)
‰
‰
f (ξ)
1
f (ξ)
1
dξ −
dξ.
f (z) =
2πi
ξ−z
2πi
ξ−z
C2
C1
3) Eine Anwendung von 1) oben gibt:
Ist C ein positiv orientierter geschlossener Jordanweg, so gilt für z ∈
int(C):
‰
dξ
1
)=1
n(C, z) (=
2πi
ξ−z
C
Man weist hierzu nach, dass
‰
C
dξ
=
ξ−z
‰
K
dξ
ξ−z
gilt, wobei K der positiv orientierte Rand eines Kreises um z ist, der
K ⊂ int(C) erfüllt.
4) Eine Anwendung von Satz 3 liefert das folgende Ergebnis: Co , C1 , ..., Cm
seien geschlossene Jordanwege. C1 , ..., Cm liegen alle im Innengebiet
von Co , jeder der Wege C1 , ..., Cm liegt im Innengebiet von Co , und
Die Cauchysche Integralformel und der Cauchysche Integralsatz
51
jeder der Wege C1 , ..., Cm liegt im Außengebiet aller anderen
(int (Cj ) ∩ int (Cl ) = ∅ , j 6= l , j , l=1,...,m). Dann gilt
˛
f (z)dz =
Co
m
X
˛
f (z)dz ,
j=1
Cj
falls Co , C1 , ..., Cm und das Ringgebiet zwischen Co und den
Cj (j = 1, ..., m) ganz in einer offenen Menge G liegen, in der f holomorph ist, und falls Co , C1 , ..., Cm in demselben Sinn orientiert sind.
Zeige: Für w 6∈ G gilt n(Co , w) +
Satz 3 auf Co , −C1 , ..., −Cm an.
m
X
j=1
n(−Cj , w) = 0. Man wende
Die Laurent Entwicklung
52
Kapitel 14
Die Laurent Entwicklung
14.1
an , n ∈ Z, sind gegebene komplexe Zahlen.
+∞
X
(∗)
an (z − zo )n
n=−∞
heißt Laurent Reihe um zo .
(∗) heißt konvergent in z, falls für z
(1) h(z) :=
−1
X
an (z − zo )n =
n=−∞
und
(2) r(z) :=
+∞
X
∞
X
a−n (z − zo )−n
n=1
an (z − zo )n
n=0
konvergieren.
Liegt Konvergenz vor, so wird
+∞
X
an (z − zo )n = h(z) + r(z)
n=−∞
(Hauptteil und Nebenteil) geschrieben.
1
und r(z) eine Potenzreihe ist, können
Da h(z) eine Potenzreihe in
z − zo
wir die früher bereitgestellten Ergebnisse zu Potenzreihen anwenden. Man
erhält so leicht den:
Die Laurent Entwicklung
Satz 1
Es seien
53
∞
X
1
der Konvergenzradius der Reihe
a−n z n und R2
R1
n=1
der Konvergenzradius der Reihe
∞
X
an z n . Dann hat man:
n=0
+∞
X
1.
an z n ist konvergent für alle z mit R1 < |z| < R2 .
n=−∞
2. Im Fall R1 < R2 ist die durch
+∞
X
an z n auf A = {z/ R1 < |z| < R2 }
n=−∞
definierte Funktion f in A holomorph.
Bemerkung: In den Anwendungen (siehe auch die nächsten Kapitel) tritt
hauptsächlich der Fall R1 = 0 auf: A ist die “ punktierte ” Kreischeibe
D0 (0, R2 ) = {z/ 0 < |z| < R2 }
14.2
Satz 2
Die Laurent Entwicklung
Es seien R1 , R2 Zahlen mit 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞. Mit
A = {z/ R1 < |z − zo | < R2 } sei f ∈ H(A) gegeben. Dann gilt für z ∈ A die
Darstellung (als Laurentreihe)
f (z) =
∞
X
a−n (z − zo )−n +
n=1
mit
1
an =
2πi
∞
X
an (z − zo )n
n=0
‰
|ξ−zo |=%
f (ξ)
dξ , n ∈ Z.
(ξ − zo )n+1
% ist beliebig mit R1 < % < R2 .
zum Beweis: Vorgehen wie in Satz 1, 10.1, ausgehend von der Cauchy Intergralformel für den Kreisring, Satz 4, 13.4. Dass die Integrale für die Koeffizienten mittels eines Kreises {z/ |z − zo | = %} ausgerechnet werden können,
folgt aus 2), 13.4.
Bemerkung:
Die Laurent Reihe von f um zo in A := {z/ R1 < |z −zo | < R2 } ist eindeutig
bestimmt:
Aus f (z) =
+∞
X
an (z − zo )n , z ∈ A, folgt
−∞
1
an =
2πi
‰
|ξ−zo |=%
mit % beliebig aus (R1 , R2 ).
f (ξ)
dξ , n ∈ Z,
(ξ − zo )n+1
Die Laurent Entwicklung
14.3
54
Beispiele:
1) a, b ∈ C, 0 < |a| < |b| < ∞, seien gegeben.
1
Gesucht sind für f (z) =
die Laurent Reihen um zo = 0.
(z − a)(z − b)
f ist holomorph in R1 = {z/ |z| < |a|}
f ist holomorph in R2 = {z/ |a| < |z| < |b|}
f ist holomorph in R3 = {z/ |b| < |z|}
Satz 2 und Bemerkung liefern:
∞ Ä
1 X
1
1 ä
Die Reihe in R1 : f (z) =
− n+1 z n
n+1
a − b n=0 b
a
∞
∞
n−1
X
1 ÄX a
z n−1 ä
Die Reihe in R2 : f (z) =
+
a − b n=1 z n
bn
n=1
∞
1 X
an−1 − bn−1
Die Reihe in R3 : f (z) =
a − b n=1
zn
1
die Entwicklungen um zo = 3.
(z − 1)(z − 2)
Gib jeweils den Konvergenzbereich an.
2) (Ü) Berechne für f (z) =
3) Laurentreihe von
(z + 1)2
1
für |z| > 0 ist + 2 + z.
z
z
4) Gib die verschiedenen Entwicklungen um zo = 0 und zo = 1 an für
1
f (z) = 2
.
z (1 − z)
Die isolierten Singularitäten
55
Kapitel 15
Die isolierten Singularitäten
15.1
Isolierte Singularität. Hebbare Singularität.
Es seien G ⊂ C eine offene Menge und a ∈ C. Gilt f ∈ H(G\{a}), so besitzt
f in a eine isolierte Singularität.
Gibt es eine Funktion g ∈ H(G) mit g(z) = f (z), z ∈ G\{a}, so heißt a
hebbare Singularität von f . g ist holomorphe Fortsetzung von f von G\{a}
auf G.
Satz 1: Es gelte f ∈ H(G\{a}), und f sei auf
D0 (a, r) = {z/ 0 < |z − a| < r} (⊂ G) beschränkt. Dann ist a eine hebbare
Singularität für f .
zum Beweis:

2

 (z − a) f (z) , z ∈ G\{a}
h(z) :=


0
,
z=a
ist holomorph in G. Die Potenzreihe für h um a gibt eine Potenzreihe für f ,
die in a konvergiert.
Die isolierten Singularitäten
15.2
56
Hebbare Singularität, Polstelle, wesentliche
Singularität
Satz 2: Es sei a ∈ G und f ∈ H(G\{a}). Dann liegt genau einer der drei
folgenden Fälle vor:
1) f hat in a eine hebbare Singularität.
2) Es gibt Zahlen c1 , c2 , ..., cm ∈ C, cm 6= 0, derart, dass f (z)−
m
X
ck
(z − a)k
k=1
in a eine hebbare Singularität hat.
3) Für jedes r > 0 mit D(a, r) ⊂ G liegt f (D0 (a, r)) dicht in C.
Bemerkung:
a heißt Pol m-ter Ordnung, falls 2) eintritt.
a heißt wesentliche Singularität, falls 3) eintritt.
zum Beweis des Satzes:
3) liegt nicht vor:
Es existiert dann ein r > 0, ein w ∈ C und δ > 0 mit |f (z) − w| ≥ δ für
alle z ∈ D0 (a, r).
1
Es ist dann g(z) :=
in D0 (a, r) holomorph und holomorph nach
f (z) − w
D(a, r) fortsetzbar.
Gilt g(a) 6= 0, so liegt 1) vor für f . Gilt g(a) = 0 und ist a eine Nullstelle
m−ter Ordnung, so liegt 2) vor für f .
15.3
Die Laurent Entwicklung um isolierte Singularitäten
Es sei a eine isolierte Singularität der Funktion f : f ist holomorph in
D0 (a, r) = {z/ 0 < |z − a| < r}.
Mit Satz 2, Kapitel 14 (Laurent-Entwicklungssatz) erhalten wir eindeutig
die Darstellung für f (z), z ∈ D0 (a, r):
(∗) f (z) =
+∞
X
n=−∞
an (z − a)n , 0 < |z − a| < r
Die isolierten Singularitäten
57
Satz 3: f habe in a eine isolierte Singularität. Dann gelten in Zusammenhang mit (∗): a ist
1) eine hebbare Singularität ⇔ a−n = 0, n = 1, 2, ...
2) eine Polstelle m−ter Ordnung ⇔ a−m 6= 0, a−n = 0 für n > m, n ∈ N.
3) eine wesentliche Singularität ⇔ a−n 6= 0 für unendlich viele n ∈ N.
zum Beweis: Verknüpfe (∗) mit Satz 2 / Satz 1.
Beispiele:
1
, z = 0,
sin2 z
1
f (z) = exp( ) , z = 0.
z
f (z) =
Der Residuensatz
58
Kapitel 16
Der Residuensatz
16.1
Res(f ; zo )
Residuum von f in zo .
Es sei G eine offene Menge in C und zo ∈ G. Es sei f ∈ H(G\{zo }) und
r > 0 mit D(zo , r) ⊂ G und f (z) =
an (z − zo )n die Laurentreihe von
n=−∞
f (z) in 0 < |z − zo | < r.
Res(f ; zo ) := a−1
+∞
X
1
=
2πi
‰
f (ξ) dξ
(0 < % < r).
|ξ−zo |=%
Satz 1:
a) f habe in zo einen Pol der Ordnung k (∈ N). Es gilt
Res(f ; zo ) =
Ä
ä
1
lim Dk−1 (z − zo )k f (z)
(k − 1)! z→zo
A(z)
mit A, B holomorph in zo , A(zo ) 6= 0, B(zo ) = 0,
B(z)
B 0 (zo ) 6= 0 gilt
A(zo )
Res(f ; zo ) = 0
.
B (zo )
b) Für f (z) =
Der Residuensatz
59
Beispiele:
−z
. z1 = 1 , z2 = 2 sind Polstellen 1. Ordnung.
(z − 1)(z − 2)
Mit a) mit k = 1 oder mit b) erhält man leicht:
1) f (z) =
Res(f ; 1) = 1 , Res(f ; 2) = −2
1
2) f (z) = exp( ) hat in z = 0 eine wesentliche Singularität.
z
Aus der Laurentreihe liest man ab:
Res(f ; 0) = 1.
3) f (z) =
1
hat in zk = kπ (k ∈ Z) Polstellen zweiter Ordnung.
sin2 z
Res(f ; 0) = 0. Das sieht man leichter mittels der Laurentreihe als
mit Satz 1 a), k = 2.
(siehe auch Beispiele zu Satz 3 / 15. Kapitel).
4) Res(
f0
; zo ) = N , falls f in zo eine N −fache Nullstelle hat.
f
5) Res(
f0
; zo ) = −N , falls f in zo eine N −fache Polstelle hat.
f
16.2
Der Residuensatz
Satz 2 Es seien G eine offene Menge und a1 , a2 , ..., am ∈ G isolierte Singularitäten von f ∈ H(G\{a1 , a2 , ..., am }). Es sei C ein geschlossener Weg
in G, auf dem keine der Singularitäten liegt und für den n(C, w) = 0 für
w ∈ C\G erfüllt ist.
Dann gilt:
˛
m
X
1
f (z)dz =
n(C, ak )Res(f ; ak ).
2πi
k=1
C
zum Beweis:
Es wird Satz 3 aus dem 13. Kapitel angewendet mit G\{a1 , ..., am } anstelle
von G (dort) und C, C1 , ..., Cp anstelle von C, C1 , ..., Cm (dort). Hier sind Cj
(j = 1, ..., p; 1 ≤ p ≤ m) Kreislinien um die aj , für die n(C, aj ) 6= 0 gilt.
Die Cj sind geeignet orientiert, für sie sind int(Cj ) ∩ int(Ck ) = ∅ (j 6= k)
und int(Cj ) ⊂ G (j = 1, ..., p) erfüllt.
Der Residuensatz
60
Satz 3 (Spezialfall von Satz 2) (vergleiche 13.4, 4))
Es seien G eine offene Menge und C ein geschlossener Jordanweg in G mit
int(C) ⊂ G. Es sei f holomorph in G außer in isolierten Singularitäten, von
denen a1 , a2 , ..., am in int(C) liegen. Dann gilt
˛
f (z)dz = 2πi
C
m
X
j=1
Res(f ; aj )
Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes
61
Kapitel 17
Berechnung reeller Integrale
mit Hilfe des Residuensatzes
17.1
Satz 1 Es sei R = R(x, y) eine rationale Funktion, R(cos t, sin t) sei für
t ∈ [0, 2π] definiert. Dann gilt:
ˆ2π
R(cos t, sin t) dt = 2πi
X
Res(f ; aj )
j
0
Die aj sind die Polstellen in |z| < 1. Es ist
f (z) =
1 Ä1
1 1
1 ä
R (z + ), (z − ) .
iz
2
z 2i
z
zum Beweis:
1
1
Setze cos t = (eit + e−it ), sin t = (eit − e−it ) und eit = z.
2
2i
Beispiel:
Es sei a > 1 eine feste Zahl. Es gilt
ˆπ
0
dt
π
=√
.
2
a + cos t
a −1
Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes
62
17.2
Satz 2: Es sei f eine rationale Funktion ohne Pole auf der reellen Achse.
Für f sei erfüllt:
(∗) Grad Nennerpolynom − Grad Zählerpolynom ≥ 2.
Sind z1 , z2 , ..., zm die Polstellen von f in der oberen Halbebene, so gilt
+∞
ˆ
m
X
f (x)dx = 2πi
Res(f ; zj ).
j=1
−∞
zum Beweis:
Betrachte für r > 0 Cr := [−r, +r] ∪ {z = reit , 0 ≤ t ≤ π} und wähle r
so groß, dass z1 , z2 , ..., zm ∈ int(Cr ). Nach dem Residuensatz gilt
1
2πi
‰
f (z)dz =
m
X
Res(f ; zj )
j=1
Cr
Mit der Voraussetzung (∗) folgt
‰
lim
r→∞
Cr
+∞
ˆ
f (z)dz =
f (x)dx,
−∞
+∞
ˆ
und (∗) gewährleistet ebenfalls, dass
f (x)dx existiert.
−∞
Beispiel:
1) Die Nullstellen von z n + 1 (n ∈ N) sind
zk = exp(i
π
k−1
+2
πi) ,
n
n
k = 1, 2, ..., n.
1
einfache Polstellen mit den Residuen
1 + zn
zk
Res(f ; zk ) = − , k = 1, 2, ..., n.
n
+∞
√
ˆ
dx
2π
=
mit Satz 2 und 1) vorher.
2)
4
1+x
2
In den zk hat
−∞
Berechnung reeller Integrale mit Hilfe des Residuensatzes
63
ˆ+∞
f (x)eix dx
17.3
−∞
Satz 3: Es sei f eine rationale Funktion mit:
Grad des Nennerpolynoms − Grad des Zählerpolynoms ≥ 1.
f habe auf R keine Pole außer in z = 0 einen Pol höchstens erster Ordnung.
z1 , z2 , ..., zm seien die Pole in {z/ Im(z) > 0}. Es gilt
ˆ
+∞
f (x)eix dx = πiRes(f ; 0) + 2πi
HW
−∞
m
X
Ä
Res f (z)eiz ; zj
ä
j=1
zum Beweis:
Wende den Residuensatz an auf den Rand des Rechtecks mit den Ecken
X2 , X2 + iY, −X1 + iY, −X1 (mit X1 , X2 , Y > 0) . Auf der Strecke [−X1 , X2 ]
wird das Stück [−δ, δ] durch die Halbkreislinie von −δ nach δ um Null in
der oberen Halbebene ersetzt. Bilde X1 , X2 , Y → ∞ und δ → 0. Es bleiben
nur Integrale über die reelle Achse übrig und
ˆπ
lim −i
it
f (δeit )eiδe δeit dt = −iπRes(f ; 0)
δ→0
0
Beispiel:
ˆ
+∞
f (x)eix dx von Satz 3 gilt:
Ist f ungerade. Mit I = HW
−∞
ˆ∞
f (x) sin x dx =
0
1
Mit f (x) = erhält man:
x
m
Ä
ä
X
I
π
= Res(f ; 0) + π
Res f (z)eiz , zj .
2i
2
j=1
ˆ∞
0
sinx
π
dx = .
x
2
Das Argumentprinzip
Der Satz von Rouché
64
Kapitel 18
Das Argumentprinzip
Der Satz von Rouché
18.1
Es sei G ⊂ C eine offene Menge.
f : G → C heißt meromorph in G, wenn f in G bis auf Pole holomorph ist.
Bemerkung:
Eine meromorphe Funktion hat in einem beschränkten Gebiet höchstens
endlich viele Pole. (Begründung !?).
18.2
Satz 1: (Das Argumentprinzip)
‹ ein geschlossener Jordanweg in G mit
Es sei G eine offene Menge und C
‹ ⊂ G. Es sei f meromorph in G. Es seien zk die Nullstellen, ξl die
int(C)
Polstellen von f , jeweils der Ordnung entsprechend gezählt. Es sei C ein
‹ auf dem weder Nullstellen noch Pole von f
geschlossener Weg in int(C)
liegen. Wenn f (C) der Bildweg ist, so gelten:
˛ 0
X
f (z)
(2) X
(1) 1
dz =
n(C, zk ) −
n(C, ξl )
n(f (C); 0) =
2πi
f (z)
k
l
C
zum Beweis:
zu (1): Definition
von˛ n(f (C); 0) und Definition von Linienintegral, insbe˛
sondere von
und
.
C
f (C)
zu (2): mit Beispiel 4a), 4b) in 16.1 und mit dem Residuensatz.
Das Argumentprinzip
Der Satz von Rouché
65
Satz 1’ Es sei G ein Gebiet und f meromorph in G. Es sei Do eine
Kreisscheibe mit Do ⊂ G, und es gelte f 6= 0, ∞ auf ∂Do . Die der Ordnung
entsprechend oft gezählte Anzahl der Nullstellen bzw der Polstellen von f
in Do wird durch N bzw P bezeichnet. Es gilt dann
‰
1
f 0 (z)
n(f (∂Do ); 0) =
dz = N − P.
2πi
f (z)
∂Do
zum Beweis:
18.3
Umformulierung/Spezialisierung von Satz 1.
Der Satz von Rouché
Es sei G ein Gebiet und Do eine Kreisscheibe mit Do ⊂ G.
Für f , g ∈ H(G) sei
(1)
|g(z)| < |f (z)| für z ∈ ∂Do erfüllt.
Dann haben die Funktionen f und f + g in Do gleichviele Nullstellen, der
Ordnung entsprechend oft gezählt.
zum Beweis:
h(z) :=
f (z) + g(z)
g(z)
=1+
f (z)
f (z)
ist meromorph in G.
Aus (1) folgt leicht: h(z) 6= 0, ∞ auf ∂Do .
Die Differenz der Anzahl der Nullstellen von f + g und f ist gleich der
Differenz der Anzahl der Nullstellen und Polstellen von h, also nach Satz 1’
= n(h(∂Do ); 0)
g(z)
Wegen |h(z) − 1| = |
| < 1, z ∈ ∂Do ,
f (z)
gilt h(∂Do ) ⊂ {w/ |w − 1| < 1}. Also:
0 liegt in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von h(∂Do ) und
das heißt n(h(∂Do ); 0) = 0, und das ist die Behauptung.
Das Argumentprinzip
Der Satz von Rouché
66
Beispiel:
1) Fundamentalsatz der Algebra
p(z) = an z n +
n−1
X
ak z k mit n ≥ 1, an 6= 0.
k=0
Mit f (z) = an z n , g(z) =
n−1
X
ak z k gilt für genügend großes r:
k=0
|g(z)| < |f (z)| , |z| = r.
Nach dem Satz von Rouché, da f in |z| < r genau n Nullstellen hat,
hat somit p = f + g in |z| < r genau n Nullstellen.
2) (Ü) p(z) = 3z 3 − 2z 2 + 2iz − 8 hat die drei Nullstellen in 1 < |z| < 2.