6.Woche

6Wo_Orts+Impulsdarstellung _23+24-5-17.doc
Quantenmechanischer Erwartungswert einer Observablen Q im Zustand  .

Wir haben
Q   q n Prob (q  q n ) 
n
  qn n 
n
2
  qn n 
n
*
n    q n  n n     q nn n  
n
n
EWG


   Q̂  n  n     Q̂  n  n    Q̂    n  n     Q̂   Q
n
n
n




,
1̂
also
Q   Q̂ 
(5.24)
Das ist die darstellungsunabhängige Verallgemeinerung des uns aus der Schrödinger´schen
Wellenmechanik bekannten Ausdrucks

Q   d 3r * ( r ) Q̂  ( r )
(5.24')
Projektionsoperator
Wir definieren den Projektionsoperator/Projektor
Def.:
P̂  n   n  n
(5.25)
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit der für Q im Zustand  der Wert q n gemessen wird
Prob (q  q n )   n 
2
   n  n    P̂  n  ,
also gleich dem quantenmechanischen Erwartungswert des Projektors im Zustand  .
Da mit Sicherheit einer der Eigenwerte von Q̂ gemessen wird, muss gelten
1
1   Prob (q  q n )     n  n      1 .
n
n
Das ist die darstellungsunabhängige Formulierung der Normierungsbedingung, die wir in der
Schrödinger´schen Wellenmechanik bereits in der Form  d 3 r  * ( r )  ( r )  1 kennen gelernt
haben ( statistische Interpretation der Wellenfunktion).
2
6.
Darstellungen der Quantenmechanik
Erinnere: Linearer Vektorraum .
 Jeder Vektor x   ist als Linearkombination
N
x   ci ei ; ci  x  ei , denn ei  e k  ik orthonormiert, i = 1, …, N  endlich
i 1
der Basisvektoren { e i } darstellbar, wobei die Entwicklungskoeffizienten ci die
Skalarprodukte aus x und ei sind.
Darstellung des Vektors x zur Basis { e i } heißt der Spaltenvektor aus den ci
 c1   ( x , e1 ) 
  

 c 2   ( x, e 2 ) 
.
x 

 
  

 c   ( x, e ) 
N 
 N 
 Hilbert-Raum H : Entwicklungssatz/Vollständigkeitsrelation in Dirac-Notation

  cn n
n 1
mit c n  n  , denn n n'   n n ' orthonormiert, wenn { n } ein VONS.
Darstellung von  zur Basis { n } heißt der Spaltenvektor
 c1   1  

  
 c2   2  
      .

  
 cn   n  

 
    
3
6.1
Ortsdarstellung der Quantenmechanik. Schrödinger´sche Wellenmechanik
Als Basis in H verwenden wir das VONS aus den Eigenfunktionen r ' des Ortsoperators r̂
definiert durch
r̂ r '  r ' r '
(6.1)
r ' beschreibt den Zustand, in dem das Teilchen den definierten Ort r  r ' besitzt. In (6.1) ist
r ' eine reelle Zahl, also eine überabzählbar unendliche "kontinuierliche" Größe. Bei einer
Ortsmessung ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen im Zustand    d 3r ' r '  r '
am Ort r ' zu finden gleich (4. Postulat)
Prob ( r  r ' )  r ' 
2
: ( r ' )
2
.
Also ist die Ortsdarstellung des Kets  die Wellenfunktion
r'    (r' ) .
(6.2)
( r ' )  r '  ist der kontinuierliche Spaltenvektor aus den Entwicklungskoeffizienten des
Zustands  nach den Eigenfunktionen des Ortsoperators r̂ . Die Vollständigkeit des VONS
{ r } schreibt sich also in der Form
   d 3 r ( r ) r
(mit "kontinuierlichem Index" r in r und
... ersetzt durch  d r ... )
3
n
( 6.2 )
und es gilt r '    d 3r ( r ) r ' r  ( r ' )   d 3r ( r ) ( r  r ' ) , d.h.
r' r   (r  r' ) .
(6.3)
4
Schlussfolgerung: Die Basisvektoren der Ortsdarstellung r ' zu unterschiedlichen Ortswerten
r '  r sind zwar orthogonal, aber nicht im üblichen Sinne normiert, weil für r '  r streng
genommen divergent. Lassen wir jedoch verallgemeinerten Orthogonalitätsbedingungen der
Form (6.3) zu, dann bilden die Eigenfunktionen des Ortsoperators r̂ ein VONS
Beachte:

(i) 1̂   n n
bzw.
n 1
1̂   d 3r r r
oder 1̂   dp p p
(6.4)
sind Darstellungen des 1̂ - Operators bei Wahl eines VONS { n } (diskret) bzw. { r } oder
{ p } , kontinuierlich.
(ii) Wir verwenden im Folgenden auch die sogenannte Spektraldarstellung des Operators Q̂

Q̂   q n n n
bzw.
n 1
r̂   d 3r r r r oder p̂   d 3p p p p
(6.5)
Q̂ angewendet auf m , ergibt (im diskreten Fall)


n 1
n 1
Q̂ m   q n n n m   q n n  n m  q m m , also die Eigenwertgleichung für Q̂ .

Ortsdarstellung des Ortsoperators r̂
Die Ortsdarstellung von  ist r    (r ) . Auch die Operatoren Q̂ besitzen von der
gewählten Basis abhängige, unterschiedliche Darstellungen im Hilbert-Raum H .
Wie lautet die Ortsdarstellung des Ortsoperators r̂ ? Da r̂   r̂  , müssen wir zur
Beantwortung dieser Frage die Ortsdarstellung des Zustandsvektors r̂  ausrechnen.
Spektralda rstellung
von r̂ ' zur Basis { r̂ ' }
r r̂   r r̂   r

3
3
r r' r'  
 d r' r' r' r'    d r' r' 
,
 ( r  r ')
' r
 d r ' r ' ( r  r' ) r

3
r   r ( r )
 ( r ')
also
r r̂   r ( r )
(6.6)
5
In Ortsdarstellung ist r̂ einfach der Produktoperator: Die Wirkung von r̂ auf  ist in
Ortsdarstellung äquivalent zur Multiplikation mit dem Ort des Teilchens, also mit demjenigen
r -Wert, der das Argument in ( r ) ist.
Beachte: Eigenfunktion des Operators r̂ zum Eigenwert r0 sind nur die Funktionen, die für
r  r 0 gleich Null sind (also nicht etwa beliebige  (r ) , wie man wegen r̂  (r )  r (r )
denken könnte), denn jedes Element des kontinuierlichen Spaltenvektors  (r ) wird mit einer
anderen Zahl multipliziert:  (r 0 ) mit r0,  (r ' ) mit r' usw. Also gilt
r̂ (r  r 0 )  r 0 (r  r 0 ) .
(6.7)
Vollständigkeit von { r } bedeutet für beliebige  aus H    d 3r ( r ) r , also
r '    d 3r (r ) r ' r
bzw. ( r ' )   d 3r ( r ) ( r  r ' ) .
Das ist nichts anderes als die Entwicklung einer beliebigen Wellenfunktion ( r ' ) nach den
Eigenfunktionen des Ortsoperators, also den -Funktionen.
Das Matrixelement r ' r̂ r '' des Operators r̂ ist in Ortsdarstellung (also zur Basis { r } ) mit
Hilfe von r̂   d 3 r r r r , (6.5), leicht zu bestimmen
r  r'
r ' r̂ r ''   d 3r r r ' r r r ''  r ' ( r ' r '' )  r '' ( r ' r '' )
  r  r ''
(6.8)
 ( r '  r )  ( r  r '')
Wir erkennen sofort, dass f̂ ( r ) ( r )  f ( r ) ( r ) gilt, vorausgesetzt, die Funktion f ( r ) ist in
eine Taylor-Reihe entwickelbar.
Außerdem gilt ( 1̂   d 3r r r einschieben)
r ' f ( r̂ ) r ''   d 3 r f ( r ) r ' r r r ''  f ( r ' ) ( r ' r '' )  f ( r '' ) ( r ' r '' ) .
6

Ortsdarstellung des Impulsoperators
Zustände mit definiertem Impuls sind in der Ortsdarstellung ebene de Broglie-Wellen
rp 
i
p r
1

e
.
3/ 2
2 
(6.9)
Auch diese Eigenfunktionen können streng genommen nicht Zustandsvektoren im H sein,
denn
p ' p  p'
________
i
( 6.7 )
( p  p' ) r
1
3
3
3

d
r
r
r
p

d
r
p
'
r
r
p

d
r
e
  ( p  p' ) .
3/ 2 


2  
____________
1̂

1
Im letzten Schritt haben wir die Darstellung der -Funktion ( x ) 
dk e ikx verwendet.
2 
Die Ortsdarstellung des Impulsoperators gewinnen wir aus der Projektion von p̂   p̂ 
auf r , wobei wir jetzt die Spektraldarstellung des Operators p̂ ausnutzen:
r p̂   r p̂   r
pp p p
 d



3
Spektralda rstellung
von p̂ zur Basis { p }
  d 3p p
i
p r
1

e
3/ 2
2  
   d 3p p r p p  



p    r  d 3p r p p   r  i  r  .
i

Also gilt in der Ortsdarstellung
p̂   i   .
(6.10)
Analog finden wir
r f ( p̂)   f ( i ) r  ,
(6.11)
und für die Matrixelemente des Impulsoperators zur Basis { r }
r ' p̂ r ''   i  r ' ( r ' r '' ) , sowie allgemeiner
r ' f (p̂) r '' 

1
f (r  r ' ) .
3/ 2
2 
(6.12)
7

Dabei ist f ( r ) :
i
p r
1
3

d
p
f
(
p
)
e
die inverse Fourier-Transformierte der Funktion
3/ 2 
2 
f (p) , und wir setzen voraus, dass sich f (p) in eine Taylor-Reihe entwickeln lässt.

Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung
Bei der Bewegung eines Teilchens im Potenzial U(r) lautet die Hamilton-Funktion
H ( p, r , t ) 
p
2
 U(r, t ) . Nach dem 2. Postulat wird H(p, r, t ) der Operator Ĥ 
2m
p̂
2
2m
 U( r̂ , t )
zugeordnet.
Projezieren wir die darstellungsunabhängige Form der Schrödinger-Gleichung
i

  Ĥ 
t
i

1
1
2
r ( t ) 
r p̂ ( t )  r U ( r̂ , t ) ( t ) 
( i) 2 r ( t )  U( r , t ) r ( t ) ,
t
2m
2m
also
i
(5. Postulat) auf r folgt mit (6.6) und (6.11)
 ( r , t )
2 2

 ( r , t )  U ( r , t ) ( r , t ) .
t
2m
Das ist die uns bekannte Grundgleichung der Schrödinger´schen "Wellenmechanik".
Fazit: Das Bohr´sche Korrespondenzprinzip der Schrödinger´schen Wellenmechanik
„ Man ersetze die klassische Phasenraumvariable Q( p, r , t ) durch den Operator Q̂
entsprechend Q( p, r , t )  Q̂  Q( i  , r , t ) “
ergibt sich zwangsläufig (d.h., ohne zusätzliche Postulate/Prinzipien) aus der axiomatischen
Formulierung der Quantenmechanik im Hilbert-Raum, wenn das VONS { r } des
Ortsoperators r̂ als Basis in  verwendet wird.
Die Darstellung r ( t ) :  ( r , t ) von  zur Basis { r } genügt der Schrödinger-Gleichung
der Wellenmechanik.
8
6.2
Impulsdarstellung der Quantenmechanik ( Darstellung zur Basis { p } )
Wir verwenden nun als Basis in H das VONS { p } der Eigenfunktionen des Impulsoperators
p̂ und gehen genauso vor, wie in Kapitel 6.1 ausführlich gezeigt.
Eine Impulsmessung im Zustand  ergibt mit der Wahrscheinlichkeit
Prob ( p  p' )  p' 
2
den Wert p' wobei
p  : (p)
(6.2')
eine vollständig gleichwertige Darstellung von  durch den kontinuierlichen Spaltenvektor
(p) ist. Wir nennen (p) die Wellenfunktion im Impulsraum.
Wegen der Vollständigkeit des VONS { p } lässt sich jedes   H in der Form
   d 3p ( p) p darstellen. Daraus folgt
( 2)
p'    d 3p (p) p' p  (p' )   d 3p (p) (p  p' ) , d.h.
p ' p  ( p  p ' ) .
(6.3')


Somit sind die Funktionen des VONS { p } im verallgemeinerten Sinne orthonormiert.
i
p r
1

e
, (6.9), haben wir
Unter Berücksichtigung von r p 
3/ 2
2 
( p)  p   p
i
p r
1
3
3
3

d
r
r
r
d
r
p
r
r




d
r

(
r
)
e
.
3
/
2



 ( 2  )
( r )
(6.13)
1̂
Also ist (p) die Fourier-Transformierte von  (r ) (und umgekehrt).
9
Bem.: Die Fourier-Transformation ist die Entwicklung der Funktion ( p) nach dem VONS
des Impulsoperators. Multiplikation mit e

von ( x ) 

1
dk e ikx auf

2  
( r ) 
i
 p r

, Integration über d 3 p führt unter Ausnutzung
i
 p r
1
3

d
p

(
p
)
e
.
( 2  ) 3 / 2 
Impulsoperator in p-Darstellung
Wir benötigen
p p̂   p p̂   p
' p' p' p '
 dp


3
Spektralda rstellung
von p̂ zur Basis { p }
   d 3 p ' p ' p p' p'   p p  .

 ( p  p ')
Anwendung von p̂ auf WF (p) bedeutet also Multiplikation mit p :
p p̂   p p  ,
p̂  p .
(6.10')
 in der Impulsdarstellung bewirkt der Impulsoperator eine Multiplikation mit p

Ortsoperator in p-Darstellung
Dagegen ist der Ortsoperator in p-Darstellung ein Differentialoperator im p-Raum, denn
(Spektraldarstellung von p̂ und (6.9) verwenden)
i
 pr
1


p r̂    d r r p r r    d r r
e
p     p  d 3r p r r   i  p p 
3/ 2
( 2  )
i
3
p r̂   i  p p  ,
3
r̂ ( p)  i  p ( p)
also r̂  i  p
(6.4')
10
Einschub: Man findet (nachprüfen)
(i) p F( r̂ )   F(i  p ) p   F(i  p ) ( p) oder
(ii)
p' Q̂ p  p' Q̂ p   d 3r  d 3r ' p' r ' r ' Q̂ r r p'  
d 3r d 3r ' i ( pr  p 'r ')
e
r ' Q̂ r
2 3
für die Transformation der Matrixelemente eines Operators Q̂ aus der Darstellung zur Basis
{ p } in die Darstellung zur Basis { r } oder
(iii) die Schrödinger-Gleichung in p-Darstellung
i
 ( p, t )
t

p
2
2m
( p, t )  
d 3 p' 
U ( p  p' ) ( p, t ) .
2 3 / 2
(6.14)

Hier bezeichnet U die Fourier-Transformierte der potenziellen Energie. In Form einer
Integralgleichung ergeben sich mitunter Vorteile bei der numerischen Lösung der
Schrödinger-Gleichung.
11
6.3
Darstellungswechsel. Unitäre Transformationen
Ausgangspunkt: Die experimentell überprüfbaren Vorhersagen der Quantenmechanik
beziehen sich alle auf Skalarprodukte im H (vgl. Postulate, Kap. 5), nämlich auf
 Eigenwerte hermitescher Operatoren Q̂ n  q n n  q n  n Q̂ n  n Q̂ n ,
 Messwahrscheinlichkeiten Prob ( q  q n )  n 
2
,
 Erwartungswerte  Q̂  der Observablen Q bei Messung im Zustand  ,
Dagegen ändern sich die Zustandsvektoren  und die Operatoren Q̂ im Hilbert-Raum in
Abhängigkeit von der Darstellung, wie wir im letzten Kapitel am Beispiel der Orts- und
Impulsdarstellung gesehen haben.
Frage: Welche Transformationen Û der Kets  ,   H lassen das Skalarprodukt  
invariant?
~  Û 
Wir betrachten 
~
und   Û  . Dann gilt
~ ~
   ( Û  )  Û    Û  Û    
Û  Û  1̂ , d.h.
für alle
 ,    , wenn
Û   Û 1 oder Û Û   1̂ , also Û  unitärer Operator.
(6.15)
Schlussfolgerung: Die Transformation der Kets  ,   H (also der Übergang zwischen
zwei VONS oder der Darstellungswechsel), die Skalarprodukte   invariant lässt, wird
durch einen unitären Operator Û vermittelt.

Matrixschreibweise: Betrachte die VONS { n } und { k } . Entwickle n
n   k n k   U kn k
k
nach { k }
mit U kn : k n .
k
12
Die so definierte Matrix U ist unitär, denn
 n ' n  n ' n   U*k ' n ' k ' k U k n   U*k n ' U k n   U n' k U k n also 1  U U .

k, k'

k
k
Unitäre Transformation eines Operators
Der hermitesche Operator Q̂ besitze die Eigenfunktionen { n } mit dazugehörigen
Eigenwerten qn. In der Basis seiner Eigenfunktionen wird Q̂ durch eine diagonale Matrix mit
den Elementen dargestellt ( n' Q̂ n )  ( q n  n ' n ) .
In einer anderen Basis, { k } , ist die Matrixdarstellung von Q̂ i.a. nicht diagonal

 
 

~
~
 ~
Q̂  ( n' Q̂ n )    U *k ' n ' k' Q̂ k U k n     U *k ' n ' Q k ' k U k n     U n' k ' Q k ' k U k n   U Q U
 k k'
  k k'
  k k'

Fazit: Die Matrix zum Operator Q̂ kann durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert
werden.
~
ˆ Û folgt mit (6.15)
Aus Q̂  Û  Q
~
ˆ  Û Q̂Û  .
Q
(6.16)
Insgesamt gilt bei einem Basiswechsel in H :
(i)
~  Û  ,
Ket   
(ii)
~   Û  ,
Bra   
(iii)
~
ˆ  Û Q̂ Û  und
Operator Q̂  Q
(iv)
~ ~
   ( Û  )  Û    Û  Û     .
Zustandsvektoren und Operatoren ändern sich, aber die Skalarprodukte bleiben invariant.
13
Beachte: Für die Transformation des Kommutators [ Â, B̂ ] gilt
~
~ ~
ˆ ,B
ˆ ]  ÛÂÛ  ÛB̂Û   ÛB̂Û  ÛÂÛ   Û( ÂB̂  B̂Â) Û   [ Â, B̂ ]
[A
(6.17)
Ob zwei Operatoren vertauschbar sind oder nicht, ist unabhängig von ihrer Darstellung.
Weitere Eigenschaften unitärer Operatoren ( Übung)
(i)
EW unitärer Operatoren können nur komplexe Zahlen vom Betrag Eins sein.
(ii)
~ 
~
Q

 ˆ    der adjungierte des transformierten Operators und der
 ˆ  Q

 


transformierte des adjungierten Operators stimmen überein. Mit anderen Worten: Die unitäre
Transformation und die Adjungation eines Operators sind vertauschbar.
(iii)
Ist Q̂  Q̂  hermitesch, dann ist Û  ei  Q̂ unitär, vorausgesetzt   * ist reell,
*
denn Û   e  i  Q̂  e  i  Q̂ also Û  Û  1̂ .
■
 i

z.B. der Zeittranslationsoperator T̂( t )  exp   Ĥ t  , bei dem die Zeit die Rolle des
  
Parameters  übernimmt.
6.4 Dynamik von Quantensystemen. Heisenberg-Bild. Integrale der Bewegung
Bisher ist die Zeitentwicklung des Zustands eines quantenmechanischen System durch die
Zeitabhängigkeit des Zustandsvektors  ( t ) (abgesehen von Zustandsreduktion infolge einer
Messung) gemäß
i

( t )  Ĥ ( t )
t
 Schrödinger-Bild
gegeben.
14
Nun definieren wir den Zeitentwicklungsoperator Û ( t, t 0 )
Def.: ( t )  Û ( t, t 0 ) ( t 0 ) , Û ( t 0 , t 0 )  1̂ .
 Zeitentwicklungsoperator
(6.18)
Dieser Operator muss unitär sein, damit die Normierung erhalten bleibt:
 ( t )  ( t )   ( t 0 ) Û  ( t , t 0 ) Û( t , t 0 )  ( t 0 )   ( t 0 ) ( t 0 ) wenn Û  ( t , t 0 )  Û 1 ( t , t 0 ) .
Der Zeitentwicklungsoperator ist Lösung der Gleichung
i


Û( t , t 0 )  Ĥ Û( t , t 0 ), Û( t 0 , t 0 )  1̂ .
t
(6.19)
Heisenberg-Bild
Def.:  H : Û  ( t, t 0 ) ( t ) .
(6.20)
 H ist ein konstanter, zeitunabhängiger Zustandsvektor, denn
 H  Û  ( t, t 0 ) ( t )  Û  ( t, t 0 ) Û( t, t 0 ) ( t 0 )  ( t 0 )
Rücktransformation:  ( t ) : Û( t , t 0 )  H .
Die Transformation der Operatoren in das Heisenberg-Bild erfolgt nach den Regeln für
unitäre Transformationen, also
Q̂ H ( t )  Û  ( t, t 0 ) Q̂( t ) Û( t, t 0 )
bzw.
Q̂( t )  Û( t, t 0 ) Q̂ H ( t ) Û  ( t, t 0 ) .
(6.21)
15

Konservative Systeme
In diesem Fall ist Ĥ zeitunabhängig und die Lösung von (6.19) lautet Û( t , t 0 )  e

i
Ĥ ( t  t 0 )

.
Ĥ und Û sind also miteinander vertauschbar.
Die Operatoren anderer Observabler sind aber im allgemeinen zeitabhängig
i
Q̂ H ( t )  e 
Ĥ ( t  t 0 )
Q̂( t ) e

i
Ĥ ( t  t 0 )

bis auf diejenigen, die mit Ĥ kommutieren. Für die vollständige Ableitung nach der Zeit folgt
aus (6.21)
d
 Û
 Q̂
 Û 
Q̂ H ( t ) 
Q̂ Û  Û 
Û  Û  Q̂
dt
t
t
t
und unter Verwendung von i


Û  Ĥ Û bzw.  i Û   Û  Ĥ aus (6.19)
t
t
 1  
 Q̂
 Q̂
d
1
 1
Q̂ H ( t )  
Û Ĥ  Q̂ Û  Û 
Û  Û  Q̂  Ĥ Û   Û  (Q̂ Ĥ  ĤQ̂) Û  Û 
Û ,

t
t
dt
 i
 i 

  i


 Q̂,Ĥ  H  Q̂ H , Ĥ H 
Def .:
Q̂ H
t
also insgesamt die Bewegungsgleichung der Operatoren im Heisenberg-Bild
i


d
 Q̂ H
Q̂ H ( t )  Q̂ H , Ĥ H  i
dt
t
(6.22)
Fazit: Im Heisenberg-Bild sind die Zustandvektoren zeitunabhängig. Die Operatoren sind
dagegen zeitabhängig, auch wenn der entsprechende Operator im Schrödinger-Bild nicht
explizit von der Zeit abhängt. Die zeitliche Entwicklung des quantenmechanischen Systems
ist im Heisenberg-Bild vollständig in den Bewegungsgleichungen der Operatoren enthalten.
16

Integrale der Bewegung
Def.: Die Observable Q heißt Integral der Bewegung, wenn Q nicht explizit von der Zeit
abhängt und Q̂ mit dem Hamilton-Operator des betrachteten quantenmechanischen Systems
vertauschbar ist.
Für ein Bewegungsintegral Q ist der quantenmechanische Erwartungswert für beliebige
Zustände  ( t ) zeitunabhängig, d. h.,
d
Q̂  0 .
dt
Man kann zeigen, dass für ein Integral der Bewegung (Eigenwertgleichung Q̂  n  q n  n )
mit zeitunabhängigen Eigenwerten und Eigenfunktionen) sogar die Messwahrscheinlichkeiten
Prob(q = qn)   n ( t )
2
2
 c n ( t ) zeitunabhängig sind.
In der Quantenmechanik hat eine Erhaltungsgröße/Integral der Bewegung i.a. keinen scharfen
2
Wert. Eine Messung liefert ein qn mit der zeitunabhängigen Wahrscheinlichkeit c n ( t ) .
Beachte die Korrespondenz {Q, H } 
i
[ Q̂, Ĥ ] zwischen den Poisson-Klammern aus Q

und H in der Hamilton´schen Mechanik
f
  Q dq i  Q dp i   Q f   Q H  Q H   Q
d
Q
 
 
,
Q( p, q, t )   
 Q, H 
  


dt
t
p i q i  t
p i dt  t
i 1  q i dt
i 1  q i p i
und den Kommutatoren der zugeordneten Operatoren Q̂ und Ĥ im Heisenberg-Bild der
Quantenmechanik entsprechend (6.22).
17
Einschub: Zusammenfassung Hilbert-Raum H
Zustandsvektor
Basis

{ n } , diskret oder kontinuierlich, z.B. VONS der Eigenfunktionen
des Operators Q̂  Q̂  zur klassischen Observablen Q
Orthonormierung
   diskrete Basis
n n'   n n '
( n  n' )  kontinuierliche Basis
Vollständigkeit/Superposition


c
n
n  n , also c n : n  , diskrete Basis


 n
   n 1
n 1
 dn n  n , kontinuierliche Basis

nützlich




n
n
1̂
,
Q̂
q n n n , diskrete Basis

 
n 1
 n
 dn n n  1̂ , Q̂  dq q n n , kontinuierliche Basis


Darstellung zur Basis { n }
 c1   1  

  
 c2   2  
     

  
 cn   n  

 
    

    (c*1 , c*2 ,c*n ,)  (  1 ,  2 ,  n , )
Skalarprodukt
   :     
linearer Operator
 '  Q̂   Q̂  ,
hermitescher Operator
Q̂  Q̂ 
*
Q̂   Q̂ 

  Q̂ 
 Q11 Q12 ... Q1 j ... 


 Q 21 Q 22 ... Q 2 j ... 
 , Q : n Q̂ n
Matrixdarstellung, Basis { n } Q̂   


ij
i
j


Qij ... 
 Qi1 Qi 2
 





Basiswechsel:
~
~  Û  , 
~   Û  , Q
ˆ  Û Q̂Û  , Û   Û 1 ,

Skalarprodukte invariant
18