Mathematik Aufgaben - dl.mb

1
Mathematik — Aufgaben —
Musteraufgaben
Mathematik
Aufgaben
Musteraufgaben
2
Mathematik — Aufgaben —
Musteraufgaben
Musteraufgaben
3
Mathematik — Aufgaben — 00005
Musteraufgaben
A 00005
L 00005
Berechnen und vereinfachen Sie.
(a) (2xy − z)2
(a)
4x2 y 2 − 4xyz + z 2
(b)
(4c2 − 5d2 )2
(b)
16c4 − 40c2 d2 + 25d4
(c)
(a2 b − 6ab)2
(c)
a4 b2 − 12a3 b2 + 36a2 b2
(d)
(ab − c)2
(d)
a2 b2 − 2abc + c2
(e)
(m2 − 3n2 )2
(e)
m4 − 6m2 n2 + 9n4
(f )
(uv − vw)2
(f )
u2 v 2 − 2uv 2 w + v 2 w2
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
4
Mathematik — Aufgaben — 00133
Musteraufgaben
A 00133
L 00133
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
n = 1:
∀ n ∈ N:
1
1
1
= =
(2 · 1 − 1) (2 · 1 + 1)
3
2·1+1
n
∑
i=1
siehe:
1
n
=
(2i − 1) (2i + 1)
2n + 1
n → n + 1:
n
1
+
2n + 1 (2 (n + 1) − 1) (2 (n + 1) + 1)
1
n
+
2n + 1 (2n + 1) (2n + 3)
n+1
=
2n + 3
n+1
=
2 (n + 1) + 1
Anmerkung(en):
[v.0003]
5
Mathematik — Aufgaben — 00204
Musteraufgaben
A 00204
Berechen Sie . . .
√
(a)
0.0064
√
(b)
0.01
√
(c)
0.16
√
(d)
0.64
√
(e)
0.81
√
(f)
1.44
√
3.24
(g)
L 00204
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
√
0.0064 = 0.08
√
0.01 = 0.1
√
0.16 = 0.4
√
0.64 = 0.8
√
0.81 = 0.9
√
1.44 = 1.2
√
3.24 = 1.8
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
6
Mathematik — Aufgaben — 00251
Musteraufgaben
A 00251
Berechnen
1
(a) 1
1
1
(b) 1
1
(c)
(d)
L 00251
Sie x ∈ C.
1
1 x x2 = 0
x2 x4
1
1 x2 x4 = 0
x3 x6
2x
e − 4
e2x
ex e2x
e2x − 4 ex = 0
ex
ex
−3
1
sin x − sin x − sin x
1
0 = 3
sin x
0
1
(a)
Entwickeln nach Zeile 1:
x x2 1 x2 1 x −
+
2
1 x2 = 0
x x4
1 x4
x5 − 2x4 + 2x2 − x = 0
x(x − 1)3 (x + 1) = 0
x1 = −1
x2 = 0
x345 = 1
(b)
Entwickeln nach Zeile 1:
2
x x4 1 x4 1 x2 =0
+
−
3
1 x3
1 x6
x x6
x8 − x7 − x6 + x2 + x3 − x2 = 0
x2 (x − 1)3 (x + 1)(x2 + x + 1) = 0
(e)
x1 = −1
x23 = 0
x456 = 1
siehe:
x78
(c)
√
1
3
=− ±
i
2
2
Regel von Sarrus:
(−3)(e2x − 4)2 + 2 · e2x (ex )2
−(−3)(e2x )2 − 2 · (e2x − 4)(ex )2 = 0
32e2x − 48 = 0
x=
(d)
1 3
ln
2 2
Entwickeln nach Zeile 3:
sin x − sin x 1
sin x sin x +
=3
1 1
0 − sin x
1 + 2 sin2 x = 3
sin x = 1
x=
π
+ kπ = 90◦ (1 + 2k)
2
(e)
Anmerkung(en):
[v.0002]
7
Mathematik — Aufgaben — 00265
Musteraufgaben
L 00265
A 00265

Gegeben sind die Matrizen
(
)
2 −1 0
A=
1
2 2


1 −1
B = 3
2
2
1


0 1 2
C = 1 0 3
4 1 1
(a)
(CB)A
(b)
(AB)C
(c)
(BC)A
T
 16
17
B C + AA
(e)
(AB)T (−B)T AT
(f)
C 2 (−A)T (CB)T
(g)
AC − B T
(h)
(B T − A)CC T

−3
4
−11 −2
(c)
nicht möglich: B · C
(d)
nicht möglich: . . . + . . .
(
(e)
43
16
−44
19

−158
−200

−121
−150 
−191
−113
−6
(g)
(
(h)
)
−204
 −260
(
(d)
8
nicht möglich: (. . .) · C
(f )
T
1
(b)
Berechnen Sie folgende Matrizen:
(a)
18
−2 −1
11
1
−1
9
)
25
48
61
−13
−19
−24
)
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0003]
8
Mathematik — Aufgaben — 00381
Musteraufgaben
A 00381
Ergänzen Sie die Terme so, dass eine binomische
Formel entsteht.
L 00381
(e)
9d2 − 36d2 + 81 = (3d − 9)2
(e)
9x2 − 12xy + 4y 2 = (3x − 2y)2
(e)
⃝ − 36d2 + 81 = (⃝ − ⃝)2
(e)
16 − 8b + b2 = (4 − b)2
(e)
⃝ − 12xy + ⃝ = (⃝ − 2y)2
(e)
25a2 − 20ab + 4b2 = (5a − 2b)2
(e)
16 − ⃝ + ⃝ = (⃝ − b)2
(e)
64m2 − 80mn + 25n2 = (8m − 5n)2
(e)
⃝ − 20ab + ⃝ = (5a − ⃝)2
(e)
m2 − 4m + 4 = (m − 2)2
(e)
64m2 − 80mn + ⃝ = (⃝ − ⃝)2
(e)
x2 − 8xy + 162 = (x − 4y)2
(e)
m2 − ⃝ + ⃝ = (⃝ − 2)2
(e)
⃝ − 8xy + ⃝ = (⃝ − 4y)2
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0000]
9
Mathematik — Aufgaben — 00385
Musteraufgaben
A 00385
Berechnen Sie die (1., 2., 3.) Ableitung.
f (x) = ex cos x
siehe:
L 00385
f = gh
f ′ = g ′ h + gh′
Lösung
f ′ (x) = ex cos x + ex (− sin x)
= ex (cos x − sin x)
f ′′ (x) = ex (cos x − sin x) + ex (− sin x − cos x)
= −2ex sin x
f ′′′ (x) = −2(ex sin x + ex cos x)
= −2ex (sin x + cos x)
Anmerkung(en):
[v.0002]
10
Mathematik — Aufgaben — 00466
Musteraufgaben
A 00466
Berechnen Sie die (1., 2., 3.) Ableitung.
(
)17
f (x) = 3x3 + 4x2 − 5
siehe:
L 00466
(
)16 ( 2
)
f ′ (x) = 17 3x3 + 4x2 − 5
· 9x + 8x
(
)15 ( 2
)
(
)16
f ′′ (x) = 272 3x3 + 4x2 − 5
9x + 8x + 17 3x3 + 4x2 − 5 (18x + 8)
(
)15 (
)
= 3x3 + 4x2 − 5
918x4 + 1632x3 + 2992x2 + 646x − 680
(
)14 ( 2
) (
)15 (
)
f ′′′ (x) = 15 3x3 + 4x2 − 5
9x + 8x + 3x3 + 4x2 − 5
3672x3 + 4896x2 + 5984x + 646
(
)14 (
)
= 3x3 + 4x2 − 5
11016x6 + 29376x5 + 37536x4 + 7514x3 − 21887x2 − 29912x − 3230
Anmerkung(en):
[v.0003]
11
Mathematik — Aufgaben — 00467
Musteraufgaben
A 00467
Berechnen Sie die (1., 2., 3.) Ableitung.
f (x) =
√
x3 − 3x2
siehe:
L 00467
f = gh
f=
g
h
f ′ = g ′ h + gh′
f′ =
g ′ h − gh′
h2
Lösung
3x2 − 6x
f ′ (x) = √
2 x3 − 3x2
f ′′ (x) =
=
W =
√
x3 − 3x2
)
(
)( 2
(6x − 6) 2W − 3x2 − 6x 3x W−6x
(2W )2
3 (x − 4) W
2
4x (x − 3)
(
)
3x 5x2 − 24x + 24
z =
2W
′
z = 3 (x − 4) W
n′ = 12 (x − 3) (x − 1)
2
n = 4x (x − 3)
(
f ′′′ (x) =
=−
3x(5x2 −24x+24)
2W
)(
)
2
4x (x − 3) − (3 (x − 4) W ) (12 (x − 3) (x − 1))
(
)2
2
4x (x − 3)
3x5 (x − 6) W
8x6 (x − 3)
3
Anmerkung(en):
[v.0001]
12
Mathematik — Aufgaben — 00499
Musteraufgaben
A 00499
Berechnen Sie (und machen Sie die Probe) . . .
(a)
x + 13.7 = 25.4
(b)
x + 15.28 = 28.735
(c)
x + 44.73 = 128
L 00499
(a)
11.7
(b)
13.455
(c)
83.27
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0003]
13
Mathematik — Aufgaben — 00506
Musteraufgaben
A 00506
Berechnen Sie
(und machen Sie die Probe) . . .
(a)
1378 = 577 + x
(b)
1929 = 938 + x
(c)
6772 = 3388 + x
(d)
12488 = 9987 + x
L 00506
(a)
801
(b)
991
(c)
3384
(d)
2501
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0003]
14
Mathematik — Aufgaben — 00528
Musteraufgaben
L 00528
A 00528
Berechnen Sie
(und machen Sie die Probe) . . .
(a)
(b)
(c)
1.176 : x = 98
1.5 : x = 0.125
84.6 : x = 4.7
(d)
91 : x = 22.75
(e)
294 : x = 12.25
(f)
1289.6 : x = 83.2
(a)
0.012
(b)
12
(c)
18
(d)
4
(e)
24
(f)
15.5
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
15
Mathematik — Aufgaben — 00599
Musteraufgaben
A 00599
L 00599
Ein hohles, oben oﬀenes, würfelförmiges Gefäß aus
blech mit der Kantenlänge a = 8 dm steht auf einer
a = 8 dm
h
Seite
Höhe Quader
waagrechten Unterlage. In dieses Gefäß schüttet man
320 l Wasser.
VQ = 320 l = 320 dm3
Volumen Quader
VW
Volumen Würfel
Wie groß ist der Abstand des Wasserspiegels bis zum
oberen Rand?
siehe:
VQ = a2 h
VW = a3
Lösung
d
h
8 cm
320 l
8 dm
320
= 5 dm
8·8
d = 8 − 5 = 3 dm
h=
Anmerkung(en):
[v.0001]
16
Mathematik — Aufgaben — 00605
Musteraufgaben
A 00605
L 00605
Ein rechteckiger Kamin aus Betonstein mit den
Außenabmessungen a = 4.9 dm, b = 3.7 dm und
der Höhe h = 8 m hat im Inneren zwei quadratische
Kaminzüge mit jeweils d = 20 cm Kantenlänge.
20 cm
a = 4.9 dm = 0.49 m
Seite(n)
b = 3.7 dm = 0.37 m
d = 20 cm = 0.2 m
h=8m
Höhe
V
Volumen
20 cm
V = abh
20 cm
3.7 dm
4.9 dm
Lösung
(
)
V = ab − 2d2 · h
(
)
= 0.49 · 0.37 − 2 · 0.22 · 8 = 0.8104 m3
Wie viel m3 Beton wird zur Herstellung des Kamins
benötigt?
siehe:
[v.0001]
17
Mathematik — Aufgaben — 00750
Musteraufgaben
A 00750
Zehn Ehepaare setzen sich in eine Reihe, die 20
Plätze umfasst.
L 00750
(a)
20! = 2.433 · 1018
(b)
10! · 210 = 3.716 · 109
(10 Ehepaare, jedes kann MF oder FM sein)
Wie viele Sitzordnungen gibt es, wenn
(a) sich die Personen beliebig setzen;
(b)
die Ehepartner jeweils nebeneinander sitzen;
(c)
alle Frauen nebeneinander sitzen?
(c)
6! · 5! = 86400
M M M M M FFFFF
(6 Gruppen, 5 F)
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
18
Mathematik — Aufgaben — 00985
Musteraufgaben
A 00985
L 00985
Kettenaufgabe:
645 + 25 = 670
670 − 37 = 633
645 + 25 =
− 37 =
+ 15 =
− 9 =
+ 39 =
633 + 15 = 648
648 − 9 = 639
639 + 39 = 678
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
19
Mathematik — Aufgaben — 01052
Musteraufgaben
A 01052
Auf drei automatischen Werkzeugmaschinen lassen
sich 150 Metallhülsen in 1 h 15 min herstellen.
Wie viele Hülsen könnten in 2 h 30 min hergestellt
werden, wenn 2 Maschinen zusätzlich zum Einsatz
kämen?
L 01052
vorher nachher
3
150
5
h
75
150
h = 150 ·
Werkzeugmaschinen
Metallhülsen
Minuten
5 150
·
= 500 St.
3 75
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0001]
20
Mathematik — Aufgaben — 01062
Musteraufgaben
A 01062
L 01062
Berechnen Sie . . .
a
b
15
4
7
3
9
5
8
2
6
4
11
2
a+b
a−b
a
b
a+b
a−b
15
4
19
11
7
3
10
4
9
5
14
4
8
2
10
6
6
4
10
2
11
2
13
9
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
21
Mathematik — Aufgaben — 01074
Musteraufgaben
A 01074
L 01074
Stellen Sie den Vektor


−7
a= 6 
a = k1 a1 + k2 a2 + k3 a3

 4
−1
−6
als Linearkombination der Vektoren




 
1
3
2





a1 =
, a2 = −1 , a3 = 0 
4
−1
1
2
1
3
2


−7

−1 0  · k =  6 
2 1
−6


1
k =  −2 
−1
a = a1 − 2a2 − a3
dar.
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
22
Mathematik — Aufgaben — 01076
Musteraufgaben
L 01076
A 01076
Beweisen Sie, dass die Vektoren
2
 1
0
 0



a1 = 
 1  , a2 =  0  ,
−1
1
0
1
2
4

 
a3 = 
 3  , a4 =  3 
1
0
eine Basis des R4 bilden.
Berechnen Sie die Komponenten des Vektors
 −4 
 2

b=
 4
0
2
1 0 1 0
0 2 4 = 16 ̸= 0
1
0 3 3 1 −1 1 0
=⇒
Basis
b = ka1 + la2 + ma3 + na4
2
0

1
1
0
1   k   −4 

  
4
 ·  l  =  2




3
4
m
0 2
0 3
1 −1 1 0
n
0
b = −2a1 + 1a2 + 3a3 − 1a4
Anmerkung(en):
bezüglich dieser Basis.
siehe:
[v.0002]
23
Mathematik — Aufgaben — 01102
Musteraufgaben
A 01102
L 01102
Bauer Herz lieferte letzte Woche von seinen 8
Milchkühen folgende Mengen Milch zur Molkerei:
So.
116.8 kg
Mo.
110.9 kg
Di.
121.6 kg
Mi.
124.8 kg
Do.
107.5 kg
Fr.
116.0 kg
Sa.
108.8 kg
Berechnen Sie . . .
(a) die durchschnittliche Lieferung pro Tag;
(b)
die durchschnittliche Milchleistung je Kuh in
der Woche;
(c)
die durchschnittliche Milchleistung je Kuh am
Tag.
So.
116.8 kg
Mo.
110.9 kg
Di.
121.6 kg
Mi.
124.8 kg
Do.
107.5 kg
Fr.
116.0 kg
Sa.
∑
108.8 kg
806.4 kg
(a)
806.4 : 7 = 115.2 kg
(b)
806.4 : 8 = 100.8 kg
(c)
806.4 : (8 · 7) = 14.4 kg
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
24
Mathematik — Aufgaben — 01123
Musteraufgaben
A 01123
L 01123
Frau Lorenz bekommt bei einem Ausverkauf einen
Rest Kleiderstoﬀ von 8.2 m für nur 178.35 DM
8.2 =
b 178.35
4.4 =
b
f
angeboten. Da ihre Freundin bereit ist, 4.4 m davon
abzunehmen, kauft sie den Rest.
f = 178.35 ·
Wie viel muss jede der Frauen bezahlen?
4.4
= 95.70 DM
8.2
l = 178.35 − 95.70 = 82.65 DM
Freundin:
95.70 DM
siehe:
Fr. Lorenz:
82.65 DM
Anmerkung(en):
[v.0002]
25
Mathematik — Aufgaben — 01161
Musteraufgaben
A 01161
L 01161
Ein Brückenbau kann von 24 Arbeitern in 56 Tagen
fertiggestellt werden. Nach 20 Tagen müssen aber 6
Arbeitstage
Arbeiter an eine andere Baustelle abgezogen werden.
Wie lange wird noch gebaut?
siehe:
(Arbeiter · Tage)
gesamt:
24 · 56 = 1344
erste 20 Tage:
24 · 20 = 480
restliche Tage:
A · 36 = 864
A = 864 : 36 = 24 Tage
Anmerkung(en):
[v.0002]
26
Mathematik — Aufgaben — 01351
Musteraufgaben
A 01351
L 01351
Herr Müller nimmt zum Ausbau seines Geschäftes
ein Darlehen von 15600 DM bei einer Bank zu einem
K0 = 15600 DM
Zinssatz von 9 12 %.
Wie viele DM Zinsen müssen gezahlt werden, wenn
noch keine Tilgung geleistet wird?
siehe:
p=
9 12
%
(Anfangs)Kapital
Zinssatz
Z
Zinsen
Z = K0 ·
p
100
Zinsen
Lösung
Z = 15600 ·
9 12
= 1482 DM
100
Anmerkung(en):
[v.0002]
27
Mathematik — Aufgaben — 01363
Musteraufgaben
A 01363
L 01363
Berechnen Sie die Zinsen für Spareinlagen von 40.50
K
Kapital
DM, 578.50 DM, 3845.20 DM zu 5.5 %, die nach 3,
5, 7, 10 Monaten angefallen sind.
m
Laufzeit (Monate)
p = 5.5
Zinssatz (%)
Z
Zinsen
siehe:
Z=K·
p
m
·
100 12
Zinsen
Lösung
3
5
7
10
40.50
0.56
0.93
1.30
1.86
578.50
7.95
13.26
18.56
26.51
3845.20
52.87
88.12
123.37
176.24
Anmerkung(en):
[v.0002]
28
Mathematik — Aufgaben — 01574
Musteraufgaben
A 01574
L 01574
Ein Busunternehmer schreibt von jedem seiner Busse
die jährlich gefahrenen Kilometer auf. Der Kilome-
Bus
terzähler zählt bis 100000 und beginnt dann wieder
mit 1.
Bus
1
2
72369 − 14857 = 57512 km
143742 − 68423 = 75319 km
3
153962 − 86407 = 67555 km
km-Zähler
1. Jan. 31. Dez.
1
14857
72369
2
3
68423
86407
43742
53962
200386 km
Anmerkung(en):
(a) Ermitteln Sie die gefahrenen km jedes Busses.
(b)
Ermitteln sie die gefahrenen km aller drei
Busse.
siehe:
[v.0002]
29
Mathematik — Aufgaben — 01651
Musteraufgaben
A 01651
L 01651
Berechnen Sie das Zweierkomplement als 16-BitZahl.
(a)
27
(b)
77
(c)
515
(d)
700
(e)
818
(f)
938
(g)
1984
(h)
2001
(i)
2474
(j)
3499
(k)
5189
(l)
20202
(a)
1111111111100101
(b)
1111111110110011
(c)
1111110111111101
(d)
1111110101000100
(e)
1111110011001110
(f)
1111110001010101
(g)
1111100001000000
(h)
1111100000101111
(i)
1111011001010110
(j)
1111001001010101
(k) 1110101110110010
(l)
1011000100010110
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
30
Mathematik — Aufgaben — 01997
Musteraufgaben
A 01997
Ergänzen Sie in der Tabelle das Zeichen | (teilt) oder - (teilt nicht).
72
112
136
144
234
256
333
666
864
3
4
9
siehe:
L 01997
72
112
136
144
234
256
333
666
864
3
|
-
-
|
|
-
|
|
|
4
|
|
|
|
-
|
-
|
|
9
|
-
-
|
|
-
|
|
|
Anmerkung(en):
[v.0001]
31
Mathematik — Aufgaben — 02444
Musteraufgaben
A 02444
L 02444
Wie viele Dreiecke sind in der Figur enthalten?
Inklusive aller Spiegelungen und Drehungen: Rot,
gelb, blau, lila und braun je 5mal, grün 10mal;
zusammen 35 Dreiecke.
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0002]
32
Mathematik — Aufgaben — 02679
Musteraufgaben
A 02679
L 02679
Familie Müller hat mehr Kinder als Familie
Meier. Die Diﬀerenz der Quadratzahlen der bei-
E
U
den Kinderzahlen ist 24. Keine der Familie hat ein
Einzelkind.
Lösung
Wie viele Kinder hat Familie Müller, wie viele Familie Meier?
siehe:
Meier
Müller
U 2 − E 2 = 24
(U − E) · (U + E) = 24
U −E
1
2
3
4
6
8
12
24
U +E
24
12
8
6
4
3
2
1
U
12.5
7
5.5
5
5
5.5
7
12.5
E
11.5
5
2.5
1
−1
−2.5
−5
−11.5
Anmerkung(en):
[v.0002]
33
Mathematik — Aufgaben — 02759
Musteraufgaben
A 02759
L 02759
Auf vier Nachkommastellen gerundet gilt:
(a)
1
log 2001
2
= 1.651
log 2001 = 3.3012
=
Bestimmen Sie damit auf drei Nachkommastellen
gerundet:
√
(b)
(a)
x = log
(b)
y = log 0.02001
1
z = log
2001
(c)
siehe:
(
)
1
x = log 2001 2
2001
2001
105
( )
= log 2001 − log 105
y = log
= log 2001 − 5
= −1.699
(c)
)
(
1
= log 2001−1
2001
= log 1 − log 2001 = − log 2001
= 0 − log 2001
z = log
= −3.301
Anmerkung(en):
[v.0001]
34
Mathematik — Aufgaben — 02798
Musteraufgaben
A 02798
L 02798
Auf Karton soll das Netz eines geraden Kreiskegels
aufgezeichnet werden. Der Längsschnitt des Kegels
G
h
Grundfläche
Höhe
soll ein gleichseitiges Dreieck sein, das Kegelvolumen
M
π = 3.1416
r
Mantelfläche
Kreiszahl
Radius
s = 2r
U
Seitenlinie
Umfang
V = 125 cm3
Volumen
3
125 cm betragen.
(a) Berechnen und zeichnen Sie das Netz dieses
Kegels.
Aus einem quadratischen Stück Karton mit der Seitenlänge a wird wie in der Abbildung das Netz eines
geraden Kreiskegels ausgeschnitten.
U = 2rπ =
√
4πG
M = rsπ
s2 = r2 + h2
Gh
1
V =
= r2 πh
3
3
Kegel
(rund, gerade)
a
r
a
(b)
Lösung
(a)
Berechnen Sie den Kegelradius r und die
Kegelhöhe h in Abhängigkeit von a.
√
√
(2r)2 − r2 = r 3
√√
3
3
r=
V = 4.1 cm
π
h=
Wegen s = 2r gilt U (s) = 2U (r), damit
siehe:
1
2 U (s)
02798, 02809
= U (r).
180°
s=8.2
(b)
r=4.1
Wegen 14 U (s) = U (r) gilt s = 4r.
4r
s=
a
r
a
√
√
d = 4r + r + r 2 = a 2
√
√
5 2−2
2
√ a=
a = 0.22a
r =
23
5+ 2
√
√
30
√ a = 0.85a
h = 15 r =
5+ 2
Anmerkung(en):
[v.0003]
35
Mathematik — Aufgaben — 02881
Musteraufgaben
A 02881
L 02881
Ordenn Sie die Zahlen der Größe nach und zeichnen
Sie sie auf einer Zahlengerade ein.
1
3
1
3
3
7
−5 , −4 , −3 , −2 , + , +2
4
10
5
5
4
10
3
3
1
3
1
7
+ , −4 , −5 , −2 , −3 , +2
4
10
4
5
5
10
siehe:
-3 1/5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-5 1/4
-2 3/5
+3/4 +2 7/10
-4 3/10
Anmerkung(en):
[v.0001]
36
Mathematik — Aufgaben — 03043
Musteraufgaben
A 03043
L 03043
Ein Gärtner soll genau 21 Pflanzen in 9 geraden Reihen zu je 5 Stück anpflanzen.
Wie muss er die Pflanzen anordnen?
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0002]
37
Mathematik — Aufgaben — 03060
Musteraufgaben
L 03060
A 03060
Drei Busunternehmer A, B, C fahren fast die
gleichen Linien und wollen sich deshalb zu einer
1
0.29
A
0.40
Nahverkehrsgesellschaft zusammenschließen. Man
kennt die Benutzeranteile der Bevölkerung an den
einzelnen Buslinien:
0.31
0.53
0.62
0.08
P (A) = 0.40
0.01
0.07
0.04
0.18
P (C) = 0.15
0.40
P (A ∩ B) = 0.08
0.30
P (A ∩ C) = 0.02
B
(a)
p = 0.70
(b)
p = 0.40
Es wird eine Befragung unter den Bürgern durchgeführt.
(c)
p = 0.71
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
zufällige hefragte Person . . .
(d)
p = 0.29
P (A ∩ B ∩ C) = 0.01
0.01
0.05
P (B) = 0.30
P (B ∩ C) = 0.05
0.02
0.09
0.15
C
Anmerkung(en):
(a) keinen Bus der Firma B,
(b)
einen Bus der Firmen B oder C,
(c)
einen Bus eines der drei Unternehmen,
(d)
keinen Bus der drei Unternehmen
benutzt?
siehe:
[v.0001]
38
Mathematik — Aufgaben — 03128
Musteraufgaben
L 03128
A 03128
Anzahl
Eine Wiegung der Schulrucksäcke der Schüler der
Klasse 5a ergab folgende Häufigkeitsverteilung:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
(a)
3 · 3.5 + 6 · 4 + 7 · 4.5 + 8 · 5 + 4 · 5.5 + 2 · 6
=
30
4.67 kg
(b)
6
= 0.20 = 20 %
30
(c)
8+4+2
= 0.47 = 47 %
30
Anmerkung(en):
3.5 4 4.5 5 5.5 6 kg
(a) Wie schwer ist im Mittel der Rucksack eines
Schülers?
(b)
Wie viele Prozent der Schüler kommen mit
einem Rucksack von 4 kg in die Schule?
(c)
Wie viele Prozent der Schüler tragen einen
Rucksack, der 5 kg oder mehr wiegt?
siehe:
[v.0001]
39
Mathematik — Aufgaben — 03139
Musteraufgaben
A 03139
L 03139
Zeichnen Sie die Spiegelachse(n) ein . . .
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0001]
40
Mathematik — Aufgaben — 03483
Musteraufgaben
A 03483
Antoine (A) und Beate (B) spielen Tennis. Sie ver-
L 03483
(a)
A
einbaren folgende Gewinnregel:
B
A
Gewonnen hat diejenige, die
BAA, BAB, BB }
gewonnen hat.
geben Sie jeweils den Ergebnisraum Ω sowie seine
Mächtigkeit an.
B
Ω = { AA, ABA, ABB,
zwei Sätze hintereinander oder drei Sätze
Zeichnen Sie jeweils ein Baumdiagramm und
A
A B A B
(a) zwei Sätze;
(b)
B
|Ω| = 6
(b)
A
B
A
B
A
siehe:
A
B
A B
AB
A
B
B
A B
AB
Ω = { AA, ABAA, ABABA,
ABABB, ABB,
BAA, BABAA, BABAB,
BABB, BB
}
|Ω| = 10
Anmerkung(en):
[v.0003]
41
Mathematik — Aufgaben — 03503
Musteraufgaben
A 03503
L 03503
Ω = { ω1 , ω2 , ω3 , ω4 }
(a)
(a) Es gelte:
P (ω1 ) = P (ω2 ) = P (ω3 )
P (ω4 ) = 5 · P (ω1 )
(b)
ω2
ω3
ω4
1
1
1
5
8
1
8
1
8
1
8
5
8
1
ω1
ω2
ω3
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der
Elementarereignisse.
0.4
0.1
(b)
∑
ω1
ω4
0.6
0.3
0.2
∑
1
0.4
Es gelte:
P (ω1 , ω2 ) = 0.4
1
P (ω3 ) = · P (ω4 )
2
Anmerkung(en):
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der
Elementarereignisse, wenn bekannt ist, dass
ω2 mit einer dreimal so großen Wahrscheinlichkeit auftritt wie ω1 .
siehe:
[v.0003]
42
Mathematik — Aufgaben — 03856
Musteraufgaben
A 03856
L 03856
Die Summe dreier aufeinanderfolgender durch 6 teilbarer Zahlen ist 216.
(p − 6) + (p) + (p + 6) = 216
3p = 216
p = 72
Wie heißen die drei Zahlen?
p1 = 66
p2 = 72
p3 = 78
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0002]
43
Mathematik — Aufgaben — 04241
Musteraufgaben
L 04241
A 04241
Rekonstruieren Sie die Kanten aller Dominosteine, so
dass man wieder erkennen kann, wie jeder einzelne
3
5
5
0
5
4
2
1
3
4
0
1
6
0
0
0
Dominostein liegt.
4
2
1
3
0
6
1
6
4
0
3
4
4
4
1
6
3
5
5
0
5
4
2
1
6
6
5
5
3
2
1
4
3
4
0
1
6
0
0
0
5
2
3
5
2
1
5
3
4
2
1
3
0
6
1
6
2
2
2
3
0
6
1
6
4
0
3
4
4
4
1
6
6
6
5
5
3
2
1
4
5
2
3
5
2
1
5
3
2
2
2
3
0
6
1
6
Anmerkung(en):
0
0
0
1
1
1
0
2
1
2
2
2
0
3
1
3
2
3
3
3
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6
siehe:
[v.0001]
44
Mathematik — Aufgaben — 04475
Musteraufgaben
A 04475
Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
√
√
√
x + 5 + 2x + 8 = 7x + 21
siehe:
L 04475
D = {x | x ≥ −3}
√
√
√
x + 5 + 2x + 8 = 7x + 21
√
√
x + 5 2x + 8 = 2x + 4
|
2
|
2
x2 − x − 12 = 0
x1 = −3
x2 = 4
Anmerkung(en):
[v.0001]
45
Mathematik — Aufgaben — 04506
Musteraufgaben
A 04506
L 04506
Was bedeutet die Ziﬀer 6 in . . .
(a)
60
(b)
162
(c)
236
(d)
16375
(e)
68308
(f)
6318725
(a)
6 Zehner
(b)
6 Zehner
(c)
6 Einer
(d)
6 Tausender
(e)
6 Zehntausender
(f)
6 Millionen
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
46
Mathematik — Aufgaben — 04671
Musteraufgaben
A 04671
Es seien σ = (2, 4, 5, 1, 3) und τ = (4, 1, 3, 5, 2) Permutationen in S5 .
Berechnen Sie . . .
L 04671
(
1
σ=
2
(
1
τ=
4
σ◦τ
(c)
σ −1
(a)
τ ◦σ =
(
(b)
siehe:
1352
(
(a) τ ◦ σ
(b)
)
2345
4513
)
2345
(c)
σ◦τ =
σ −1 =
(
12345
)
15243
)
12345
12534
)
12345
41523
Anmerkung(en):
[v.0001]
47
Mathematik — Aufgaben — 04674
Musteraufgaben
A 04674
(a) Berechnen Sie d = ggT (a, b) für a = 3141
L 04674
(a)
und b = 1592.
(b)
3141 : 1592 = 1 Rest 1549
1592 : 1549 = 1 Rest 43
1549 : 43 = 36 Rest 1
43 : 1 = 43 Rest 0
Bestimmen Sie s und t mit d = sa + tb.
d = ggT (1592, 3141) = 1
siehe:
(b)
3141 − 1592 · 1 = 1549
1592 − 1549 · 1 = 43
1549 − 43 · 36 = 1
a − b = 1549
b − 1549 = 43
1549 − 43 · 36 = 1
−a + 2b = 43
1549 − 43 · 36 = 1
37a − 73b = 1
s = 37
t = −73
Anmerkung(en):
[v.0002]
48
Mathematik — Aufgaben — 04914
Musteraufgaben
A 04914
Ist die folgende Abbildung injektiv, surjektiv oder
bijektiv?
f : R2 −→ R2
(a, b) 7−→ (ab, a + b)
L 04914
f : M −→ N
surjektiv:
∀ n ∈ N : ∃ m ∈ M : f (m) = n
injektiv:
(f (m1 ) = f (m2 ) ⇒ m1 = m2 )
Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbil-
⇔ (m1 ̸= m2 ⇒ f (m1 ) ̸= f (m2 ))
dung.
Lösung
siehe:
(a, b) 7−→ (ab, a + b) = (x, y)
ab = x
a+b=y
)
√
1(
a=
y ± y 2 − 4x
2
)
√
1(
b=
y ± y 2 − 4x
2
surjektiv: nein
nur Paare (x, y) mit y 2 − 4x ≥ 0 haben ein Urbild
injektiv: nein
wegen (a, b) ̸= (b, a) −→ (ab, a + b); z.B. (1, 2) ̸=
(2, 1) −→ (2, 3)
bijektiv: nein
Anmerkung(en):
[v.0001]
49
Mathematik — Aufgaben — 04925
Musteraufgaben
A 04925
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem . . .
x1 + 3x2 + 3x3 = 4
−2x1 + x2 − x3 = 9
7x1 + 6x3 = −23
siehe:
L 04925


(A|b) =  −2
3
3
|
1
−1
|
7
0
6
|
↓
TNF

1
⃝
1
0



 0

⃝
1
0
0
6
7
5
7
0
4


9
| −23
|
23 
7 

17 

7 
−
|
|
0
|
↓
rang(A) = rang(A|b)

6
23 
⃝
1 0
| −

7
7 




5
17
 0 ⃝

1
|

7
7 
0 0 −1 |
0




6
−23
1
x =  17  + u  5 
7
−7
0
Anmerkung(en):
[v.0002]
50
Mathematik — Aufgaben — 04933
Musteraufgaben
A 04933 (1)
L 04933 (1)
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren /
A
χA
Matrix
charakteristisches Polynom

1
2
E
E (λi )
Einheitsmatrix
Eigenraum von λi
3
λ, λi
Eigenwert(e)
ui
Eigenvektor(en)
Eigenräume:

3 1

A= 2 4
1 1
Bestimmen Sie eine Matrix S, so dass S −1 AS eine
χA = det (A − λE) = 0
Diagonalmatrix ist.
(A − λi E) ui = 0
siehe:
E (λi ) = kern (A − λi E)
Lösung
Eigenwerte:
3 − λ
1
χA = 2
4−λ
1
1
1
2
3−λ
=0
2
χA = − (λ − 6) (λ − 2) = 0
λ12 = 2
λ3 = 6
...................................................
Eigenvektoren / Eigenräume:

λ12 = 2 :
1 1
1

(A − λ12 E) =  2 2 2 
1 1 1
|
↓ TNF


1 1 1
0 0 0
0 0 0
⟨  1   1 ⟩
E (λ12 ) =  −1  ,  0 
−1
0
...................................................


−3
1
1
λ3 = 6 : (A − λ3 E) =  2 −2
2

1
|
↓
1 0
0 1
0 0
⟨ 1 ⟩
E (λ3 ) =  2 
1 −3
TNF

−1
−2 
0
1
...................................................
51
Mathematik — Aufgaben — 04933
Musteraufgaben
A 04933 (2)
L 04933 (2)
Ähnlichkeit:

1
1
1

S =  −1
0 2
0 −1 1


2 −2
2
1
S −1 =  1
1 −3 
4
1
1
1


2 0 0
S −1 AS =  0 2 0 
0
0
6
Anmerkung(en):
[v.0002]
52
Mathematik — Aufgaben — 04955
Musteraufgaben
A 04955 (1)
L 04955 (1)
Seien
P (x) = xT Ax + 2B T x + C
(
x = (x1 , x2 )T ∈ R2
P (x) = x21 + 2x1 x2 + x22 − 10x1 − 2x2 + 13
Q = {x | P (x) = 0}
—
Führen Sie die Hauptachsentransformation
—
durch.
Bestimmen Sie den Typ von Q.
—
Bestimmen Sie den Mittel– bzw. Scheitelpunkt
von Q.
siehe:
04952, 04955
A=
1 1
)
, B=
1 1
1
P =√
2
(
(
1 −1
1
)
1
φ = 45
(
, D=
−→
det (P ) = +1
)
−5
, C = 13
−1
2
0
0
0
)
Drehung
◦
(I)
• Drehung / Spiegelung:


13 −5 −1
A′ =  −5
1
1
−1
1

1

0
P′ = 

0
0
√1
2
√1
2
1
0

− √12 


√1
2

13
T
 √
P ′ A′ P ′ =  −3 2
√
2 2
√
√ 
−3 2 2 2

·
2
0 = P
0
0
• Verschiebung:
 1
U ′ =  √32
(
)
0
√3
2
1 0 , ∆ =
?
0 0 1

√ 
4
0 2 2
T
T


·
U ′ P ′ A′ P ′ U ′ =  0
2
0 =U
√
2 2 0
0
0
√
v = (2 2)
√
∥v∥ = 2 2
v1 = ( 1 )
1
d = −√
2
V = (1)

1

W′ =  0
− √12
0
0


√3
2

1 0
, ∆ =  1 
− √2
0 1
53
Mathematik — Aufgaben — 04955
Musteraufgaben
A 04955 (2)
L 04955 (2)

0
0
T
T
T

W ′ U ′ P ′ A′ P ′ U ′ W ′ =  0
2
√
2 2 0
|
↓

0

0

1
2
√ 
2 2

0 
√
:4 2
0
1
√
2 2
0
0
1
2


0

0
(II)
1
f (Q) = √ x21 + x2 = 0
2 2
Gleichung einer Parabel mit Brennpunkt
(
f (F ) =
0
)
− √12
1
F = P · (∆ + f (F )) =
2
( )
5
1
und Scheitelpunkt
S =P ·∆=
( )
2
1
5
5
-5
10
15
-5
-10
-15
Verschiebung
Drehung
grün −−−−−−−−−→ gelb −−−−−−→ rot
Anmerkung(en):
[v.0001]
54
Mathematik — Aufgaben — 05009
Musteraufgaben
L 05009
A 05009
Untersuchen Sie die Reihe (sn ) =
genz, mit n → ∞, n ∈ N:
∞
∑
n!
S=
n
n
n=0
∑
ai auf Konver-
Quotientenkriterium:
an+1 <1
lim
n→∞ an Konvergenzkriterien
(
)x
1
lim 1 +
=e
x→∞
x
siehe:
Lösung
(n+1)! an+1 (n+1)n+1 nn
1
=
=
an (n + 1)n = (1 + 1 )n
n!
nn
n
an+1 = lim ( 1 )n = 1 < 1
lim n→∞ an n→∞ 1 + 1
e
n
(sn ) ist konvergent
Anmerkung(en):
[v.0001]
55
Mathematik — Aufgaben — 05223
Musteraufgaben
A 05223
Berechnen Sie die relativen Extrempunkte.
f (x, y) = 2x + 4y − x2 − y 2 − 3
siehe:
L 05223
∇f = 0
=⇒ Ei
positiv
Minimum
Hf (Ei )
definit : Ei
negativ
Maximum
Lösung
z = f (x, y) = 2x + 4y − x2 − y 2 − 3
(
∇f =
(
Hf =
−2x + 2
−2y + 4
−2
)
)
0
0 −2
...................................................
∇f = 0
x Ei
yEi
zEi
Ei
1
2
2
E (1; 2; 2)
(
)
−2 0
Hf (E) =
0 −2
...................................................
fxx (E) = −2 < 0
det (Hf (E)) = +4 > 0
=⇒
Hf (E) ist negativ definit
=⇒
E ist Maximum
Anmerkung(en):
[v.0002]
56
Mathematik — Aufgaben — 05366
Musteraufgaben
A 05366
L 05366
Die Entfernung zweier Punkte A und B, die wegen
eines dazwischen liegenden Gewässers nicht direkt
a
b = 60 m
messbar ist, soll bestimmt werden. Von Punkt A aus
steckt man eine Standlinie AC = b = 60 m ab und
misst die Winkel ^ BAC = α = 34◦ und ^ ACB =
c
α = 34◦
β
γ = 112◦ .
γ = 112◦
Wie weit sind A und B voneinander entfernt?
Seiten
Winkel
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
siehe:
Sinussatz
Lösung
B
b
c
a
g=112
a=34
C
b=60
A
sin γ
·b
sin β
sin 112
=
· 60 = 99.5 m
sin 34
c=
Anmerkung(en):
[v.0001]
57
Mathematik — Aufgaben — 05499
Musteraufgaben
A 05499
L 05499
∫
Berechnen Sie das (unbestimmte) Integral / die
b
∫
′
φ(b)
f (φ (x)) φ (x) dx =
Stammfunktion . . .
∫
cos3 x
I=
dx
1 − sin x
a
f (t) dt
φ(a)
t = φ (x)
1 − t2
=1+t
1−t
φ (x) = t = sin x
f (t) =
siehe:
φ′ (x) = cos x
Lösung
∫
cos3 x
dx
1 − sin x
(
)
∫
1 − sin2 x cos x
=
dx
1 − sin x
∫
= 1 + t dt
I=
1
= t + t2
2
= sin x +
1
sin2 x
2
Anmerkung(en):
[v.0002]
58
Mathematik — Aufgaben — 05536
Musteraufgaben
A 05536
L 05536
∫
Berechnen Sie das (unbestimmte) Integral / die
Stammfunktion . . .
∫
x
I=
2 dx
(x − 2)
b
a
f′
b
= [ ln |f | ]a
f
Lösung
2
siehe:
N = (x − 2)
x
2
(x − 2)
=
A
B
+
x − 2 (x − 2)2
x = A (x − 2) + B
= (A) x + (−2A + B)
(
1 0
−2 1
)(
A
B
)
=
( )
1
0
A=1
B=2
...................................................
∫
∫
1
2
I=
+
2
x−2
(x − 2)
2
= ln |x − 2| −
x−2
Anmerkung(en):
[v.0001]
59
Mathematik — Aufgaben — 05630
Musteraufgaben
A 05630
Bei einem Zufallsexperiment sei Ω = { a, b, c }.
Bestimmen Sie alle Ereignisse.
siehe:
L 05630
E0 = { }
E1 = { a }
E2 = { b }
E3 = { c }
E4 = { ab }
E5 = { ac }
E6 = { bc }
E7 = { abc }
Anmerkung(en):
[v.0001]
60
Mathematik — Aufgaben — 05667
Musteraufgaben
A 05667
In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter sechs
rote.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man vier rote
Kugeln, wenn man zehn Kugeln
L 05667
(10)(10)
(a)
(20)2
4
p=
6
(
(b)
p=
=
315
= 0.2438
1292
) ( )4 ( )6
10
6
14
= 0.2001
20
20
4
(a) ohne Zurücklegen;
(b)
mit Zurücklegen entnimmt?
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
61
Mathematik — Aufgaben — 05671
Musteraufgaben
A 05671
L 05671
Im Zusammenhang mit einer ärztlichen Untersuchung wurde das Merkmal Körpergröße von
30/85 6
14jährigen Schülern untersucht. Die Messwerte
wurden dabei nur auf 1 cm genau bestimmt.
7
25/85 5
20/85 4
15/85 3
Größe
Anzahl
Größe
Anzahl
10/85 2
154
1
167
4
5/85 1
155
1
168
4
0 0
156
3
169
4
157
3
170
2
Größe
Hi
hi
158
5
171
5
151–155
2
0.0235
159
4
172
2
156–160
19
0.2235
160
4
173
3
161–165
26
0.3059
161
5
174
2
166–170
20
0.2353
162
7
175
3
171–175
15
0.1765
163
3
176
1
0.0353
5
177
1
176–180
∑
3
164
85
1
165
6
178
1
166
6
150
155
160
165
170
175
180
Anmerkung(en):
(a) Zeichnen Sie ein Stabdiagramm für die
Meßwerte.
(b)
Fassen Sie die Resultate der Körpergrößenmessung
zu Klassen von 151 cm bis 155 cm, 156 cm bis
160 cm, 161 cm bis 165 cm, 166 cm bis 170
cm, 171 cm bis 175 cm, 176 cm bis 180 cm
jeweils einschließlich der Grenzen zusammen.
(c)
Geben Sie die absoluten Häufigkeiten der
einzelnen Klassen an.
(d)
Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der
einzelnen Klassen.
(e)
Stellen Sie die Häufigkeit für die Klassen
grafisch dar.
Zeichnen Sie dazu in einem Koordinatensystem auf der Achse a1 die Klassen ein.
Zeichnen Sie dann über den so erhaltenen
Strecken Rechtecke, deren Flächeninhalte
den jeweiligen Häufigkeiten der Klassen
proportional sind.
siehe:
[v.0001]
62
Mathematik — Aufgaben — 05831
Musteraufgaben
L 05831
A 05831
Berechnen Sie das (unbestimmte) Integral / die
∫
Stammfunktion . . .
∫
I=
0
2
4
dx
4−x
b
a
Lösung
∫
siehe:
f′
b
= [ ln |f | ]a
f
2
I = −4
0
1
dx
x−4
2
= −4 [ ln |x − 4| ]0
= −4 ln 2 + 4 ln 4
= 4 ln 2
Anmerkung(en):
[v.0002]
63
Mathematik — Aufgaben — 05901
Musteraufgaben
A 05901
L 05901
Es sind folgende Mengen gegeben:
C
A = { 4, 11, 17 }
20
D
B = { 1, 5, 7, 13, 21 }
10
14
16
19
C = { x ∈ N | 10 ≤ x ≤ 20 }
D = { x ∈ N | x < 20 }
12
15
18
A
11
17
4
2 3 6
8 9
B
13
1 5 7
Bestimmen Sie die Mengen:
21
(a) A ∪ B
(b)
A∩B
(c)
(B ∩ D) ∩ C
(d)
C ∩D
(e)
{x | x ∈ A ∧ x ∈ D}
(f)
{x | x ∈ A ∨ x ∈ D}
siehe:
(a)
A ∪ B = { 1, 4, 5, 7, 11, 13, 17 }
(b)
A∩B =∅
(c)
(B ∩ D) ∩ C = { 13 }
C ∩ D = { 10, . . . , 19 }
(d)
(e)
{x | x ∈ A ∧ x ∈ D} = A ∩ D = A
(f)
{x | x ∈ A ∨ x ∈ D} = A ∪ D = D
Anmerkung(en):
[v.0003]
64
Mathematik — Aufgaben — 05929
Musteraufgaben
A 05929
L 05929
Ein Bauer verkauft auf dem Markt 2 Gänse und 5
Enten, er kauft 10 Hühner ein und es verbleiben ihm
E
G
Ente
Gans
noch 14 e. Verkauft er 5 Enten und 4 Hühner, so
kann er sich dafür 5 Gänse kaufen. Verkauft er 3 Enten und 3 Hühner, so fehlen ihm 21 eum 5 Gänse zu
H
Huhn
kaufen.
2G + 5E = 10H + 14
Was kosten Gans, Ente und Huhn?
5E + 4H = 5G
3E + 3H = 5G − 21
siehe:
Lösung
E=8
G = 12
H=5
Anmerkung(en):
[v.0002]
65
Mathematik — Aufgaben — 05935
Musteraufgaben
A 05935
Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen . . .
(
)
f (x) = 0.75 x2 − 5x + 4
L 05935
(I)
)
3( 2
x − 5x + 4
4
3
g (x) = x + 3
4
f (x) =
g (x) = 0.75x + 3
siehe:
3 2 9
x − x
4
2
3
= x (x − 6)
4
∫ 6
3 2 9
A=
x − x dx
4
2
0
1 [ 3
]6 = x − 9x2 0 4
∆ (x) = f (x) − g (x) =
= 27
...................................................
(II)
3 2 9
x − x
4
2
(
)2
9
3
81
D= −
+4· ·0=
2
4
4
√( )
81 3
∆ (x) =
A=
4
6·
( 3 )2
4
= 27
10
8
6
4
2
-10 -8 -6 -4 -2
2
4
6
8 10
-4
-6
-8
-10
Anmerkung(en):
[v.0002]
66
Mathematik — Aufgaben — 05949
Musteraufgaben
A 05949
L 05949
Berechnen Sie die Länge der Kurve . . .
f
Kurve
L (f )
Länge der Kurve
f : [0; 4] −→ R
3
x 7−→ f (x) = 3x 2 − 1
siehe:
f : [a, b] −→ R
∫ b√
2
L (f ) =
1 + f ′ (x) dx
a
Lösung
9 1
x2
2
√
(
)2
∫ 4
9 1
L (f ) =
1+
x2
dx
2
0
∫ 4√
81
=
1 + x dx
4
0
]
3 4
1 [
=
(81x + 4) 2
243
0
)
8 ( √
=
82 82 − 1
243
f ′ (x) =
Anmerkung(en):
[v.0001]
67
Mathematik — Aufgaben — 05953
Musteraufgaben
A 05953
L 05953
Gegeben sind die Matrizen


A ∈ M3×2
1 3
A = 2 0
B=
C=
B ∈ M2×2
C ∈ M2×3
1 4
(
)
2 1
(
Wegen
sind möglich:
3 −2
2 0
−1
6 1
3
)
ja
AB, AC, BB, BC, CA
nein
AA, BA, CB, CC
Berechnen Sie alle möglichen Produkte
und damit:
(a) mit zwei Faktoren
(b)
mit drei verschiedenen Faktoren
ja
ABB, ABC, ACA,
BBB, BBC, BCA,
CAB, CAC
siehe:
nein
AAA, AAB, AAC, ABA, ACB, ACC,
BAA, BAB, BAC, BBA, BCB, BCC,
CAA, CBA, CBB, CBC, CCA, CCB, CCC


−5
2
−7
11
AB =  4
14

20

AC =
4
BB =
3
8

0 −2 
26 4 11
(
)
7 0
0 7
(
BC =
(
CA =
10
−6
1
11

1
1
−2 −9
2
30
)
)
−8
−5
−26

ABC =  20
2
2
−14 −7 −35
(
)
13
34
BCA =
−19 −54
(
CAB =
8
−3
112 −49
)
Anmerkung(en):
[v.0001]
68
Mathematik — Aufgaben — 06039
Musteraufgaben
A 06039
L 06039
Prüfen Sie, ob
⟨·, ·⟩
Skalarprodukt
( x1 )
x = ...
f : R2 −→ R2
x 7−→ f (x, y) =
(
2
6x y
)
xn
Wau
Weg von a nach u
3
2x
∂fi (x)
∂fj (x)
=
∂xj
∂xi
∫
F (u) =
⟨f, dx⟩
ein Gradientenfeld ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion.
Wau
siehe:
∇F (x) = F ′ (x) = f (x)
Lösung
∂f1 (x)
= Dy 6x2 y= 6x2
∂x2
∂f2 (x)
= Dx 2x3 = 6x2
∂x1
(
f (x, y) =
Fx
Fy
)
(
=
6x2 y
)
2x3
∫
6x2 y dx = 2x3 y + C(y)
∫
2x3 dy = 2x3 y + C(x)
F (x) = 2x3 y
Anmerkung(en):
[v.0001]
69
Mathematik — Aufgaben — 06103
Musteraufgaben
A 06103
Bilden Sie die (1. bis 3.) Ableitung.
f (x) = x4 − 6x3 + 12x2 − 8x
L 06103
f ′ (x) = 4x3 − 18x2 + 24x − 8
f ′′ (x) = 12x2 − 36x + 24
f ′′′ (x) = 24x − 36
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0001]
70
Mathematik — Aufgaben — 06155
Musteraufgaben
A 06155
L 06155
Die Zeichnungen zeigen zwei Ansichten eines Körpers
von oben und von vorne.
Z.B.:
Wie sieht dieser aus?
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0001]
71
Mathematik — Aufgaben — 06211
Musteraufgaben
A 06211
L 06211
Ergänzen Sie die Tabelle.
+
33
−14
−19
−11
46
79
32
27
35
−4
29
−18
−23
−15
41
74
27
22
30
+
46
−4
33
−14
−19
−11
41
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
72
Mathematik — Aufgaben — 06246
Musteraufgaben
L 06246
A 06246
Ergänzen Sie die Tabelle.
+
−4
−48
42
11
−49
36
−79
−41
+
−4
−30
−48
25
46
42
16
−2
71
11
7
−19
−37
36
−49
−53
−79
−97
−24
7
3
−23
−41
32
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
73
Mathematik — Aufgaben — 06268
Musteraufgaben
L 06268
A 06268
−
−2
−20
21
−31
−31
49
51
69
28
80
80
32
34
52
11
63
21
23
41
0
52
−33
−31
−13
−54
−2
Ergänzen Sie die Tabelle.
−
−2
−20
21
11
41
−31
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
74
Mathematik — Aufgaben — 06336
Musteraufgaben
L 06336
A 06336
Ergänzen Sie die Tabelle.
·
−3
8
80
−21
−4
2
−14
−2
·
−3
−7
8
−2
10
−30
−70
80
−20
7
−21
−49
56
−14
−4
12
28
−32
8
2
−6
−14
16
−4
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
75
Mathematik — Aufgaben — 06451
Musteraufgaben
A 06451
L 06451
Das Baugrundstück einer geplanten Siedlung hat
875 m2
1 m2
kosten 192500 e
kosten 192500 : 875 = 220 e
195 m2
kosten 192500 : 875 · 195 = 42900 e
einen Preis von 192500 eund eine Größe von 875 m .
2
Wie viele Euros kosten 195 m2 Grundanteil?
siehe:
Anmerkung(en):
[v.0002]
76
Mathematik — Aufgaben — 06596
Musteraufgaben
A 06596
L 06596
Führen Sie eine Polynomdivision durch:
( 3
)
x − 3x2 − 37x − 36 : (x + 4)
(I)
(x3 − 3x2 − 37x − 36) : (x + 4) = x2 − 7x − 9
x3 + 4x2
siehe:
− 7x2 − 37x − 36
− 7x2 − 28x
− 9x − 36
− 9x − 36
0
...................................................
(II)
Hornerschema:
−4
1
−3
−37
−36
0
−4
28
36
1
−7
−9 |
0
Anmerkung(en):
[v.0002]
77
Mathematik — Aufgaben — 07252
Musteraufgaben
A 07252
L 07252
Zwei nebeneinander stehende Zahlen werden addiert
und in das Feld darüber eingetragen.
347
168 179
84
59
59
25
59
36
84
25
95
59
36
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
78
Mathematik — Aufgaben — 07964
Musteraufgaben
A 07964
L 07964
Berechnen Sie . . .
1
1
zn = rn
1
(−1 + i) 3
(
)
φ + 2kπ
φ + 2kπ
cos
+ i sin
n
n
Lösung
siehe:
z = −1 + i
√
√
r = (−1)2 + 12 = 2
1
3π
= 135◦ =
−1
4
(
)
3π
3π
1
√ 3
1
4 + 2kπ
4 + 2kπ
3
+ i sin
z = 2
cos
3
3
(
)
√
(3 + 8k)π
(3 + 8k)π
6
+ i sin
= 2 cos
12
12
...................................................
(
√
π
π)
6
z0 = 2 cos + i sin
4
4
1
1
= √
+ √
i
3
3
2
2
(
)
√
11π
11π
6
z1 = 2 cos
+ i sin
12
12
√
√
−1 − 3 −1 + 3
√
√
=
+
i
232
232
(
)
√
19π
19π
6
z2 = 2 cos
+ i sin
12
12
√
√
−1 + 3 −1 − 3
√
√
=
+
i
232
232
φ = atan
Im(z)
z0
z1
Re(z)
2
z2
Anmerkung(en):
[v.0001]
79
Mathematik — Aufgaben — 08317
Musteraufgaben
A 08317
Eine Familie erhält 9 dz Kartoﬀeln und bezahlt dafür
(a)
56.25 DM
(b)
141.75 DM
L 08317
(a)
56.25 : 9 = 6.25 DM
(b)
141.75 : 9 = 15.75 DM
Anmerkung(en):
Was kostet 1 dz?
siehe:
[v.0002]
80
Mathematik — Aufgaben — 08496
Musteraufgaben
A 08496
Bilden Sie die (1. bis 3.) Ableitung.
f (x) =
x2
ln x
siehe:
L 08496
f ′ (x) =
2x · ln x − x2 ·
1
x
2
ln x
−x + 2x ln x
=
ln2 x
(−1 + (2 ln x + 2x · x1 )) · ln2 x − (−x + 2x ln x) · 2 · ln x ·
f ′′ (x) =
ln4 x
2 − 3 ln x + 2 ln2 x
=
ln3 x
= 2 ln−3 x − 3 ln−2 x + 2 ln−1 x
1
1
1
f ′′′ (x) = −6 ln−4 x · + 6 ln−3 x · − 2 ln−2 x ·
x
x
x
6
2
6
+
−
=−
x ln4 x x ln3 x x ln2 x
1
x
Anmerkung(en):
[v.0002]
81
Mathematik — Aufgaben — 08609
Musteraufgaben
A 08609
L 08609
Die Fischer Adam, Bauer, Christiansen und Dahse
wägen nach dem Fischen ihre Ausbeute und stellen
D>C
(1)
A+B =C +D
(2)
fest:
A+D <B+C
(3)
Dahse fing mehr als Christiansen. Adam und Bauer
A<B
(1, 3)
fingen zusammen genausoviel wie Christiansen und
Dahse zusammen. Adam und Dahse fingen zusammen weniger als Bauer und Christiansen zusammen.
A<C
(2, 3)
D<B
(2, 3)
A<C<D<B
Ordnen Sie die Fangergebnisse der Fischer der Größe
nach.
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
82
Mathematik — Aufgaben — 08612
Musteraufgaben
A 08612
L 08612
Von drei Zahlen ist die zweite doppelt so groß wie die
erste. Die dritte ist so groß wie die erste und zweite
zusammen.
Wie heißen die drei Zahlen, wenn ihr Summenwert
102 beträgt?
b = 2a
c=a+b
a + b + c = 102
a + (2a) + (a + (2a)) = 102
6a = 102
a = 17
b = 34
siehe:
c = 51
Anmerkung(en):
[v.0001]
83
Mathematik — Aufgaben — 08633
Musteraufgaben
A 08633 (1)
L 08633 (1)
Bestimmen Sie die Lösung(en) der Diﬀerentialglei-
y′ = f
= f (z)
x
f (z) − z
z′ =
x
chung
y′ =
(y)
(x + y) y
x2
z ′ = f (x, z) = g (x) h (z)
∫ z
∫ x
1
dv =
g (u) du
z0 h (v)
x0
siehe:
Lösung
y2
y
+ 2
x x
...................................................
y′ =
Substitution:
f (z) = z + z 2
z2
x
...................................................
z′ =
trennbare Variablen:
1
x
h (z) = z 2
...................................................
g (x) =
konstante Lösung(en):
h (z) = z 2 = 0
z=0
y=0
...................................................
84
Mathematik — Aufgaben — 08633
Musteraufgaben
A 08633 (2)
L 08633 (2)
allgemeine Lösung:
∫
z
z0
1
dv =
v2
∫
x
x0
1
du
u
1
1
− +
= ln |x| − ln |x0 |
z
z0
1
+ ln |x| = C0
z
1
C0 =
+ ln |x0 |
z0
x
+ ln |x| = C0
y
x
C0 − ln |x|
x0
C0 =
+ ln |x0 |
y0
y=
Anmerkung(en):
[v.0002]
85
Mathematik — Aufgaben — 08729
Musteraufgaben
A 08729
L 08729
Berechnen Sie den (die) Grenzwert(e):
L′ H
lim u · v −−−−→ lim −
lim f (x)
u′ 2
·v
v′
L’Hospital
(0 · ∞)
x→x0
Lösung
für
f (x) = x ln2 x
x0 = 0+
siehe:
08033, 08729
u = ln2 x
2 ln x
u′ =
x
v=x
v′ = 1
...................................................
lim f (x) = lim x ln2 x
x→x0
x→x0
=0·∞
|
↓ L’Hospital
lim f (x) = lim −
x→x0
2 ln x
x
· x2
1
= lim −2x ln x
x→x0
x→x0
=0
Anmerkung(en):
[v.0002]
86
Mathematik — Aufgaben — 09235
Musteraufgaben
A 09235 (1)
L 09235 (1)
Berechnen Sie die Eigenwerte und verallgemeinerten
Eigenräume:
A
αi
Matrix
Vielfachheit von λi in µA
χA
E
E (λi )
charakteristisches Polynom
Einheitsmatrix
Eigenraum von λi
λ, λi
Eigenwert(e)
µA
Minimalpolynom
ui
Eigenvektor(en)
3 1
0 2
A=
0 0
1 1
1
1
2
1
−2 
0

0
0
Bestimmen Sie eine Matrix S, so dass S −1 AS eine
Blockdiagonalmatrix ist.
χA = det (A − λE) = 0
(A − λi E) ui = 0
siehe:
E (λi ) = kern (A − λi E)
V (λi ) = kern (A − λi E)
αi
Lösung
Eigenwerte:
3 − λ
1
1
−2 0
2−λ
1
0 χA = =0
0
2 − λ 0 0
1
1
1
−λ
χA = λ4 − 7λ3 + 18λ2 − 20λ + 8 = 0
3
= (λ − 2) (λ − 1) = 0
2
µA = (λ − 2) (λ − 1) = 0
λ1 = 1
α1 = 1
λ2 = 2
α2 = 2
...................................................
verallgemeinerte Eigenräume:
2
λ1 = 1 :
0
(A − λ1 E)α1 = 
0
1
1
1
0
1
1 −2 
1
0

1
0
1 −1
| TNF
↓
 1 0 0 −1 
0 1 0
0


0 0 1
0
0
0
0
0
 
⟨ 1 ⟩
0

V (λ1 ) = 
0
1
...................................................
87
Mathematik — Aufgaben — 09235
Musteraufgaben
A 09235 (2)
L 09235 (2)
λ2 = 2 :
(A − λ2 E)α2
 −1 −1 0 2 
 0
0 0 0

=
 0
0 0 0
−1 −1 0 2
|
↓ TNF
 1 1 0 −2 
0 0 0
0


0 0 0
0
0
0
0
0
 1 0 2
⟩
⟨
 −1   0   0 






,
,
V (λ2 ) = 
0 1 0
0
0
1
...................................................
Ähnlichkeit:
1
1 0 2
 0 −1 0 0 

S=
0
0 1 0
1
0 0 1
 −1 −1 0
2
 0 −1 0
0

S −1 = 
 0
0 1
0
1

1

0
S −1 AS = 

0
0
0 −1

0 0

| 2 −1 0 


| 0
2 0
1
| 0
| 0
1
2
Anmerkung(en):
[v.0002]
88
Mathematik — Aufgaben — 09285
Musteraufgaben
A 09285
Bei einer Prüfung sind 25 % der Prüflinge in Mathematik, 15 % in Chemie und 10 % in Mathematik
und Chemie durchgefallen. Einer der Prüflinge wird
zufallig ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in
L 09285
C:
M:
P (C)
( )
P C
(a) Mathematik durchfiel, wenn man weiß, dass
er Chemie nicht bestanden hat?
(b)
Chemie durchfiel, wenn man weiß, dass er Ma-
in Chemie durchgefallen
in Mathematik durchgefallen
(a)
P (M )
( )
P M
0.10
0.05
0.15
0.15
0.70
0.85
0.25
0.75
1
P (M | C) =
0.10
2
=
0.15
3
thematik nicht bestanden hat?
(c)
siehe:
Mathematik oder Chemie durchfiel?
(b)
(c)
2
0.10
=
0.25
5
(
)
P (M ∪ C) = 1 − P M ∩ C = 0.30
P (C | M ) =
Anmerkung(en):
[v.0001]
89
Mathematik — Aufgaben — 09286
Musteraufgaben
A 09286
In der Zeichnung seien A, B, . . . , F Inseln, wobei die Verbindungslinien Brücken darstellen. Ein Mann startet
in A und geht von Insel zu Insel. Er macht eine Essenspause, wenn er nicht weitergehen kann, ohne eine Brücke
ein zweitesmal zu benutzen.
A
B
C
E
F
D
Geben Sie alle möglichen Wege des Mannes an.
siehe:
L 09286
A
B
C
D
E
E
B
F
F
C
C
E
B
D
B
C
D
F
F
E
C
B
D
E
D
A—B—C—D
A—B—C—E—B
A—B—C—E—F—C—D
A—B—C—F—E—B
A—B—C—F—E—C—D
A—B—E—C—B
A—B—E—C—D
A—B—E—C—F—E
A—B—E—F—C—B
A—B—E—F—C—D
A—B—E—F—C—E
Anmerkung(en):
[v.0002]
90
Mathematik — Aufgaben — 09293
Musteraufgaben
A 09293
L 09293
Eine L-Münze wird zweimal geworfen.
W Wappen
Z Zahl
(a) Geben Sie den Ergebnisraum Ω an.
Das Zufallsexperiment wird zu einem Glücksspiel
verwendet. Man erhält 2 e, wenn zweimal Wappen fällt, 1 e bei einmal Wappen. Man muss 2 e
bezahlen, wenn zweimal Zahl fällt. Die Zufallsgröße
X gebe den Gewinn in e an.
(b)
(c)
(d)
Lösung
(a)
(b)
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
von X an.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F und
dann daraus, mit welcher Wahrscheinlichkeit
man höchstens 1 e gewinnt.
Ω = { WW, WZ, ZW, ZZ }
X : Ω −→ R
ω 7−→ X (ω)
WW
WZ
ZW
ZZ
+2
+1
+1
−2
−2
+1
+2
1
4
2
4
1
4
P (x)
Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion
und die Verteilungsfunktion grafisch dar.
(c)
siehe:
0
x < −2


 0.25 −2 ≤ x < 1
F (x) =
 0.75 1 ≤ x < 2


2≤x
1
P (X ≤ 1) = F (1) =
3
4
(d)
4/4
F(x)
3/4
2/4
P(x)
1/4
-4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
Anmerkung(en):
[v.0002]
91
Mathematik — Aufgaben — 09372
Musteraufgaben
L 09372
A 09372
Gegeben sind die Funktion
10
1
f (x) = − x4 − x3
4
9
A
P (u; f (u))
8
P
und die Punkte
mit
6
−4 < u < 0
5
O (0; 0)
4
Q (u; 0)
3
f
Bestimmen Sie eine Funktion A (u) für die Fläche
siehe:
2
1
des Dreiecks QOP .
Bestimmen Sie die Extremwerte dieser Funktion.
7
O
Q
-5 -4 -3 -2 -1
1
1
(−u) f (u)
2
1
1
= u5 + u4
8
2
1
A′ (u) = u3 (5u + 16) = 0
8
16
u=−
5
)
(
32768
215
16
=
= 5 = 10.5
A −
5
3125
5
A (u) =
| Maximum
Anmerkung(en):
[v.0001]
92
Mathematik — Aufgaben — 09518
Musteraufgaben
L 09518
A 09518
Bestimmen Sie die Durchstoßpunkte der Geraden
(
g:x=
3
3
−1
)
(
+t
1
2
−1
g : x = p + tv
)
Lösung
x12 -Ebene (x3 = 0):
durch die Koordinatenebenen.
t=−
siehe:
p3
= −1
v3
( )
2
S12
1
0
...................................................
p3
=p− v =
v3
x13 -Ebene (x2 = 0):
t=−
p2
3
=−
v2
2
( )
3
S12
0
1
...................................................
p2
1
=p− v =
v2
2
x23 -Ebene (x1 = 0):
t=−
S12
p1
= −3
v1
p1
=p− v =
v1
(
0
−3
2
)
Anmerkung(en):
[v.0001]
93
Mathematik — Aufgaben — 09609
Musteraufgaben
A 09609
L 09609
Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises
y 2 + x2 − 6y − 16 = 0
( 2
) ( )
y − 6y + x2 = 16
( 2
) ( )
y − 6y + 9 + x2 = 16 + 9
y 2 + x2 − 6y − 16 = 0
siehe:
2
2
(y − 3) + (x − 0) = 25
M (3; 0)
r=5
Anmerkung(en):
[v.0001]
94
Mathematik — Aufgaben — 10105
Musteraufgaben
A 10105
L 10105
Eine kubische Funktion f (x) = ax3 +bx2 +d verläuft
Einsetzen von Pi (xi ; yi ) in die Gleichung yi = ax3i +
durch die Punkte P1 , P2 und P3 .
bx2i + d für i = 1, 2, 3 ergibt ein lineares Gleichungs-
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
P1
(a) (−2; −10)
P2
P3
(3; 40)
(4; 80)
system
 3
x1 x21
 3
 x2 x22
x33
siehe:
(a)
x23
   
y1
a
  y 
2
1 b =
y
d
3
1
1
a
c
d
3
− 10
73
10
− 88
5
y=
3 3
− 10
x +
73 2
10 x
−
88
5
Anmerkung(en):
[v.0002]
95
Mathematik — Aufgaben — 10163
Musteraufgaben
A 10163
L 10163
Die Wanderkarte eines Landkreises hat den Maßstab
1 : 100000. Auf dieser Karte sind zwei Dörfer 4 cm
4 · 100000 = 400000 cm = 4000 m = 4 km
voneinander entfernt.
Anmerkung(en):
Wie weit ist es von einem Dorf zum andern?
siehe:
[v.0002]
96
Mathematik — Aufgaben — 10421
Musteraufgaben
A 10421
L 10421
Es seien
m männlich
w weiblich
A:
Eine Familie hat Kinder beiden Geschlechts.
B:
Eine Familie hat höchstens einen Sohn.
(a) Zeigen Sie, dass A und B unabhängige
Lösung
(a)
Ereignisse sind, wenn eine Familie 3 Kinder
hat.
(b)
Ω = { mmm, mmw, mwm, mww,
wmm, wmw, wwm, www
}
A = { mmw, mwm, mww,
wmm, wmw, wwm }
Zeigen Sie, dass die Ereignisse im Fall von 2
B = { mww,
Kindern abhängig sind.
wmw, wwm, www }
A ∩ B = { mww,
siehe:
wmw, wwm }
P (A) · P (B) =
P (A ∩ B)
=⇒
(b)
6 4
3
· =
8 8
8
3
=
8
unabhängig
Ω = { mm, mw, wm, ww }
A = { mw, wm }
B = { mw, wm, ww }
A ∩ B = { mw, wm }
2 3
3
· =
4 4
8
2
4
P (A ∩ B) =
=
4
8
P (A) · P (B) =
=⇒
abhängig
Anmerkung(en):
[v.0001]
97
Mathematik — Aufgaben — 10755
Musteraufgaben
A 10755
L 10755
Zwei nebeneinander stehende Zahlen werden addiert
und in das Feld darüber eingetragen.
117
30
117
13
9
30
a
5
4
8
4
5
5
d
8
e
f
Lösung über ein lineares Gleichungssystem:
5
d+e=5
e+f =8
3d + e = 11
siehe:
a + 10d + 5e + f = 47
Damit:
117
61
31
14
5
1
56
30
17
9
4
26
13
8
5
13
5
3
8
2
6
Anmerkung(en):
[v.0002]
98
Mathematik — Aufgaben — 10861
Musteraufgaben
A 10861
L 10861
Gegeben ist der folgende Funktionsgraph:
(a) ist richtig
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-2
-2
-3
-3
cos(x)
1
2
3
4
-cos(x)-1
Durch welche der folgenden Funktionsgleichungen
wird er beschrieben?
Anmerkung(en):
(a) y = −1 − cos x
(b)
y = −1 + cos x
(c)
y = −1 − sin x
(d)
y = −1 + sin x
(e)
y = −2 − sin x
(f)
y = −2 + sin x
siehe:
[v.0001]
99
Mathematik — Aufgaben — 11143
Musteraufgaben
A 11143
L 11143
Geben Sie eine Kurve zweiten Grades an, die durch
die Punkte
( ) ( ) (
) (
) (
)
−1
5
0
1
−1
,
,
,
,
−2
−2
0
0
2
ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0
geht.
f =0
a+d+f =0
a + 4b − 2c − d + 2e + f = 0
a + 4b + 2c − d − 2e + f = 0
25a + 4b − 10c + 5d − 2e + f = 0
Welche geometrische Gestalt hat sie?
3a − 2e = 0
3b + e = 0
3c − 3e = 0
3d + 2e = 0
siehe:
3f = 0
2x2 − y 2 + 3xy − 2x + 3y = 0
...................................................
4x2 − 2y 2 + 6xy − 4x + 6y = 0
(
)
3
−2

0 −2
A′ =  −2
4
A=
4
3
3

3
3
3 −2
det (A) = −4201
det (A′ ) = 199920
=⇒
Hyperbel
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
-5
Anmerkung(en):
[v.0001]
100
Mathematik — Aufgaben — 11292
Musteraufgaben
A 11292
Berechnen Sie
(und machen Sie die Probe) . . .
() x · 123 = 15129
() x · 123 = 39483
() x · 128 = 7168
() x · 144 = 20736
() x · 175 = 36050
() x · 183 = 41175
() x · 225 = 2925
() x · 225 = 194625
() x · 285 = 3420
() x · 309 = 65199
() x · 328 = 51824
() x · 349 = 182178
() x · 482 = 156650
() x · 582 = 148992
() x · 625 = 78125
() x · 705 = 444855
() x · 708 = 235764
() x · 725 = 71775
() x · 758 = 84138
() x · 999 = 249750
L 11292
()
123
()
321
()
56
()
144
()
206
()
225
()
13
()
865
()
12
()
211
()
158
()
522
()
325
()
256
()
125
()
631
()
333
()
99
()
111
()
250
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
101
Mathematik — Aufgaben — 11302
Musteraufgaben
A 11302
L 11302
(a)
667 4526
5123
(a) 3421567 : 5123
(b)
799
998 5334
(b)
5324131 : 5334
(c)
983 3296
6135
(c)
6034001 : 6135
(d)
1904 3939
4321
(d)
8231123 : 4321
(e)
181
1278 6543
(e)
8362135 : 6543
(f)
1301 2586
7214
(f)
9388000 : 7214
Berechnen Sie:
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
102
Mathematik — Aufgaben — 11342
Musteraufgaben
L 11342
A 11342
Berechnen Sie:
x
10
9
x·7
x · 12
x · 18
x · 500
x · 6000
x
x·7
x · 12
x · 18
x · 500
x · 6000
10
70
120
180
5000
60000
9
630
108
163
4500
54000
100
700
1200
1800
50000
600000
100
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
103
Mathematik — Aufgaben — 11356
Musteraufgaben
A 11356
Berechnen Sie
(und machen Sie die Probe) . . .
(a) x : 1635 = 302
(b)
x : 3367 = 7633
(c)
x : 4050 = 1020
L 11356
(a)
493770
(b)
25700311
(c)
4131000
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0005]
104
Mathematik — Aufgaben — 11364
Musteraufgaben
A 11364
Berechnen Sie
(und machen Sie die Probe) . . .
(a) x − 13 = 4
(b)
x − 30 = 150
(c)
x − 48 = 27
(d)
x − 48 = 73
(e)
x − 49 = 23
(f)
x − 49 = 510
(g) x − 50 = 380
(h)
x − 77 = 830
L 11364
(a)
17
(b)
180
(c)
75
(d)
121
(e)
72
(f)
559
(g)
430
(h)
907
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
105
Mathematik — Aufgaben — 11416
Musteraufgaben
L 11416
A 11416
Zeichnen Sie die Punktmenge M1 ∩ M2 mit:
7
M1 = { P | P A ≤ 3 }
M2 = { P |
(
)
A 4 12 ; 4
B (3; 4)
1 12
≤ PB ≤ 3}
6
5
4
B
A
3
2
1
siehe:
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Anmerkung(en):
[v.0001]
106
Mathematik — Aufgaben — 11504
Musteraufgaben
A 11504
L 11504
Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler
(a)
3
(ggT).
(b)
8
(c)
21
(a) ggT (6, 21, 27, 33)
(b)
ggT (16, 24, 40, 56)
(c)
ggT (210, 315, 462, 1008, 1365)
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
107
Mathematik — Aufgaben — 11632
Musteraufgaben
A 11632
L 11632
Berechnen Sie:
x
16.15
1.0795
143.463
8.6054
69.53
x : 1.7
x
x : 1.7
16.15
9.5
1.0795
0.635
143.463
84.39
8.6054
5.062
69.53
40.9
14.195
8.35
14.195
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
108
Mathematik — Aufgaben — 11725
Musteraufgaben
A 11725
L 11725
Gegeben ist die Funktion f : x 7−→ −x3 − 3x2 . Die
(3 − k) · (−f (k))
2
)
1 2(
= k 9 − k 2 > 0 für − 3 ≤ k ≤ 3
2
(
)
′
A (k) = k 9 − 2k 2
Gerade x = k (−3 ≤ k ≤ 0) schneidet den Graph von
f im Punkt A, die x-Achse im Punkt B. Zusammen
mit dem Punkt C (3; 0) bilden die Punkte A, B und
C ein Dreieck.
Berechnen Sie k so, dass die Fläche des Dreiecks
ABC maximal wird.
A (k) =
A′ (k) = 0
(
)
k 9 − 2k 2 = 0
k1 = 0
Berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt.
siehe:
3
k2 = − √
2
3
k3 = + √
2
,
da k3 ∈
/ [−3; 0]
A (0) = 0
(
)
81
3
=
A −√
8
2
A (3) = 0
4
3
2
1
B
C
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-2
-3
A
-4
-5
-6
Anmerkung(en):
[v.0001]
109
Mathematik — Aufgaben — 12996
Musteraufgaben
A 12996
Bestimmen Sie alle Partitionen von:
X = { a, b, c, d }
siehe:
L 12996
P1 = { {abcd} }
P2 = { {a}, {bcd} }
P3 = { {b}, {acd} }
P4 = { {c}, {abd} }
P5 = { {d}, {abc} }
P6 = { {ab}, {cd} }
P7 = { {ac}, {bd} }
P8 = { {ad}, {bc} }
P9 = { {a}, {b}, {cd} }
P10 = { {a}, {c}, {bd} }
P11 = { {a}, {d}, {bc} }
P12 = { {b}, {c}, {ad} }
P13 = { {b}, {d}, {ac} }
P14 = { {c}, {d}, {ab} }
P15 = { {a}, {b}, {c}, {d} }
Anmerkung(en):
[v.0001]
110
Mathematik — Aufgaben — 13131
Musteraufgaben
A 13131
Untersuchen Sie die Gleichung |2x − b| + 2b = 0 auf
Lösbarkeit.
L 13131
(i) 2x − b ≥ 0 :
b
x≥
2
siehe:
(2x − b) + 2b = 0
2x + b = 0
x=−
=⇒
(ii)
b
2
b≤0
2x − b ≤ 0 :
b
x≤
2
−(2x − b) + 2b = 0
−2x + 3b = 0
3b
x=
2
=⇒
b≤0
Anmerkung(en):
[v.0001]
111
Mathematik — Aufgaben — 13214
Musteraufgaben
A 13214
Berechnen Sie:
(a) 1.88 · 0.0012
(b)
1.88 · 0.12
(c)
1.88 · 1.2
(d)
1.88 · 12
L 13214
(a)
0.00226
(b)
0.2256
(c)
2.256
(d)
22.56
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
112
Mathematik — Aufgaben — 13465
Musteraufgaben
A 13465
L 13465
Bestimmen Sie die Definitionsmenge:
Der Nenner darf nicht 0 werden;
der Radikant darf nicht negativ werden;
√
f (x) =
x−2
x2 − 4
damit:
(i) x2 − 4 ̸= 0
x ̸= ±2
siehe:
(ii)
x−2
≥0
x2 − 4
(ii.i)
x−2≥0
| für x2 − 4 > 0
x≥2
=⇒
(ii.ii)
x−2≤0
x≤2
=⇒
=⇒
x>2
| für x2 − 4 < 0
x ∈ ]−2; +2[
Df = ]−2; +2[ ∪ ]+2; +∞[
Anmerkung(en):
Der Bruch darf hier nicht gekürzt werden. Auch wenn
die Definitionslücke bei +2 stetig behebar ist, so existiert sie formal erst einmal.
[v.0001]
113
Mathematik — Aufgaben — 13718
Musteraufgaben
A 13718
L 13718
x −
Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
(L ⊆ N) bzw. (L ⊆ R)
x −
siehe:
5 3
≤
2 2
−
5 3
≤
2 2
3
5
3
≤x− ≤
2
2
2
1≤x≤4
Anmerkung(en):
[v.0002]
114
Mathematik — Aufgaben — 13789
Musteraufgaben
A 13789
L 13789
y ′ = g (x) h (y)
∫ y
∫ x
1
dv =
g (u) du
y0 h (v)
x0
Bestimmen Sie die Lösung(en) der Diﬀerentialgleichung . . .
y′ + y2 = 1
siehe:
Lösung
dy
= 1 − y2
dx
g (x) = 1
y′ =
h (y) = 1 − y 2
...................................................
konstante Lösung(en):
h (y) = 1 − y 2 = 0
yk = ±1
...................................................
allgemeine Lösung:
∫
y
y0
1
dv =
1 − v2
∫
x
1 du
x0
atanh (y) − atanh (y0 ) = x − x0
| |x| < 1
y = tanh (x + C0 )
C0 = atanh (y0 ) − x0
acoth (y) − acoth (y0 ) = x − x0
| |x| > 1
y = coth (x + C0 )
C0 = acoth (y0 ) − x0
Anmerkung(en):
[v.0001]
115
Mathematik — Aufgaben — 13793
Musteraufgaben
A 13793
L 13793
y ′ = f (x, y) = g (x) h (y)
∫ y
∫ x
1
dv =
g (u) du
y0 h (v)
x0
Bestimmen Sie die Lösung(en) der Diﬀerentialgleichung . . .
(y ′ )2 =
y2 − 1
x2 − 1
siehe:
05276, 05306, 13793
Lösung
(i) |x| > 1, |y| > 1
(ii)
√
y2 − 1
x2 − 1
1
g (x) = ± √
2
x −1
√
h (y) = ± y 2 − 1
dy
y =
=±
dx
′
|x| < 1, |y| < 1
√
1 − y2
1 − x2
1
g (x) = ± √
1 − x2
√
h (y) = ± 1 − y 2
...................................................
dy
y =
=±
dx
′
konstante Lösung(en):
h (y) = 0
y2 = 1
y1;2 = ±1
...................................................
allgemeine Lösung:
∫
y
(i)
y0
∫
1
±√
dv =
v2 − 1
x
x0
1
±√
du
2
u −1
cosh y = ± cosh x + C
(
)
√
√
y + y 2 − 1 = ± x + x2 − 1 · C
∫
y
(ii)
y0
1
±√
dv =
1 − v2
∫
x
x0
1
±√
du
1 − u2
asin y = ± asin x + C
acos y = ± acos x + C
Anmerkung(en):
Die Integrale lassen sich auf verschiedene Art lösen,
so dass es viele Lösungen dieser Dgl. gibt.
[v.0001]
116
Mathematik — Aufgaben — 13832
Musteraufgaben
L 13832 (1)
A 13832 (1)
Bestimmen Sie die Lösung(en) der Diﬀerentialglei-
y ′ + p (x) y + q (x) y a = 0
chung . . .
′
(
z = y 1−a
)
xy − y + xy (1 + ln x) = 0
3
z ′ + (1 − a) pz = (a − 1) q
siehe:
y ′ + p (x) y = q (x)
∫ x
I=
p (u) du
04768, 13832
x0
+
E = exp (+I)
E − = exp (−I) =
1
E+
yh = y0 E −
[∫ x
]
+
yp =
q (u) E du E −
x0
Lösung
Substitution:
y′ −
y
− (1 + ln x) y 3 = 0
x
1
x
q = − (1 + ln x)
a=3
1
z = y −2 = 2
y
p=−
2
z = −2 (1 + ln x)
x
2
p (x) =
x
q (x) = −2 (1 + ln x)
...................................................
∫ x
2
I=
du
x0 x
z′ +
= 2 ln |x| − 2 ln |x0 |
E+ =
x2
x20
x20
x2
...................................................
E− =
konstante Lösung:
yk = 0
...................................................
117
Mathematik — Aufgaben — 13832
Musteraufgaben
A 13832 (2)
L 13832 (2)
homogene Lösung:
1
x2
...................................................
zh = z0 x20 ·
partikuläre Lösung:
[∫
] 2
x2
x
zp =
−2 (1 + ln x) · 2 du · 20
x
x
x0
0
[∫ x
]
1
−2x2 − 2x2 ln x du · 2
=
x
x0
]
[
2 3
2 3
1
= − x (2 + 3 ln x) + x0 (2 + 3 ln x0 ) · 2
9
9
x
...................................................
x
allgemeine Lösung:
]
[
z0 x20
1
2 3
2 3
(2
+
3
ln
x
)
· 2
+
−
x
(2
+
3
ln
x)
+
x
0
x2
9
9 0
x
]
[
2 3
1
2 3
2
= z0 x0 − x (2 + 3 ln x) + x0 (2 + 3 ln x0 ) · 2
9
9
x
[
]
1
2 3
1
= C0 − x (2 + 3 ln x) · 2
y2
9
x
z=
y2 =
9x2
9C0 − 2x3 (2 + 3 ln x)
C0 =
2
x20
+ x30 (2 + 3 ln x0 )
y02
9
Anmerkung(en):
[v.0001]
118
Mathematik — Aufgaben — 13955
Musteraufgaben
A 13955
L 13955
Ein rechteckiges Grundstück von 37.4 m Breite
und 47.8 m Länge hat denselben Umfang wie ein
U : 4 = 170.4 : 4
U = 2 · (37.4 + 47.8) = 170.4 m
= 42.6 m
quadratisches Grundstück.
AR = 37.4 · 47.8
= 1787.72 m2
Vergleichen Sie die Größe der beiden Grundstücke
AQ = 42.62
= 1814.76 m2
miteinander.
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
119
Mathematik — Aufgaben — 13988
Musteraufgaben
A 13988
Markieren Sie falsche Terme und verbessern Sie
diese.
6 · 4 = 24
48 : 2 = 24
3 · 7 = 24
100 − 76 = 24
11 + 13 = 24
5 · 6 = 24
(2 · 6) · 2 = 24
L 13988
6 · 4 = 24
48 : 2 = 24
3 · 7 = 21
100 − 76 = 24
11 + 13 = 24
5 · 6 = 30
(2 · 6) · 2 = 24
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0001]
120
Mathematik — Aufgaben — 14006
Musteraufgaben
A 14006
L 14006
Erstellen Sie eine Gleichung und berechnen Sie den
gesuchten Wert.
(a)
x · 80 = 10000
x = 125
(a) Wenn man eine Zahl mit 80 multipliziert,
(b)
124875 : x = 999
x = 125
erhält man die kleinste 5stellige Zahl.
(b)
(c)
208 · x = 27664
x = 133
(d)
81792 : x = 568
x = 144
(e)
heißt der Divisor, wenn der Dividend 81792
beträgt?
x − 58 = 87
x = 145
(f )
Von welcher Zahl muss man 58 abziehen, um
87 zu erhalten?
x + 450 = 596
x = 146
(g)
76 + 76 = x
Durch welche Zahl muss man 124875 teilen,
um die größte 3stellige Zahl zu erhalten?
(c)
Mit welcher Zahl muss man 208 malnehmen,
um 27664 zu erhalten?
(d)
Der Wert des Quotienten ist 568. Wie
(e)
(f )
Wenn man eine Zahl um 450 vergrößert,
erhält man 596.
x = 152
Anmerkung(en):
(g) Beide Summanden sind 76.
siehe:
[v.0001]
121
Mathematik — Aufgaben — 14242
Musteraufgaben
A 14242
Berechnen Sie das (unbestimmte) Integral / die
Stammfunktion . . .
∫
I = x2 ln2 x dx
siehe:
L 14242
∫
b
a
b
u′ v dx = uv a −
u′ = x2
1
u = x3
3
v = ln2 x
2
v ′ = ln x
x
u′ = x2
1
u = x3
3
v = ln x
1
v′ =
x
∫
b
uv ′ dx
a
Lösung
∫
1 3 2
1 3 2
I = x ln x −
x · ln x dx
3
3
x
∫
1
2
= x3 ln2 x −
x2 ln x dx
3
3
(
)
∫
1 3 2
2 1 3
1 3 1
= x ln x −
x · ln x −
x · dx
3
3 3
3
x
∫
1
2
2
= x3 ln2 x − x3 ln x +
x2 dx
3
9
9
1
2
2
= x3 ln2 x − x3 ln x + x3
3
9
27
)
1 3( 2
=
x 9 ln x − 6 ln x + 2
27
Anmerkung(en):
[v.0001]
122
Mathematik — Aufgaben — 14301
Musteraufgaben
A 14301
L 14301
Berechnen Sie . . .
(a)
500
(a) 1000 − 500
(b)
400
(c)
200
(d)
999
(e)
605
(f)
940
(b)
1000 − 600
(c)
1000 − 800
(d)
1001 − 2
(e)
1006 − 401
(f)
1020 − 80
(g) 1050 − 100
(h)
1100 − 200
(i)
1100 − 250
(j)
1100 − 370
(k) 1100 − 550
(l)
1100 − 985
(m) 1213 − 1136
(n)
1236 − 300
(o) 1334 − 996
(p)
1545 − 593
(q) 1674 − 591
(r) 1800 − 90
(s) 1965 − 446
(t)
1988 − 809
(u)
1999 − 1767
(g)
950
(h)
900
(i)
850
(j)
730
(k)
550
(l)
115
(m)
77
(n)
936
(o)
338
(p)
952
(q) 1083
(r) 1710
(s)
1519
(t)
1179
(u)
232
Anmerkung(en):
siehe:
[v.0002]
123
Mathematik — Aufgaben — 14313
Musteraufgaben
L 14313
0.
fc (x) = −x3 + x2 + cx
Funktionen
v=
w=
0.1. Funktion(en)
√
√
3c + 1
4c + 1
(
)
= −x x2 − x − c
f (x)
f0 (x) = −x3 + x2
= −x2 (x − 1)
)
1 (
1
f−1/3 (x) = −x3 + x2 − x = − x 3x2 − 3x − 1
3
3
1
1
2
f−1/4 (x) = −x3 + x2 − x = − x (2x − 1)
4
4
0.2. Ableitungen
f ′ (x) = −3x2 + 2x + c
f0′ (x) = −3x2 + 2x = −x (3x − 2)
)
1(
1
′
f−1/3
(x) = −3x2 + 2x − = − 9x2 − 6x − 1
3
3
1
1
′
2
f−1/4 (x) = −3x + 2x − = − (2x − 1) (6x − 1)
4
4
′′
f (x) = −6x + 2
f ′′′ (x) = −6
)
1 2( 2
x 3x − 4x − 6c + C
12
0.3. Stammfunktion
F (x) = −
0.4. Umkehrfunktion
f −1 (x) = . . .
0.5. Tangente
(
)
t (x0 ) = −3x20 + 2x0 + c · x + 2x30 − x20
0.6. Normale
n (x0 ) =
1.
(
)
x0
1
· x + −x30 + x20 + cx0 +
2
− 2x0 − c
−3x0 + 2x0 + c
)
)
)(
(( 2
2
x0 − x0 − c −3x0 + 2x0 + c + 1 x0
1
= 2
·x+
3x0 − 2x0 − c
3x20 − 2x0 − c
Definitions– und Wertebereiche
1.1. Definitionsmenge
Df = R
1.1.1. Definitionslücken
(keine)
1.2. Wertemenge
Wf = R
2.
Grenzwerte
2.3. Verhalten im
Unendlichen
lim f (x) = +∞
x→−∞
lim f (x) = −∞
x→+∞
3.
3x20
Symmetrie
3.2. Punktsymmetrie
124
Mathematik — Aufgaben — 14313
Musteraufgaben
3.2.2. zu
(
)
1 2 + 9c
S
;
3
27
f¯ (x) = f (x + xS ) − yS
)
(
1
2
= x −x + c +
3
(
)
1
f¯ (−x) = −x −x2 + c +
= −f¯ (x)
3
=⇒
=⇒
S
f¯ (x) ist symmetrisch zu O (0; 0)
(
)
1 2 + 9c
f (x) ist symmetrisch zu S
;
3
27
x
f (x)
1
3
2 + 9c
27
1
1 + 3c
·x−
3
27
3.3. Tangente(n)
tS : y =
3.4. Ortskurve
x (c) =
c = ...
=⇒
1
3
4.
1
⇐⇒
3
2 + 9c
y (c) =
27
oS : x (y) =
Schnittpunkte mit den Achsen
4.1. mit der y-Achse
f (0) = 0
Y
x
f (x)
0
0
φ = . . .◦
125
Mathematik — Aufgaben — 14313
Musteraufgaben
4.2. mit der x-Achse
(
)
f (x) = −x x2 − x − c = 0
(Nullstellen)
(i) x = 0
(ii)
x2 − x − c = 0
1±w
x=
2
(i) c < −
1
4
X
(ii)
c=−
x
f (x)
0
0
1
4
X1
X23 = E
(iii) c > −
1
4
X1
X2
X3
4.3. Vorzeichen
f (x)
0
1
2
0
0
x
f (x)
0
1−w
2
1+w
2
0
0
0
f ′ (xX1 ) = c
{
> 0 für c > 0 =⇒ X1
< 0 für c < 0 =⇒ X1
w
f ′ (xX2 ) = − (w − 1)
2
{
> 0 für c < 0 =⇒ X2
< 0 für c > 0 =⇒ X2
w
f ′ (xX3 ) = − (w + 1)
2
< 0 =⇒ X3 positiv nach
c<−
]
x∈
]
x∈
]
x∈
]
x∈
4.4. Tangente(n)
x
tY :
1−w
−∞ ;
2
1−w
;0
2
1+w
0;
2
1+w
; +∞
2
1
4
negativ nach positiv
positiv nach negativ
negativ nach positiv
positiv nach negativ
negativ
c=−
1
4
−
1
<c<0
4
0<c
[
positiv
positiv
positiv
positiv
”
”
negativ
negativ
negativ
negativ
positiv
positiv
”
positiv
negativ
”
[
[
[
φ = . . .◦
y = cx
tX1 : y = cx
w
tX2 : y = − (w + 1) · x +
2
w
tX3 : y = − (w + 1) · x +
2
φ = . . .◦
w
(w − 2c − 1)
2
w
(w + 2c + 1)
2
φ = . . .◦
φ = . . .◦
126
Mathematik — Aufgaben — 14313
Musteraufgaben
5.
Steigungsverhalten
5.1. Extrempunkte
f ′ (x) = −3x2 + 2x + c = 0
1±v
x=
3
(i) c < −
1
3
c=−
1
3
(ii)
keine Extrempunkte
E12 = W
(iii) c > −
1
3
E1
E2
5.2. Monotonie
f ′′ (xE1 ) = +2v > 0
′′
f (xE2 ) = −2v < 0
x
f (x)
1
3
−
1
27
x
f (x)
1−v
3
1+v
3
)
1 (
9c + 2 − 2v 3
27
)
1 (
9c + 2 + 2v 3
27
=⇒
E1 ist Minimum
=⇒
E2 ist Maximum
c<−
]
x∈
]
x∈
]
x∈
5.3. Tangente(n)
5.4. Ortskurve
1−v
−∞ ;
3
1−v 1+v
;
3
3
1+v
; +∞
3
1
3
−
1
<c
3
streng monoton
fallend
fallend
fallend
streng monoton
”
”
steigend
streng monoton
”
fallend
fallend
[
[
)
1 (
9c + 2 − 2v 3
27
)
1 (
: y=
9c + 2 + 2v 3
27
φ = 0.0◦
tE2
φ = 0.0◦
1−v
(1 − 3x)2 − 1
⇐⇒ c =
3
3
)
1 (
3
y (c) =
9c + 2 − 2v
27
E1 : x (c) =
oE1 : y (x) = 2x3 − x2
(3x − 1)2 − 1
1+v
⇐⇒ c =
3
3
)
1 (
y (c) =
9c + 2 + 2v 3
27
E2 : x (c) =
=⇒
c=−
[
tE1 : y =
=⇒
1
3
oE2 : y (x) = 2x3 − x2
127
Mathematik — Aufgaben — 14313
Musteraufgaben
6.
Krümmungsverhalten
6.1. Wendepunkte
f ′′ (x) = −6x + 2 = 0
W
6.2. Krümmung
x
f (x)
1
3
2 + 9c
27
f ′′′ (xW ) = −6 < 0
=⇒
W links nach rechts
]
[
1
x ∈ −∞ ;
3
[
]
1
; +∞
x∈
3
linksgekrümmt
rechtsgekrümmt
1 + 3c
1
·x−
3
27
6.3. Tangente(n)
tW : y =
6.4. Ortskurve
x (c) =
c = ...
=⇒
1
3
7.
1
⇐⇒
3
2 + 9c
y (c) =
27
oW : x (y) =
φ = . . .◦
Scharkurven
7.1. gemeinsame
Punkte
fc1 = fc2
−x + x + c1 x = −x3 + x2 + c2 x
(c1 − c2 ) x = 0
3
2
x
f (x)
0
0
G
7.2. keine Punkte
fc (x) = y = −x3 + x2 + cx
⇐⇒
c=
y + x3 − x2
x
Außer G wird kein Punkt auf der Geraden x = 0 (y-Achse) erreicht.
128
Mathematik — Aufgaben — 14313
Musteraufgaben
8.
Graph(en) der Funktion(en)
8.2. Graph(en)
f-1/4
f0 f-1/3
f2
1
1
-1
oE
9.
f1
-1
K
oW f-2
f-1
weitere Aufgaben / Fragen
10.
Anmerkung(en)
xxxx
siehe:
[v.0001]
129
Mathematik — Aufgaben — 14426
Musteraufgaben
L 14426
0.
f (x) =
1 2
16
x + 2x −
3
3
Funktionen
0.1. Funktion
0.1.1. quadratische
Ergänzung
0.1.2. Diskriminante
0.2. Ableitungen
1 2
16
x + 2x −
3
3
)
1( 2
=
x + 6x − 16
3
1
= (x + 8) (x − 2)
3
f (x) =
]
1 2
1[ 2
16
x + 2x −
=
x + 6x − 16
3
3
3
]
1[ 2
x + 6x + 9 − 9 − 16
=
3
)
]
1 [( 2
x + 6x + 9 + (−9 − 16)
=
3
]
1[
2
=
(x + 3) − 25
3
1
25
2
= (x + 3) −
3
3
2
D = (2) + 4 ·
1 16
100
·
=
3 3
9
2
x+2
3
2
f ′′ (x) =
3
′′′
f (x) = 0
f ′ (x) =
0.4. Umkehrfunktionen
)
1 ( 2
x x + 9x − 48 + C
9
√
−1
f1;2
(x) = ± 3x + 25 − 3
0.5. Tangente
t (x0 ) =
0.6. Normale
n (x0 ) = −
0.3. Stammfunktion
F (x) =
(
)
(
)
2
1 2 16
x0 + 2 · x −
x0 +
3
3
3
=−
1.
)
3
1( 2
3x0
·x+
x0 + 6x0 − 16 +
2x0 + 6
3
2x0 + 6
2x3 + 18x20 + 13x0 − 96
3
·x+ 0
2x0 + 6
6x0 + 18
Definitions– und Wertebereiche
1.1. Definitionsmenge
Df = R
a ̸= 0
1.1.1. Definitionslücken
(keine)
1.2. Wertemenge
[
]
25
Wf = − ; +∞
3
130
Mathematik — Aufgaben — 14426
Musteraufgaben
2.
Grenzwerte
2.3. Verhalten im
Unendlichen
lim f (x) = +∞
x→−∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
3.
Symmetrie
3.1. Achsensymmetrie
3.1.2. zur Geraden
mit s : x = −3
(Parallele zur
1
25
= x2
f¯ (x) = f (x − 3) +
3
3
f¯ (−x) = +f¯ (x)
y-Achse)
4.
=⇒
f¯ (x) ist symmetrisch zu x = 0
=⇒
f (x) ist symmetrisch zu s : x = −3
Schnittpunkte mit den Achsen
4.1. mit der y-Achse
f (0) = −
Y
4.2. mit der x-Achse
(Nullstellen)
16
3
x
f (x)
0
−
16
3
1 2
16
x + 2x −
=0
3
3
⇐⇒ x2 + 6x − 16 = 0
√
2
−6 ∓ (6) + 4 · 1 · 16
=
2·1
• f (x) =
x1;2
1
25
2
(x + 3) −
=0
3
3
√
= ∓ 25 − 3
• f (x) =
x1;2
4.3. Vorzeichen
4.4. Tangente(n)
x
f (x)
X1
−8
0
X2
2
0
x ∈ ] −∞ ; −8 [
positiv
x ∈ ] −8 ; 2
[
negativ
x∈]
2 ; +∞ [
positiv
tY :
y =2·x−
10
·x−
3
10
: y =+ ·x−
3
tX1 : y = −
tX2
16
3
φ = +63.4◦
80
3
20
3
φ = −73.3◦
φ = +73.3◦
131
Mathematik — Aufgaben — 14426
Musteraufgaben
5.
Steigungsverhalten
5.1. Extrempunkte
• f (x) =
1
25
2
(x + 3) −
3
3
• f ′ (x) =
2
x+2=0
3
x
−3
E=S
5.2. Monotonie
5.3. Tangente(n)
6.
f (x)
f ′′ (xE ) = +
−
2
>0
3
25
3
=⇒
Minimum
x ∈ ] −∞ ; −3 [
streng monoton
fallend
x ∈ ] −3 ; +∞ [
streng monoton
steigend
tE : y = −
25
3
φ = 0.0◦
Krümmungsverhalten
6.1. Wendepunkte
f ′′ (x) =
2
̸= 0
3
(keine)
6.2. Krümmung
f ′′ (x) = 2a = +
2
>0
3
x ∈ ] −∞ ; +∞ [
7.
Scharkurven
8.
Graph(en) der Funktion(en)
8.1. Wertetabelle
8.2. Graph(en)
9.
9.1.
−7
f (x)
−3
linksgekrümmt (= nach oben oﬀen)
−6
−5
−4
16
3
−7
−8
−
16
1 2
x + 2x −
=0
3
3
x2 = −6x + 16
f (x) =
weitere Aufgaben / Fragen
Fläche zwischen
x-Achse und
Funktion
10.
x
∀ x ∈ Df
Anmerkung(en)
A=
6·
1
( 1 )2 ·
3
√(
100
9
)3
=
500
9
−3
−2
−1
25
3
−8
−7
−
0
−
16
3
1
2
−3
0
132
Mathematik — Aufgaben — 14426
Musteraufgaben
siehe:
[v.0001]
133
Mathematik — Aufgaben — 14436
Musteraufgaben
A 14436
L 14436
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:
x+y =9
(1)
y+z =5
(2)
x+z =2
(3)
(i)
x+y =9
(ii)
y+z =5
(iii)
x+z =2
siehe:
2x = 6
(3) + (1) − (2)
2y = 12
(1) + (2) − (3)
2z = −2
(2) + (3) − (1)
x=3
y=6
z = −1
Anmerkung(en):
[v.0001]
134
Mathematik — Aufgaben — 14467
Musteraufgaben
A 14467
L 14467
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:
2x − 3y + z = 9
x+y+z =3
(i) 2x − 3y + z = 9
(ii)
x+y+z =3
(iii)
x−z =0
siehe:
x−z =0
⇐⇒
z=x
3x − 3y = 9
2x + y = 3
⇐⇒
y = 3 − 2x
x=2
y = −1
z=2
Anmerkung(en):
[v.0001]
135
Mathematik — Aufgaben — 14526
Musteraufgaben
A 14526
L 14526
f ∈ Π3
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzra-
(i)
tionalen Funktion 3. Grades, die in P (−2; 1) eine
(ii)
P (−2; 1) ∈ f
waagrechte Tangente besitzt und die die x-Achse an
(iii)
f ′ (xP ) = 0
(iv)
X (3; 0) ∈ f
(v)
f ′ (xX ) = 1
◦
der Stelle 3 unter einem Winkel von 45 schneidet.
siehe:
...................................................
f ∈ Π3 :
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
f ′ (x) = 3ax2 + 2bx + c
f ′′ (x) = 6ax + 2b
...................................................
P (−2; 1) ∈ f :
1 = a(−2)3 + b(−2)2 + c(−2) + d
1 = −8a + 4b − 2c + d
...................................................
f ′ (xP ) = 0 :
0 = 3a(−2)2 + 2b(−2) + c
0 = 12a − 4b + c
...................................................
X (3; 0) ∈ f :
0 = a(3)3 + b(3)2 + c(3) + d
0 = 27a + 9b + 3c + d
...................................................
f ′ (xX ) = 1 :
1 = 3a(3)2 + 2b(3) + c
1 = 27a + 6b + c
...................................................
−8a + 4b − 2c + d = 1
12a − 4b + c = 0
27a + 9b + 3c + d = 0
27a + 6b + c = 1
7
125
2
b=
125
76
c=−
125
21
d=
125
a=
=⇒
f (x) =
)
1 ( 3
7x + 2x2 − 76x + 21
125
Anmerkung(en):
[v.0001]
136
Mathematik — Aufgaben — 14546
Musteraufgaben
A 14546 (1)
Ein Laplace-Würfel wird zweimal geworfen und zeigt
die Augenzahlen a und b. Gegeben ist die Zufallsvari-
L 14546 (1)
a+b
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
able
X : (a, b) 7−→ a + b
Bestimmen Sie
(a) die Verteilung;
(b)
ihre Verteilungsfunktion;
(c)
ihren Erwartungswert;
(d)
ihre Varianz;
(e)
ihre Standardabweichung.
P −1 (X)
11 12 13 14 15 16 26 36 46 56 66
21 22 23 24 25 35 45 55 65
31 32 33 34 44 54 64
41 42 43 53 63
Zeichnen Sie
(f)
(i)
61
das Stabdiagramm;
(g) das Histogramm;
(h)
51 52 62
das Wahrscheinlichkeitspolygon;
x
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
P (X = x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
F (x)
1
36
3
36
6
36
10
36
15
36
21
36
26
36
30
36
33
36
35
36
1
die Verteilungsfunktion.
Zeichnen Sie
(j)
den Erwartungswert;
E (X) =
(k) den Bereich der einfachen
Standardabweichung ein.
siehe:
1
· (2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 5
36
+ 7 · 6 + 8 · 5 + 9 · 4 + 10 · 3
+ 11 · 2 + 12 · 1)
252
=
=7
36
( )
1 ( 2
E X2 =
· 2 · 1 + 32 · 2 + 42 · 3 + 52 · 4
36
+ 6 2 · 5 + 72 · 6 + 82 · 5 + 92 · 4
)
+ 102 · 3 + 112 · 2 + 122 · 1
1974
= 54.83
36
(
)2
1974
252
Var (X) =
−
36
36
=
35
= 5.83
6
√
35
=
6
= 2.41
=
sX
137
Mathematik — Aufgaben — 14546
Musteraufgaben
A 14546 (2)
L 14546 (2)
35/36
30/36 6/36
25/36 5/36
20/36 4/36
15/36 3/36
10/36 2/36
5/36 1/36
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Anmerkung(en):
[v.0001]
138
Mathematik — Aufgaben — 14570
Musteraufgaben
A 14570
Berechnen Sie . . .
L 14570
(a)
5 + 2 · (3 + 4 · 2) =
(a) 5 + 2 · (3 + 4 · (5 − 3))
(b)
(5 − 3 · (−8)) · 5 − 2 · 7
(c)
(8 · (−16)) : (−4)
(d)
(−9 − (−2) · (−4)) · (−2)
(e)
(9 · (−5)) : (−3)
5 + 2 · (3 + 4 · (5 − 3)) =
5 + 2 · (3 + 8) =
5 + 2 · 11 =
5 + 22 = 27
(b)
(5 − 3 · (−8)) · 5 − 2 · 7 =
(5 − (−24)) · 5 − 14 =
29 · 5 − 14 =
siehe:
145 − 14 = 131
(c)
(8 · (−16)) : (−4) =
(−128) : (−4) = 32
(d)
(−9 − (−2) · (−4)) · (−2) =
(−9 − 8) · (−2) =
(−17) · (−2) = 34
(e)
(9 · (−5)) : (−3) =
(−45) : (−3) = 15
Anmerkung(en):
[v.0001]
139
Mathematik — Aufgaben —
Anhang
Anhang
140
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Symbole und Abkürzungen
Anhang
Symbole und Abk
urzungen
141
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Symbole und Abkürzungen
Geometrie
⌢
AB
Bogen(länge) von A nach B
AB
AB
Gerade durch A und B
Länge der Stecke von A nach B
[AB]
Strecke von A nach B
[AB
Halbgerade von A durch B
⊥
senkrecht
∥
parallel
^ ABC
, Winkel von A über Scheitel B nach C
rechter Winkel
Mengen
N = Z+
N0 =
= {1, 2, 3, . . .}, natürliche Zahlen, exkl. 0
Z+
0
= {0, 1, 2, 3, . . .}, natürliche Zahlen, inkl. 0
Z
= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}, ganze Zahlen
Q
rationale Zahlen
R
C
reelle Zahlen
komplexe Zahlen
H
Quaternionen
Z ,Q ,R ,C
+
+
+
+
+
+
+
Z+
0 , Q0 , R 0 , C 0
−
−
−
−
positive Zahlen
nicht-negative Zahlen
Z ,Q ,R ,C
negative Zahlen
−
−
−
Z−
0 , Q0 , R0 , C0
nicht-positive Zahlen
Z/nZ = Zn
Fn
[A; B]
geschlossenes Intervall von A nach B
]A; B] = (A; B]
links halboﬀenes Intervall
[A; B[= [A; B)
rechts halboﬀenes Intervall
]A; B[= (A; B)
oﬀenes Intervall
–¿ mengen N=N0, ohne null mit *, +- dann unten
m∈M
m ist Element der Menge M
m∈
/M
m ist nicht Element der Menge M
∩
∪
⊂, ⊆
(
|M | = cardM
(= #M ) Mächtigkeit (Kardinalität)
M
(= {M = M C ) Komplementmenge
Lineare Algebra
|·|
Betrag
∥·∥
Norm
∥·∥1
∥·∥2
Euklidsche Norm
⟨·, ·⟩ Skalarprodukt
142
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Symbole und Abkürzungen
Matrizen
MBC
(= B MC = MBC ) Basiswechselmatrix (Transformationsmatrix) von B nach C
P(M )
Potenzmenge der Menge M
TNF
Treppennormalform (ZSF, Zeilenstufenform)
A
konjugierte
A
(= A′ , At , tA) transponierte
A−1
AAd
A·
inverse
Adjunkte
adjungierte
AH
|·|
hermitesche
Determinante
E, En , I, In
Einheitsmatrix
T
M (z×s, R)
Mzs (R)
K[T ]
R[T ]
⟨vi ⟩
(= L(vi )) Erzeugendensystem
bild (f )
Bild der Funktion f , (= Im(f), image)
kern (f )
Kern der Funktion f
– xxx
id
identische Abbildung
0
1
neutrales Element bzgl. +
neutrales Element bzgl. ·
Logik
∧
∨
⇒
⇔
∀ x : A (x)
(alt:
∃ x : A (x)
(alt:
∧
∨
x) für alle x gilt die Eigenschaft A (x)
x) es existiert (mindestens) ein x mit der Eigenschaft A (x)
∃! x : A (x) es existiert (genau) ein x mit der Eigenschaft A (x)
Analysis
L = L(Rn ) Raum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen
c
c0
D
Menge der konvergenten Folgen
Menge der gegen Null konvergenten Folgen
Definitionsmenge
C 0 (M )
Menge der auf M stetigen Funktionen
C k (M )
Menge der auf M k-mal stetig diﬀerenzierbaren Funktionen
f
−1
Umkehrfunktion zu f
G
(oft für) Grundmenge
ℓ∞
ω
Tn
Raum der beschränkten Folgen
Raum der reellen Folgen
Raum der Treppenfunktionen in Rn
143
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Symbole und Abkürzungen
W
Wertemenge
Funktionen
logb a
(selten auch: b log a
atan
tan
Arcustangens (veraltet auch: atan φ = arc(tan = φ) )
Tangens (auch tg)
Analysis / Kurvendiskussion
an
Koeﬃzient bei xn
E
Emax
Extrempunkt
Maximum
Emin
G
m
Minimum
gemeinsame Punkte
Steigung
nP
Π − n, P n
Normale im Punkt P
Polynom vom Grad ≤ n
S
tP
W
Symmetrieachse bzw. Symmetriepunkt
Tangente im Punkt P
Wendepunkt
wQ13
Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten
X
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
X
Y
′
Nullstelle der Ableitung
Schnittpunkt mit der y-Achse
Stochastik
ZV
Zufallsvariable(n)
W- . . .
Wahrscheinlichkeit(s)-. . .
L- . . .
Laplace-. . .
P (A|B)
= PB (A) bedingte Wahrscheinlichkeit; W für A unter Bedingung B
h
relative Häufigkeit
H
absolute Häufigkeit
unsortiert
∑
∏
(zV) zyklische Vertauschung
LE
FE
Längeneinheit
Flächeneinheit
VE
Volumeneinheit
Einheiten
cbm
cdm
Kubikmeter
Kubikdezimeter
Dz., Dtz.
dz, Dzt.
h
Dutzend
Doppelzentner
Stunde
144
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Symbole und Abkürzungen
hl
Hektoliter
l
m
m, min
Liter
Meter
Minute
Pfd.
qdm
Pfund
Quadratdezimeter
qm
Ztr.
Quadratmeter
Zentner
Währungen
DM
Deutsche Mark
öS, S, g
(österreichischer) Schilling, Groschen
Pf
(deutscher) Pfennig
zl
Zloty
unsortiert
Dgl., DGL
Diﬀerentialgleichung
LGS
NR
lineares Gleichungssystem
Nebenrechnung
v.H.
vom Hundert (= Prozent)
v.T.
vom Tausend (= Promille)
—————–
als Bedingung:
(a, b, . . .) ̸= (0, 0, . . .)
oder
a2 + b2 + . . . > 0
oder |a| + |b| + . . . > 0
alles bedeutet:
einzelne a, b, . . . konnen 0 werden, aber nicht gleichzeitig alle
———–
a · b · · · ̸= 0
kein einziges a, b, . . . darf 0 sein
———–
a ̸= b ̸= c ̸= . . .
soll bedeuten, dass alle variablen verschieden sein müssen; bedeutet aber nur, dass a ̸= b und b ̸= c, d.h. aber
nicht zwingend, dass auch a ̸= c ist;
korrekt sollte man schreiben: ,,a, b, c, . . . sind paarweise verschieden”
——–
0 ̸= a ∈ R ist eine nicht-optimale Kurzform für a ∈ R und a ̸= 0 und solle besser geschrieben werden als
a ∈ R \ {0}
————a · R ist eine Kurzschreibweise für a · x mit x ∈ R
145
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Prüfungen und Wettbewerbe
Anhang
Pr
ufungen und Wettbewerbe
146
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Prüfungen und Wettbewerbe
Abkürzungen für Länder
Abkürzungen für Sprachen
nach ISO 3166
nach ISO 639
AT
CA
Österreich
Kanada
DE-BB
DE-BE
Brandenburg
Berlin
CH
CY
CZ
Schweiz
Zypern
Tschechien
DE-BW
DE-BY
DE-HB
Baden-Württemberg
Bayern
Bremen
DE
DK
EC
Deutschland
Dänemark
Equator
DE-HE
DE-HH
Hessen
Hamburg
DE-MV
FI
FR
Finnland
Frankreich
DE-NI
MecklenburgVorpommern
Niedersachsen
IS
IT
NL
Island
Italien
Niederlande
DE-NW
DE-RP
DE-SH
Nordrhein-Westfalen
Rheinland-Pfalz
Schleswig-Holstein
NO
RO
Norwegen
Rumänien
DE-SL
DE-SN
Saarland
Sachsen
SE
US
Schweden
Vereinigte Staaten von
Amerika
DE-ST
DE-TH
Sachsen-Anhalt
Thüringen
de
deutsch
en
da
fi
englisch
dänisch
finnisch
is
nb
isländisch
norwegisch (bokmål)
nn
norwegisch (nynorsk)
no
sv
norwegisch
schwedisch
147
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Prüfungen und Wettbewerbe
GF
Grundfach
LF
GK
LK
Leistungsfach
Grundkurs
Leistungskurs
Ht.
Nt.
Haupttermin
Nachtermin
Pt. Pflichtteil
Wt. Wahlteil
G8 8-jähriges Gymnasium
G9
R4
9-jähriges Gymnasium
4-jährige Realschule
R6
6-jährige Realschule
Hw Hauptwettbewerb (Mathematik ohne Grenzen)
Pw
Probewettbewerb (Mathematik ohne Grenzen)
Prüfungen
(1) (Bundes-)Land
DE–BY
/ Bayern
(2) Schule
Mittelschule
/ Haupt–, Mittelschule
(3) Prüfung (1)
Jahrgangsstufenarbeit
/ Jahrgangsstufenarbeit
(4) Prüfung (2)
—
(5) Jahr(-gang)
1998 bis 2015
(6) Klasse
Kl.
(7) Gruppe
(8) Aufgabe
6, 7, 8
—
Nr.
1 bis . . .
(9) (sonstiges)
—
Prüfungen
(1) (Bundes-)Land
DE–BY
/ Bayern
(2) Schule
Mittelschule
/ Haupt–, Mittelschule
(3) Prüfung (1)
Qualifizierender Abschluss
/ Qualifizierender Abschluss
(4) Prüfung (2)
—
(5) Jahr(-gang)
1986 bis 2014
2006 MA
(6) Klasse
(Musteraufgaben)
—
(7) Gruppe
Gr.
1 bis 5, A, B1, B2, B3
(8) Aufgabe
Nr.
1 bis . . .
(9) (sonstiges)
—
Prüfungen
(1) (Bundes-)Land
DE–BY
/ Bayern
(2) Schule
Mittelschule
/ Haupt–, Mittelschule
(3) Prüfung (1)
Mittlerer Abschluss
/ Mittlerer Abschluss
(4) Prüfung (2)
—
(5) Jahr(-gang)
2008 bis 2014
(6) Klasse
10
(7) Gruppe
Gr.
1 bis 2
(8) Aufgabe
Nr.
1 bis . . .
(9) (sonstiges)
—
148
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Prüfungen und Wettbewerbe
Prüfungen
(1) (Bundes-)Land
DE–BY
/ Bayern
(2) Schule
Realschule
/ Realschule
(3) Prüfung (1)
Grundwissentest
/ Grundwissentests
(4) Prüfung (2)
—
(5) Jahr(-gang)
2005 bis 2014
(6) Klasse
Kl.
7, 9
(7) Gruppe
Wpfg.
—, 1, 2, 3
(8) Aufgabe
Nr.
1 bis . . .
(9) (sonstiges)
(Wahlpflichtfächergruppe)
—
Prüfungen
(1) (Bundes-)Land
DE–BY
/ Bayern
(2) Schule
FOS-BOS
/ FOS-BOS
(3) Prüfung (1)
Fachabitur
/ Fachabitur
(4) Prüfung (2)
NT (Nicht-Technik), T (Technik)
(5) Jahr(-gang)
2008 bis 2015
(6) Klasse
Kl.
(7) Gruppe
12
A1, A2, S1, S2
(8) Aufgabe
Nr.
1 bis . . .
(9) (sonstiges)
—
Prüfungen
(1) (Bundes-)Land
DE–BY
/ Bayern
(2) Schule
Gymnasium
/ Gymnasium
(3) Prüfung (1)
Probeunterricht
/ Probeunterricht
(4) Prüfung (2)
—
(5) Jahr(-gang)
2005 bis 2014
(6) Klasse
Kl.
(7) Gruppe
Tag 1, 2
(8) Aufgabe
Nr.
(9) (sonstiges)
Wettbewerbe
(1) Wettbewerb
/ Asian Pacific Mathematics
(2) Jahrgang
Olympiad (APMO)
(3) Jahr
(4) Aufgabe
Wettbewerbe
(1) Wettbewerb
/ Canadian Mathematical Olympiad
(2) Jahrgang
(CMO)
(3) Jahr
(4) Aufgabe
4, 5
1 bis . . .
—
Asian Pacific Mathematics Olympiad
Jg.
1 bis 27
1989 bis 2015
Nr.
1 bis 5
Canadian Mathematical Olympiad
Jg.
1 bis 48
1969 bis 2016
Nr.
1 bis 10
149
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Prüfungen und Wettbewerbe
Wettbewerbe
(1) (Bundes-)Land
AT, CH, CY, DE, FI, FR, NL, NO, SE
/ Känguru der Mathematik
(2) Schule
—
(3) Wettbewerb (1)
Känguru der Mathematik
(4) Wettbewerb (2)
—
(5) Jahr(-gang)
1995 bis 2014
(6) Klasse(n)
Kl.
(7) Gruppe
(8) Aufgabe
—, 1–2, 3–4 bis 11–12
—
Nr.
1 bis 30
(9) (sonstiges)
—
Wettbewerbe
(1) (Bundes-)Land
—
/ Mathematik ohne Grenzen
(2) Schule
—
(3) Wettbewerb (1)
Mathematik ohne Grenzen
(4) Wettbewerb (2)
Pw
(Probewettbewerb)
Hw
(Hauptwettbewerb)
(5) Jahr(-gang)
(6) Klasse(n)
1994–1995 bis ......
Kl.
(7) Gruppe
(8) Aufgabe
9–11, 10–11, 11
—
Nr.
1 bis 15
(9) (sonstiges)
—
Wettbewerbe
(1) (Bundes-)Land
DE–HE
/ Mathematik-Wettbewerb des
(2) Schule
—
Landes Hessen
(3) Wettbewerb
Mathematik-Wettbewerb Hessen
(4) Runde
R.
(5) Jahr(-gang)
1, 2, 3
1998–1999 bis 2014–2015
(6) Klasse
Kl.
—, 8
(7) Gruppe
Gr.
A, B, C
(8) Aufgabe
Nr.
1 bis 7
P1 bis P8
(Pflichtaufgaben)
W1 bis W5
(Wahlaufgaben)
(9) (sonstiges)
—
Wettbewerbe
(1) (Bundes-)Land
DE-NW
/ Mathe-Treﬀ der Bezirksregierung
(2) Schule
—
Düsseldorf
(3) Wettbewerb
Mathe-Treﬀ der Bezirksregierung Düsseldorf
(4) Runde
R.
(5) Jahr(-gang)
(6) Klasse
1997 bis 2015
Kl.
(7) Gruppe
(8) Aufgabe
(9) (sonstiges)
xxxx
xxxx
1 bis 95
1–2, 3–4 bis 11–12
—
Nr.
1 bis 3
—
150
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Anhang
Inhalt
151
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Für die folgenden Begriﬀe siehe auch unter:
Diophantische Gleichungen
→ Lineare Algebra | lineare Gleichungssysteme
→ Zahlentheorie
Fläche zwischen x-Achse und
Funktion
→ Analysis | Flächen und Volumen
→ Kurvendiskussion | vollständige Kurvendiskussionen | quadratische
Funktionen
Hornerschema
→ Arithmetik | Brüche | Polynomdivision
lineare Gleichungssysteme
→ Lineare Algebra | lineare Gleichungssysteme
→ Kurvendiskussion | Funktion ermitteln
Maßstab
→ Geometrie | Kongruenz und Ähnlichkeit | Verkleinerungen und
Vergrößerungen
Partialbruchzerlegung
→ weitere Themen | Partialbruchzerlegung
→ Analysis | Diﬀerentialgleichungen
→ Analysis | Integration
→ Analysis | Integration | rationale Funktionen
Polynomdivision
→ weitere Themen | Polynomdivision
→ Analysis | Diﬀerentialgleichungen
→ Analysis | Diﬀerentiation | in einer Variablen | rationale Funktionen
→ Analysis | Integration
→ Analysis | Integration | rationale Funktionen
quadratische Ergänzung
→ Analysis | Kurvendiskussion | vollständige Kurvendiskussionen |
quadratische Funktionen
quadratische Funktionen
→ Analysis | quadratische Funktionen
→ Analysis | Kurvendiskussion | vollständige Kurvendiskussionen |
quadratische Funktionen
→ ...
quadratische Gleichungen
→ Analysis | quadratische Funktionen
→ Analysis | Kurvendiskussion | vollständige Kurvendiskussionen |
quadratische Funktionen
→ ...
zentrische Streckung
→ Analytische Geometrie | zentrische Streckung
→ Geometrie | Kongruenz und Ähnlichkeit | Verkleinerungen und
Vergrößerungen
Die Bereiche Dreisatz und Prozentrechnung sind nicht immer sauber zu trennen.
152
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Grundrechenarten (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176
Zahlen / Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
– Pyramiden
– – 3 Ebenen
1177
1178
– –
– –
4 Ebenen
5 Ebenen
1263
1588
– –
– –
– –
6 Ebenen
7 Ebenen
8 Ebenen
1699
1775
2116
– –
– –
10 Ebenen
11 Ebenen
2123
2157
– –
– –
– –
12 Ebenen
13 Ebenen
14 Ebenen
2161
2194
2196
–
–
römisch
Zweiersystem (binär)
9
23
–
–
Dreiersystem
Fünfersystem
40
44
–
Sechzehnersystem (hexadezimal)
48
–
Ringe Z/nZ
57
–
runden
59
Grundrechenarten (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
–
–
Addition
– Form . . . + . . .
71
72
– – Form x + . . . = . . .
– – Form . . . + x = . . .
– – Form . . . = x + . . .
265
290
319
–
–
– Form . . . = . . . + x
Subtraktion
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
– – 17 Ebenen
– (Rechenquadrate)
2316
2327
323
326
– –
– –
– –
xxx0a
xxx0b
xxx1
2328
2335
2338
Form . . . − . . .
Form x − . . . = . . .
Form . . . − x = . . .
327
431
439
– –
– –
– –
xxx2
xxx3
xxx4
2357
2368
2380
Form . . . = x − . . .
Form . . . = . . . − x
447
451
– – xxx5
– Textaufgaben
2392
2431
–
–
–
negative Zahlen
Addition und Subtraktion
– Tabellen
455
457
465
– –
– –
– –
Add. und Sub.
Mul. und Div.
Add., Sub., Mul. und Div.
2432
2564
2770
–
–
Multiplikation
– Form . . . · . . .
615
628
– –
(unsortiert)
2963
– (Zahlenrätsel)
3086
–
–
–
–
–
–
Form x · . . . = . . .
Form . . . · x = . . .
Form . . . = x · . . .
691
699
706
– Zahlenwürfel
3138
–
–
– Form . . . = . . . · x
Division
709
712
–
–
Form . . . / . . .
713
–
–
Form x/ . . . = . . .
789
–
–
Form . . . /x = . . .
797
–
–
Form . . . = x/ . . .
806
–
–
Form . . . = . . . /x
810
–
Multiplikation und Division
813
–
–
–
–
814
834
–
Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division
1082
–
1083
–
Rest
Tabellen
(gemischt)
Potenzen, Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3307
– Potenzen
– Wurzeln
3308
3325
– (unsortiert)
3390
Logarithmus– und Exponentialgleichungen . 3395
– Logarithmen
3396
– Exponentialgleichungen
3416
– (unsortiert)
3419
153
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3420
–
–
–
erste binomische Formel
zweite binomische Formel
dritte binomische Formel
3421
3431
3441
–
(gemischt)
3451
Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3460
Prozent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3623
Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3863
Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4106
–
–
erweitern
– Hauptnenner
4137
4160
–
–
–
kürzen
– Zahlen
– Variablen
4164
4165
4172
–
–
– Terme
Addition
4176
4183
–
–
–
Subtraktion
Addition und Subtraktion
Multiplikation
4190
4196
4199
–
–
Division
Multiplikation und Division
4246
4259
–
(unsortiert)
4261
Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4276
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4279
–
–
Addition
Subtraktion
4293
4298
–
–
–
Multiplikation
Division
(gemischt)
4303
4309
4314
–
Zahlenwürfel
4330
Absolutbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4388
komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4446
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464
154
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4486
Strecken und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4487
Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4490
Kongruenz und Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 4491
– Drehungen
4492
– Spiegelungen
4493
–
–
Verschiebungen
Verkleinerungen und Vergrößerungen
4512
4513
Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4539
– Fläche & Umfang
4540
– Dreiecke
4634
–
–
–
–
allgemeines Dreieck
gleichschenkliges Dreieck
4642
4652
–
–
–
–
–
–
rechtwinkliges Dreieck
– Steigung
gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck
4659
4671
4676
–
–
gleichseitiges Dreieck
4678
–
–
(andere / gemischt)
4680
–
Vierecke
4684
–
–
–
–
–
–
allgemeines Viereck
Inkreis und Umkreis
Tangentenviereck (Inkreis)
4685
4690
4692
–
–
Sehnenviereck (Umkreis)
4695
–
–
–
–
Drachenviereck
Trapez
4698
4703
–
–
–
–
Parallelogramm
Raute
4713
4720
–
–
–
–
Rechteck
Quadrat
4726
4766
–
–
(andere / gemischt)
4783
–
Kreise
4795
–
–
–
–
Kreis
Kreisring
4796
4828
–
–
–
– Kreissegment
– Kreissektor
Ellipsen
4833
4834
4838
–
(unsortiert)
4839
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4848
– Kegel
– Kegelstumpf
– Kugel & Hohlkugel
4870
4891
4899
– Oktaeder
– Prisma
4907
4910
– Pyramide
– Pyramidenstumpf
– Quader
4947
4960
4965
– Tetraeder
– Würfel
4996
4999
– Zylinder
– Hohlzylinder
5017
5065
– (andere)
5068
(andere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5104
155
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5124
lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7308
Definitionsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5125
quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7319
Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5261
Flächen und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7370
Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5273
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7491
– Funktion ermitteln
7492
Diﬀerentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5279
– in einer Variablen
5280
– – Polynome
5281
–
–
–
–
rationale Funktionen
Wurzelfunktionen
5502
5606
–
–
–
–
–
–
Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktionen
Winkelfunktionen
5685
5735
5835
–
–
(gemischt)
5953
–
–
f hoch g
6093
–
–
(andere / unsortiert)
6102
–
–
in einer Variablen, implizit
in mehreren Variablen
6105
6136
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6162
– Polynome
6163
–
–
–
rationale Funktionen
Wurzeln
Logarithmus
6290
6498
6722
–
–
Exponential
Winkel
6753
6854
–
(gemischt)
7061
–
f hoch g
7122
–
(andere)
7123
–
(unsortiert)
7136
Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7168
– Punkte
7169
– Strecken
7217
–
–
Flächen
Volumen
7230
7292
– vollständige Kurvendiskussionen
– – quadratische Funktionen
7535
7536
– –
9970
andere
Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10387
Diﬀerentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10405
– trennbare Variablen
10416
– exakte Dgl.
– lineare Dgl.
– Bernoulli-Dgl.
10473
10519
10551
– (unsortiert)
10584
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10718
156
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10881
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10882
– arithmetische Folgen
10887
–
–
geometrische Folgen
Grenzwerte
10890
10892
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10935
– arithmetische Reihen
10943
– geometische Reihen
10944
–
Grenzwerte
10945
Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10960
–
–
Polynome
rationale Funktionen
10961
10972
–
–
–
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktionen
11063
11083
11090
–
–
Winkelfunktionen
(gemischt)
11125
11144
–
f hoch g
11158
–
(unsortiert)
11168
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11181
157
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11232
Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11233
Lage– und Streuungsparameter . . . . . . . . . . . 11241
–
–
–
Mittelwerte
– arithmetisches Mittel
– geometrisches Mittel
11246
11247
11262
–
–
–
–
11264
11265
harmonisches Mittel
(andere)
Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11280
Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11306
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11351
–
–
Fakultäten & Binomialkoeﬃzienten
Buchstaben
11429
11438
–
–
–
Karten
Münzen
Personen
11446
11451
11454
–
–
Urnen
Würfel
11484
11491
–
Zahlen
11497
Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11509
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11537
– Buchstaben
11602
– Karten
11604
–
–
Münzen
Personen
11612
11621
–
–
–
– Geburtstage
Urnen
Würfel
11634
11646
11664
–
Zahlen
11699
bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . 11708
Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11726
Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11728
– Binomialverteilung
11803
– hypergeometrische Verteilung
11870
Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11888
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11918
158
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . 12123
Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12124
– Punktmengen
12125
in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12142
– Kegelschnitte
12162
im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12165
Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12167
zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12189
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12195
159
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12307
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12308
Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12352
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12367
– Addition
12368
–
–
Multiplikation
Determinanten
12376
12418
–
–
–
charakteristisches Polynom
Eigenwerte und Eigenvektoren
Rang
12462
12464
12490
–
–
Inverse
Diagonalmatrizen
12503
12512
–
(andere)
12519
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13026
– lineare Unabhängigkeit
– Linearkombinationen
– Normen
13027
13045
13059
– Skalarprodukte
13066
– (andere)
13071
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13075
Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13089
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13092
Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13103
– Basis
– Unterräume
13109
13122
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13125
lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 12552
– 2 Variablen in 1 Gleichung
12553
– 2 Variablen in 2 Gleichungen
12557
–
–
–
–
Alter
Flächen, Umfang
12643
12651
–
–
–
–
–
–
Weg, Zeit, Geschwindigkeit
Zahlen
Ziﬀern
12657
12665
12673
–
–
(andere)
12678
–
–
–
3 Variablen in 1 Gleichung
3 Variablen in 2 Gleichungen
3 Variablen in 3 Gleichungen
12702
12706
12716
–
–
–
–
Alter
Flächen, Umfang
12826
12830
–
–
Zahlen, Ziﬀern
12834
–
–
(andere)
12840
–
–
3 Variablen in 4 Gleichungen
4 Variablen
12855
12857
–
–
–
5 Variablen
7 Variablen
(andere)
12890
12903
12905
160
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13364
Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13365
– Teiler und Teilermengen
13366
–
–
Vielfache und Vielfachenmengen
ggT & kgV
13453
13459
–
(unsortiert)
13487
(unsortiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13502
161
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Mengen und Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13437
162
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13573
163
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . 13605
Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13606
Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13640
Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13643
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13673
(andere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13685
164
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
weitere Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13718
Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13719
– 2 Variablen in 1 Gleichung
13720
–
–
3 Variablen in 1 Gleichung
2 Variablen in 2 Gleichungen
13721
13723
Kryptografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13738
Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13750
Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13775
165
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Denksport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14032
Punkte verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15339
Aufgaben rekonstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14680
Schiﬀe finden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15350
25 Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14691
Sikaku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15377
Dominos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14732
– 6×6
– 9×9
15378
15397
– 10 × 7
– 10 × 12
– 12 × 15
15405
15410
15415
– 12 × 16
15423
Figuren zerlegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14758
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14804
Futoshiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14830
– 4×4
14831
– 5×5
– 6×6
14842
14936
größer, kleiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14969
– 4×7
14970
– 5×5
14991
–
6×6
15003
Inseln und Brücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15013
Kakuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15108
Kreuzzahlenrätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15130
Kryptogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15147
Speichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15442
Streichhölzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15483
Sudoku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15502
Suriza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15531
Wege (Masyu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15585
– 6×6
15586
– 8×8
15623
wiegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15634
Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15642
Zahlen finden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15668
Lügner und Ehrliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15175
– ??×??
magische Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15190
Zahlenlabyrinth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15672
–
magische Quadrate / 4 × 4
15191
–
magische Quadrate / 5 × 5
15277
–
(andere)
15321
15670
Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15736
166
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Prüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15795
Bayern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15796
– Haupt–, Mittelschule
15797
– – Jahrgangsstufenarbeit
15798
–
–
–
1998 / Klasse 7
15800
–
–
–
1999 / Klasse 7
15816
–
–
–
2000 / Klasse 7
15835
–
–
–
2001 / Klasse 7
15854
–
–
–
2002 / Klasse 7
15874
–
–
–
2003 / Klasse 7
15894
–
–
–
2004 / Klasse 6
15911
–
–
–
2004 / Klasse 8
15928
–
–
–
2005 / Klasse 6
15946
–
–
–
2005 / Klasse 8
15963
–
–
–
2006 / Klasse 6
15981
–
–
–
2006 / Klasse 8
15999
–
–
–
2007 / Klasse 6
16017
–
–
–
2007 / Klasse 8
16036
–
–
–
2008 / Klasse 6
16054
–
–
–
2009 / Klasse 6
16072
–
–
–
2010 / Klasse 6
16091
–
–
–
2011 / Klasse 6
16110
–
–
–
2012 / Klasse 6
16133
–
–
–
2013 / Klasse 6
16155
–
–
–
2014 / Klasse 6
16178
– –
Qualifizierender Abschluss
16201
– –
– –
– –
–
–
–
1986
1987
1988
16202
16223
16246
– –
– –
–
–
1989
1990
16269
16290
– –
– –
– –
–
–
–
1991
1992
1993
16311
16332
16353
– –
– –
–
–
1994
1995
16374
16395
– –
– –
– –
–
–
–
1996
1997
1998
16416
16437
16458
– –
– –
–
–
1999
2000
16479
16500
– –
– –
– –
–
–
–
2001
2002
2003
16517
16535
16552
– –
– –
–
–
2004
2005
16570
16587
– –
– –
– –
–
–
–
2006
2006 MA
2007
16604
16621
16646
– –
– –
–
–
2008
2009
16671
16696
– –
– –
– –
–
–
–
2010
2011
2012
16721
16745
16769
– –
– –
–
–
2013
2014
16793
16817
– –
– –
– –
Mittlerer Abschluss
– 2008
– 2009
16842
16843
16866
– –
– –
–
–
16888
16911
2010
2011
167
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
–
Realschule
16912
– –
Jahrgangstests
17600
–
–
–
–
Probeunterricht
– 2005 / Klassen 4 und 5
16913
16914
– –
–
2001 / Klasse 9
17601
– –
–
2002 / Klasse 9
17622
–
–
–
2006 / Klassen 4 und 5
16939
– –
–
2003 / Klasse 9
17635
–
–
–
2007 / Klassen 4 und 5
16964
– –
–
2004 / Klasse 6
17654
–
–
–
2008 / Klassen 4 und 5
16992
– –
–
2004 / Klasse 8
17667
–
–
–
2009 / Klassen 4 und 5
17021
– –
–
2005 / Klasse 6
17688
–
–
–
2010 / Klassen 4 und 5
17054
– –
–
2005 / Klasse 8
17702
–
–
–
2011 / Klassen 4 und 5
17079
– –
–
2006 / Klasse 6
17723
–
–
–
2012 / Klassen 4 und 5
17113
– –
–
2006 / Klasse 8
17738
–
–
–
2013 / Klassen 4 und 5
17143
– –
–
2007 / Klasse 6
17756
–
–
–
2014 / Klassen 4 und 5
17162
– –
–
2007 / Klasse 8
17774
–
–
–
–
Grundwissentests
– 2005 / Klasse 7
17191
17192
– –
–
2008 / Klasse 6
17794
– –
–
2008 / Klasse 8
17811
–
–
–
2005 / Klasse 9
17206
– –
–
2009 / Klasse 6
17828
–
–
–
2006 / Klasse 7
17221
– –
–
2009 / Klasse 8
17845
–
–
–
2006 / Klasse 9
17238
– –
–
2010 / Klasse 6
17865
–
–
–
2007 / Klasse 7
17259
– –
–
2010 / Klasse 8
17885
–
–
–
2007 / Klasse 9
17275
– –
–
2011 / Klasse 6
17903
–
–
–
2008 / Klasse 7
17296
– –
–
2011 / Klasse 8
17925
–
–
–
2008 / Klasse 9
17312
– –
–
2012 / Klasse 6
17947
–
–
–
2009 / Klasse 7
17333
– –
–
2012 / Klasse 8
17969
–
–
–
2009 / Klasse 9
17350
– –
–
2013 / Klasse 6
17995
–
–
–
2010 / Klasse 7
17380
– –
–
2013 / Klasse 8
18017
–
–
–
2010 / Klasse 9
17398
– –
–
2014 / Klasse 6
18044
–
–
–
2011 / Klasse 7
17425
– –
–
2014 / Klasse 8
18066
–
–
–
2011 / Klasse 9
17444
– –
Abschlussprüfungen
18091
–
–
–
2012 / Klasse 7
17471
–
–
–
2012 / Klasse 9
17491
–
–
–
2013 / Klasse 7
17513
– –
– –
– –
–
–
–
2002
2003
2004
18092
18130
18168
–
–
–
2013 / Klasse 9
17532
–
–
–
2014 / Klasse 7
17556
– –
– –
–
–
2005
2006
18213
18256
–
–
–
2014 / Klasse 9
17575
– –
– –
– –
–
–
–
2007
2008
2009
18309
18362
18415
– –
–
2010
18453
168
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
–
FOS-BOS
18463
– –
Jahrgangstests (BMT)
18863
–
–
–
–
–
–
Fachabitur
– 2010
– 2011
18464
18465
18475
– –
–
1998 / Klasse 9
18864
– –
–
1999 / Klasse 9
18875
– –
–
2000 / Klasse 9
18885
–
–
–
–
–
–
2012
2013
18493
18510
– –
–
2001 / Klasse 9
18897
– –
–
2002 / Klasse 9
18907
–
–
–
– – 2014
– – 2015
Gymnasium
18530
18548
18572
– –
–
2003 / Klasse 9
18918
– –
–
2004 / Klasse 8
18929
–
–
–
–
Probeunterricht
– 2005 / Klasse 4
18573
18574
– –
–
2004 / Klasse 10
18942
– –
–
2005 / Klasse 8
18952
–
–
–
2005 / Klasse 5
18589
– –
–
2005 / Klasse 10
18962
–
–
–
2006 / Klasse 4
18601
– –
–
2006 / Klasse 8
18972
–
–
–
2006 / Klasse 5
18618
– –
–
2006 / Klasse 10
18982
–
–
–
2007 / Klasse 4
18632
– –
–
2007 / Klasse 8
18994
–
–
–
2007 / Klasse 5
18652
– –
–
2007 / Klasse 10
19005
–
–
–
2008 / Klasse 4
18672
– –
–
2008 / Klasse 8
19014
–
–
–
2008 / Klasse 5
18694
– –
–
2008 / Klasse 10
19024
–
–
–
2009 / Klasse 4
18712
– –
–
2009 / Klasse 8
19034
–
–
–
2009 / Klasse 5
18734
– –
–
2009 / Klasse 10
19045
–
–
–
2010 / Klassen 4 und 5
18756
– –
–
2010 / Klasse 8
19055
–
–
–
2011 / Klassen 4 und 5
18779
– –
–
2010 / Klasse 10
19067
–
–
–
2012 / Klassen 4 und 5
18803
– –
–
2011 / Klasse 8
19075
–
–
–
2013 / Klassen 4 und 5
18824
– –
–
2011 / Klasse 10
19084
–
–
–
2014 / Klassen 4 und 5
18846
– –
–
2012 / Klasse 8
19094
– –
–
2012 / Klasse 10
19105
– –
–
2013 / Klasse 8
19114
– –
–
2013 / Klasse 10
19125
– –
–
2014 / Klasse 8
19135
– –
–
2014 / Klasse 10
19146
169
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
–
–
Abitur
19156
Thüringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19601
–
–
–
1984 / Grundkurs
19157
–
–
–
1998 / Grundkurs
19172
–
–
–
1998 / Leistungskurs
19187
– Gymnasium
– – Abitur
– – – 1998 / Grundfach
19602
19603
19604
–
–
–
1999 / Grundkurs
19201
– –
–
1998 / Leistungsfach
19615
–
–
–
1999 / Leistungskurs
19214
– –
–
1999 / Grundfach
19626
–
–
–
2000 / Grundkurs
19227
– –
–
1999 / Leistungsfach
19637
–
–
–
2000 / Leistungskurs
19241
– –
–
2000 / Grundfach
19648
–
–
–
2001 / Grundkurs
19254
– –
–
2000 / Leistungsfach
19659
–
–
–
2001 / Leistungskurs
19267
– –
–
2001 / Grundfach
19670
–
–
–
2002 / Grundkurs
19282
– –
–
2001 / Leistungsfach
19681
–
–
–
2002 / Leistungskurs
19296
– –
–
2002 / Grundfach
19692
–
–
–
2003 / Grundkurs
19309
– –
–
2002 / Leistungsfach
19703
–
–
–
2003 / Leistungskurs
19326
– –
–
2003 / Grundfach
19714
–
–
–
2004 / Grundkurs
19340
– –
–
2003 / Leistungsfach
19725
–
–
–
2004 / Leistungskurs
19354
– –
–
2004 / Grundfach
19736
–
–
–
2005 / Grundkurs
19369
– –
–
2004 / Leistungsfach
19747
–
–
–
2005 / Leistungskurs
19383
–
–
–
2006 / Grundkurs
19397
–
–
–
2006 / Leistungskurs
19411
–
–
–
2007 / Grundkurs
19428
–
–
–
2007 / Leistungskurs
19443
–
–
–
2008 / Grundkurs
19458
–
–
–
2008 / Leistungskurs
19474
–
–
–
2009 / Grundkurs
19489
–
–
–
2009 / Leistungskurs
19505
–
–
–
2010 / Grundkurs
19521
–
–
–
2010 / Leistungskurs
19536
–
–
–
2011 / Grundkurs
19551
–
–
–
2011 / Leistungskurs
19565
–
–
–
2011 / G8
19581
170
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Wettbewerbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19759
Asian Pacific Mathematics Olympiad
(APMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19760
–
Jg. 1 (1989)
19761
–
Jg. 2 (1990)
19767
–
Jg. 3 (1991)
19773
–
Jg. 4 (1992)
19779
–
Jg. 5 (1993)
19785
–
Jg. 6 (1994)
19791
–
Jg. 7 (1995)
19797
–
Jg. 8 (1996)
19803
–
Jg. 9 (1997)
19809
–
Jg. 10 (1998)
19815
–
Jg. 11 (1999)
19821
–
Jg. 12 (2000)
19827
–
Jg. 13 (2001)
19833
–
Jg. 14 (2002)
19839
–
Jg. 15 (2003)
19845
–
Jg. 16 (2004)
19851
–
Jg. 17 (2005)
19857
–
Jg. 18 (2006)
19863
–
Jg. 19 (2007)
19869
–
Jg. 20 (2008)
19875
–
Jg. 21 (2009)
19881
–
Jg. 22 (2010)
19887
–
Jg. 23 (2011)
19893
–
Jg. 24 (2012)
19899
–
Jg. 25 (2013)
19905
–
Jg. 26 (2014)
19911
–
Jg. 27 (2015)
19917
171
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Canadian Mathematical Olympiad
– Jg. 40 (2008)
20117
(CMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19923
– Jg. 41 (2009)
20118
–
Jg. 1 (1969)
19924
– Jg. 42 (2010)
20119
–
Jg. 2 (1970)
19935
– Jg. 43 (2011)
20120
–
Jg. 3 (1971)
19946
– Jg. 44 (2012)
20121
–
Jg. 4 (1972)
19957
– Jg. 45 (2013)
20122
–
Jg. 5 (1973)
19968
– Jg. 46 (2014)
20123
–
Jg. 6 (1974)
19976
– Jg. 47 (2015)
20124
–
Jg. 7 (1975)
19984
– Jg. 48 (2016)
20125
–
Jg. 8 (1976)
19993
–
Jg. 9 (1977)
20002
–
Jg. 10 (1978)
20010
–
Jg. 11 (1979)
20017
–
Jg. 12 (1980)
20023
–
Jg. 13 (1981)
20029
–
Jg. 14 (1982)
20035
–
Jg. 15 (1983)
20041
–
Jg. 16 (1984)
20047
–
Jg. 17 (1985)
20053
–
Jg. 18 (1986)
20059
–
Jg. 19 (1987)
20065
–
Jg. 20 (1988)
20071
–
Jg. 21 (1989)
20077
–
Jg. 22 (1990)
20083
–
Jg. 23 (1991)
20089
–
Jg. 24 (1992)
20095
–
Jg. 25 (1993)
20101
–
Jg. 26 (1994)
20103
–
Jg. 27 (1995)
20104
–
Jg. 28 (1996)
20105
–
Jg. 29 (1997)
20106
–
Jg. 30 (1998)
20107
–
Jg. 31 (1999)
20108
–
Jg. 32 (2000)
20109
–
Jg. 33 (2001)
20110
–
Jg. 34 (2002)
20111
–
Jg. 35 (2003)
20112
–
Jg. 36 (2004)
20113
–
Jg. 37 (2005)
20114
–
Jg. 38 (2006)
20115
–
Jg. 39 (2007)
20116
172
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Canadian Open Math Challenge
Känguru der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411
(COMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20126
– 1996
20127
– 1995
– 1996
– 1997
20421
20422
20423
– 1998
– 1999
20424
20543
– 2000
– 2001
– 2002
20685
20852
21018
– 2003
– 2004
21216
21410
– 2005
– 2006
– 2007
21586
21771
21976
– 2008
– 2009
22168
22356
– 2010
– 2011
– 2012
22549
22713
22880
– 2013
– 2014
23104
23309
– 2015
23488
–
–
1997
1998
20141
20154
–
–
–
1999
2000
2001
20167
20180
20195
–
–
2002
2003
20208
20221
–
–
–
2004
2005
2006
20236
20250
20263
–
–
–
2007
2008
2009
20276
20289
20302
–
–
2010
2011
20316
20329
–
2012
20342
Fürther Mathematik-Olympiade
(FüMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20353
–
Jg. 1 (1992–1993)
20354
–
Jg. 2 (1993–1994)
20355
–
Jg. 3 (1994–1995)
20356
–
Jg. 4 (1995–1996)
20357
–
Jg. 5 (1996–1997)
20379
–
Jg. 6 (1997–1998)
20404
173
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Landeswettbewerb Mathematik
Mathematik ohne Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . 23995
Baden-Württemberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23691
– 1987
23692
– 1988
23697
– 1994–1995 / Probewettbewerb
23996
– 1994–1995 / Hauptwettbewerb
24014
– 1995–1996 / Probewettbewerb
24033
–
–
1989
1990
23704
23715
– 1995–1996 / Hauptwettbewerb
24034
– 1996–1997 / Probewettbewerb
24035
–
–
–
1991
1992
1993
23726
23737
23748
– 1996–1997 / Hauptwettbewerb
24036
– 1997–1998 / Probewettbewerb
24037
–
–
1994
1995
23760
23771
– 1997–1998 / Hauptwettbewerb
24052
– 1998–1999 / Probewettbewerb
24067
–
–
–
1996
1997
1998
23782
23793
23804
– 1998–1999 / Hauptwettbewerb
24081
– 1999–2000 / Probewettbewerb
24096
– 1999–2000 / Hauptwettbewerb
24111
–
–
1999
2000
23816
23827
– 2000–2001 / Probewettbewerb
24127
– 2000–2001 / Hauptwettbewerb
24142
–
–
–
2001
2002
2003
23838
23850
23861
– 2001–2002 / Probewettbewerb
24157
– 2001–2002 / Hauptwettbewerb
24172
– 2002–2003 / Probewettbewerb
24188
–
–
2004
2005
23872
23883
– 2002–2003 / Hauptwettbewerb
24204
– 2003–2004 / Probewettbewerb
24220
–
–
–
2006
2007
2008
23894
23905
23916
– 2003–2004 / Hauptwettbewerb
24236
– 2004–2005 / Probewettbewerb
24250
–
–
2009
2010
23927
23938
Mathematik-Wettbewerb
des Landes Hessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24257
–
–
–
2011
2012
2013
23949
23960
23971
– 1996–1997
– 1997–1998
24258
24325
–
2014
23984
– 1998–1999
– 1999–2000
– 2000–2001
24390
24455
24519
– 1995–1996
– 2001–2002
24596
24661
– 2002–2003
24739
Mathematischer Korrespondenzzirkel . . . . . . 24782
– Runde 1 (2000)
24783
– Runde 2 (2000)
24788
– Runde 3 (2000)
24793
174
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Mathe-Treﬀ der Bezirksregierung
– Runde 45
24933
Düsseldorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24797
– Runde 1
24798
– Runde 2
24804
– Runde 46
– Runde 47
– Runde 48
24934
24935
24936
–
–
Runde 3
Runde 4
24805
24806
– Runde 49
– Runde 50
24937
24938
–
–
–
Runde 5
Runde 6
Runde 7
24807
24808
24809
– Runde 51
– Runde 52
– Runde 53
24939
24940
24941
–
–
Runde 8
Runde 9
24810
24811
– Runde 54
– Runde 55
24942
24943
–
–
–
Runde 10
Runde 11
Runde 12
24812
24813
24814
– Runde 56
– Runde 57
– Runde 58
24944
24945
24946
–
–
Runde 13
Runde 14
24815
24816
– Runde 59
– Runde 60
24947
24948
–
–
–
Runde 15
Runde 16
Runde 17
24817
24818
24819
– Runde 61
– Runde 62
– Runde 63
24961
24962
24963
–
–
Runde 18
Runde 19
24820
24821
– Runde 64
– Runde 65
24964
24965
–
–
–
Runde 20
Runde 21
Runde 22
24822
24823
24824
– Runde 66
– Runde 67
– Runde 68
24966
24967
24968
–
–
Runde 23
Runde 24
24825
24826
– Runde 69
– Runde 70
24969
24970
–
–
–
Runde 25
Runde 26
Runde 27
24827
24828
24829
– Runde 71
– Runde 72
– Runde 73
24971
24972
24973
–
–
Runde 28
Runde 29
24830
24831
– Runde 74
– Runde 75
24974
24975
–
–
–
Runde 30
Runde 31
Runde 32
24832
24833
24834
– Runde 76
– Runde 77
– Runde 78
24976
24977
24978
–
–
Runde 33
Runde 34
24835
24836
– Runde 79
– Runde 80
24979
24980
–
–
–
Runde 35
Runde 36
Runde 37
24837
24838
24839
– Runde 81
– Runde 82
– Runde 83
24981
24985
24986
–
–
Runde 38
Runde 39
24840
24841
– Runde 84
– Runde 85
24987
24988
–
–
–
Runde 40
Runde 41
Runde 42
24842
24860
24877
– Runde 86
– Runde 87
– Runde 88
24989
24990
24991
–
–
Runde 43
Runde 44
24896
24915
– Runde 89
24992
175
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
–
Runde 90
24993
Nordic Mathematical Contest (NMC) . . . . . 25003
–
–
–
Runde 91
Runde 92
Runde 93
24994
24995
24996
– Jg. 1 (1987)
25004
– Jg. 2 (1988)
25009
– Jg. 3 (1989)
25014
–
–
Runde 94
Runde 95
24997
24998
– Jg. 4 (1990)
25019
– Jg. 5 (1991)
25024
–
–
–
Runde 96
Runde 97
Runde 98
24999
25000
25001
– Jg. 6 (1992)
25029
– Jg. 7 (1993)
25034
–
Runde 99
25002
– Jg. 8 (1994)
25039
– Jg. 9 (1995)
25044
– Jg. 10 (1996)
25049
– Jg. 11 (1997)
25054
– Jg. 12 (1998)
25059
– Jg. 13 (1999)
25064
– Jg. 14 (2000)
25069
– Jg. 15 (2001)
25074
– Jg. 16 (2002)
25079
– Jg. 17 (2003)
25084
– Jg. 18 (2004)
25089
– Jg. 19 (2005)
25094
– Jg. 20 (2006)
25099
– Jg. 21 (2007)
25104
– Jg. 22 (2008)
25109
– Jg. 23 (2009)
25114
– Jg. 24 (2010)
25119
– Jg. 25 (2011)
25124
176
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
Mathematik-Olympiade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25129
–
Jahrgang 49 / Stufe 1
25131
–
Jahrgang 50 / Stufe 1
25144
Problem des Monats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25171
– 2001
25173
–
–
–
2002
2003
2004
25181
25194
25207
–
–
2005
2006
25218
25229
–
–
–
2007
2008
2009
25242
25253
25264
–
–
2010
2011
25275
25289
–
–
2012
2013
25300
25314
177
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Inhalt
UNSORTIERT . . . . . . . . . . . . 25316 bis 27643
178
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Impressum
Anhang
Impressum
179
Mathematik — Aufgaben —
Anhang — Impressum
Impressum
Martin Bauer
Sonnenleite 16
97456 Dittelbrunn
http://www.mathematik.mb-zwei.de
http://www.mb-null.de
[
Diese Aufgabensammlung befindet sich in einem
Dauer-Beta-Stadium, d.h. sie wird ständig verändert
und niemals fertig.
v 2.36.00190
16. Mai 2016
]

Zugehörige Unterlagen

Leistung und Wirkungsgrad - Carl-Engler-Schule

Mathematik Aufgaben - dl.mb

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