Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
23.04.2013
Bernhard Hanke
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Definition
Ein Häufungspunkt eines Netzes (xα ) in X ist ein Punkt x ∈ X , so dass
für jede Umgebung U ⊂ X von x das Netz häufig in U ist, d.h. für alle
α ∈ D existiert ein β ≥ α mit xβ ∈ U.
Definition
Sind D und E gerichtete Mengen, so nennen wir eine Abbildung h : E → D
final, falls für alle δ ∈ D ein η ∈ E existiert mit h(γ) ≥ δ für alle γ ≥ η.
Ein Unternetz eines Netzes φ : D → X ist eine Komposition φ ◦ h : E → X ,
wobei h : E → D eine finale Funktion ist. Wir schreiben auch (xh(γ) )γ∈E .
Proposition
Es sei (xα )α∈D ein Netz in X . Ein Punkt x ∈ X ist genau dann
Häufungspunkt dieses Netzes, falls ein Unternetz gegen x konvergiert.
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Konvergenz
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Vollständige metrische Räume
Definition
Eine Folge (xn )n∈N in einem metrischen Raum (X , d) heißt Cauchy-Folge,
falls es für jedes > 0 ein N ∈ N gibt mit
d(xn , xm ) < für alle n, m ≥ N.
Der metrische Raum (X , d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X
konvergiert.
Beispiele
I
Jede konvergente Folge ist Cauchyfolge.
I
Sind (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) vollständig, so auch (X1 × X2 , d), wobei
q
d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := d1 (x1 , y1 )2 + d2 (x2 , y2 )2
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Vollständige metrische Räume
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Beispiele
I
R mit der Abstandsmetrik ist vollständig, somit auch die euklidischen
Räume Rn .
I
Vollständigkeit ist keine Homöomorphieinvariante:
(0, 1) ⊂ R ist mit der induzierten Metrik nicht vollständig, jedoch
homöomorph zum vollständigen Raum R.
I
Ist X vollständig und A ⊂ X abgeschlossen, so ist A mit der
induzierten Metrik ebenfalls vollständig.
I
Ist allgemeiner A ⊂ X ein beliebiger Unterraum, so ist A ⊂ X der
kleinste vollständige Unterraum von X , der A enthält.
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Vollständige metrische Räume
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Definition
Es sei X eine Menge und
B(X ) := {f : X → R | sup |f (x)| < ∞}
x∈X
die Menge der beschränkten Abbildungen X → R versehen mit der Metrik
d(f , g ) := sup |f (x) − g (x)| .
x∈X
Proposition
Der soeben definierte metrische Raum (B(X ), d) ist vollständig.
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Vollständige metrische Räume
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Definition
Sind (X , d) und (X 0 , d 0 ) metrische Räume, so heißt f : X → X 0
I
eine Isometrie, falls f bijektiv ist und für alle x, y ∈ X :
d 0 (f (x), f (y )) = d(x, y )
In diesem Fall ist auch f −1 eine Isometrie und f ein
Homöomorphismus.
I
isometrische Einbettung, falls für alle x, y ∈ X :
d 0 (f (x), f (y )) = d(x, y )
In diesem Fall ist die induzierte Abbildung f : X → f (X ) eine
Isometrie.
Eine Vervollständigung eines metrischen Raumes X ist ein vollständiger
metrischer Raum Y zusammen mit einer isometrischen Einbettung
f : X → Y , so dass f (X ) dicht in Y liegt, d.h. f (X ) = Y .
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Vollständige metrische Räume
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