1. Klausur Wintersemester 2015/2016 02.02.2016

Mathematik für Betriebswirte I
(Lineare Algebra)
1. Klausur
Wintersemester 2015/2016
02.02.2016
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht?
Ja
Nein
Unterschrift der/des Studierenden:
Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 12 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe
max. Pkt.
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
Summe
90
Note
err. Pkt.
Aufgabe 1: Vollständige Induktion (10 Punkte)
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N die Gleichung
n
X
i(i + 1)(i + 2) =
i=1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
gilt.
Lösung: (2 Punkte) Induktionsanfang (n = 1):
1
X
1(1 + 1)(1 + 2) = 6 =
i=1
24
4
(2 Punkte) Induktionsschluss (n 7→ n + 1):
Zu zeigen ist:
n+1
X
i(i + 1)(i + 2) =
i=1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
4
(6 Punkte) Ansatz:
n+1
X
i(i + 1)(i + 2) =
n
X
i(i + 1)(i + 2) + (n + 1)(n + 2)(n + 3)
i=1
i=1
=
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
4
2
Aufgabe 2: Mengenlehre (10 Punkte)
Aufgabe 2.1.
Es seien A,B,C ⊂ Ω drei Teilmengen einer Grundmenge Ω, und es gelte:
A ⊂ B und B ∩ C = ∅.
Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
a) C\A
b) A\B
Aufgabe 2.2.
Gegeben seien in R die Mengen:
A={x ∈ R : −7 ≤ x < 5},
C = (−1, ∞)
B = [0, 5]
Ermitteln Sie die folgenden Mengen:
a) A ∩ C
b) A ∩ C
c) A ∪ B ∩ C
Lösung 2.1:
a) (2 Punkte) C\A = C
b) (2 Punkte) A\B = ∅
Lösung 2.2:
a) (2 Punkte) A ∩ C = {x ∈ R : −1 < x < 5}
b) (2 Punkte) A ∩ C = {x ∈ R : −7 ≤ x ≤ −1}
c) (2 Punkte) A ∪ B ∩C = {x ∈ R : x ∈ (−1, 5) ∨ x ∈ (5, ∞)}={x ∈ R : (−1, ∞) \ {5}}
3
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen (10 Punkte)
Aufgabe 3.1.
Berechnen Sie den folgenden Ausdruck:
|−3i|
(3 − 3i) · (3 − 3i)
+
3 + 9i
1 − 3i
!
·
1 + 3i
3
Aufgabe 3.2.
Bestimmen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:
−2z 2 + 16z − 130 = 0
Lösung 3.1: (5 Punkte)
|−3i|
1−3i
+
(3−3i)·(3−3i)
3+9i
·
1+3i
3
√
(−3)2
1+3i
=
+
(3+3i)·(3−3i)
3+9i
·
1+3i
3
=3
Lösung 3.2: (5 Punkte)
−2z 2 + 16z − 130 = 0
Die Gleichung ist äquivalent zu:
z 2 − 8z + 65 = 0
Mit der p-q-Formel ergibt sich:
z1 = 4 + 7i
∨
z2 = 4 − 7i
4
Aufgabe 4: Surjektivität und Injektivität (10 Punkte)
Gegeben sei die folgende Abbildung mit nicht leeren Mengen D und E:
f :D→E
x 7→ f (x) = −2x2 + 4x
a) Untersuchen Sie f mit D = R und E = (−∞, 2] auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie ihre Antwort kurz und skizzieren
Sie den Verlauf des Graphen von f .
b) Bestimmen Sie D und E derart, dass f
1. injektiv, aber nicht surjektiv ist.
2. f bijektiv ist.
c) Bestimmen Sie für den bijektiven Fall die Umkehrfunktion von f .
Lösung
a) (2 Punkte) f ist nicht injektiv; f ist surjektiv; f ist nicht bijektiv
b) (2 Punkte) 1. Für D = (−∞, 1] und E = R ist f injektiv, aber nicht
surjektiv.
(2 Punkte) 2. Für D = (−∞, 1] und E = (−∞, 2] ist f bijektiv.
c) (6 Punkte) Umkehrfunktion für D = (−∞, 1] und E = (−∞, 2]:
y = −2x2 + 4x
x und y vertauschen:
1
x = −2y 2 + 4y ⇔ −2y 2 + 4y − x = 0 ⇔ y 2 − 2y + x = 0
2
Mit der p-q-Formel ergibt sich:
r
1
y1 = 1 + 1 − x
2
r
∨
y2 = 1 −
f −1 : E → D
q
−1
x 7→ f (x) = 1 − 1 − 12 x
5
1
1− x
2
Aufgabe 5: Lineare Unterräume (10 Punkte)
Prüfen Sie folgende Mengen auf Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation. Bestimmen Sie, ob es sich bei den Mengen um reelle Vektorräume
handelt.

  




y1 


  
 
M1 = y2  y1 , y2 , y3 ∈ R, y1 + y2 = 0

  





 y 3
      



2 
0
1


      
     
M2 = 2 , 1 , 5

     




 3
7 
1
Lösung
a) (6 Punkte) M1 ist ein reeller Vektorraum, denn sie ist abgeschlossen bzgl.
der Addition und der skalaren Multiplikation.
Es gilt: y2 = −y1 und x2 = −x1






 
x1
y1 + x1
y1 + x1
y1






 






 
−y1  + −x1  = −y1 − x1  = −(y1 + x1 ) ∈ M1






 
x3
y3 + x1
y3 + x3
y3
| {z } | {z }
∈M1
∈M1
Sei λ ∈ R, dann gilt:


y1




λ −y1  =


y3
| {z }

λy1


λy1









λ · (−y1 ) = −(λy1 ) ∈ M1




λy3
λy3
∈M1
b) (4 Punkte) M2 ist kein reeller Vektorraum, denn sie ist nicht abgeschlossen
bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation. Es gilt beispielsweise:
 
   
1
1
2
   
 
   
 
/ M2
2 + 2 = 4 ∈
   
 
3
3
6
| {z } | {z }
∈M2
∈M2
6
Sei λ = 3, dann gilt:
 
1
 
 
3 · 2 =
 
3
| {z }
 
3
 
 
/ M2
6 ∈
 
9
∈M2
Kürzere Lösung: M2 ist kein reeller Vektorraum, da jeder Vektorraum
der ungleich {0} ist, unendlich viele Elemente besitzt.
7
Aufgabe 6: Inverse Matrizen (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

1


A= 2

2
0
3



8  , a ∈ R.

a
1
−3
a) Für welches a ∈ R ist die Matrix A nicht invertierbar?
b) Bestimmen Sie für a = 1 die Inverse A−1 der Matrix A.
Lösung
a) (3 Punkte) Mit dem Satz von Sarrus gilt: det(A) = a. Für a = 0 ist
det(A) = 0 und somit A nicht invertierbar.
b) (7 Punkte) Sei a = 1. Für die Inverse von A erhält man:

25


A−1 =  14

−8
8
−9
−5
3
−3



−2 

1
Aufgabe 7: Orthogonale Matrizen (10 Punkte)
Aufgabe 7.1.
Prüfen Sie, ob die Matrix A orthogonal ist.

√1
− √12
 2
 1
√1
A= √
3
 3
√1
6
√1
6
0
√1
3
√2
6





Aufgabe 7.2.
Für welche k ∈ R ist die Matrix Q orthogonal?


2k 1

Q=
1 2k
Lösung 7.1 (4 Punkte) Es muss gelten: A · AT = E = AT · A


1
0
0




√4
A · AT =  0

1
18 

0 √418
1
⇒ A ist nicht orthogonal.
Lösung 7.2 (6 Punkte) Es muss gelten: Q · QT = E = QT · Q

 
 
 
2
2k
1
2k
1
4k
+
1
4k
1
!
·
=
=

Q · QT = 
1 2k
1 2k
4k
1 + 4k 2
0
0
1


Ein Vergleich der Einträge liefert die folgenden Bedingungen für die Orthogonalität von Q:
4k 2 + 1 = 1
4k = 0
Beide Gleichungen haben die Lösung k = 0. Also ist die Matrix Q für k = 0
orthogonal.
9
Aufgabe 8: Rang einer Matrix (10 Punkte)
Aufgabe 8.1.
Zeigen Sie, dass die Matrix A regulär ist.


2 3 0




A =  −1 0 1  .


1 1 1
Aufgabe 8.2.
Gegeben sei die Matrix

1


A =  −1

4
0
3



1  , c ∈ R.

0 c
2
Bestimmen Sie c ∈ R, so dass gilt: rang(A) = 2 und geben Sie für diesen Fall
die det(A) an.
Lösung 8.1 (5 Punkte) Die Matrix A ist regulär, da sie den vollen Rang
rang(A) = 3 besitzt.
Lösung 8.2 (5 Punkte)




(1)
1 0
3
(1)
1 0 3








 0 2
 −1 2 1  (2)
4  (20 ) = (1) + (2)




(30 ) = 4 · (1) − (3)
0 0 12 − c
(3)
4 0 c
Für c = 12 ist rang(A) = 2 und somit det(A) = 0
10
Aufgabe 9: Lineares Gleichungssystem (10 Punkte)
Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
−x1
+ x2
+ x3
=
0
x1
− 3x2
− 2x3
=
b
+ ax3
= −2
2x1
a) Für welche Kombinationen von a,b ∈ R besitzt das Lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen?
b) Bestimmen Sie für a = 2 und b = 5 die Lösungsmenge des Linearen
Gleichungssystems.
Lösung
a) (6 Punkte) Zur Lösung des Gleichungssystems x wird hier der Gausssche
Algorithmus verwendet.


−1
1
1
0
(1)




 1 −3 −2
b  (2)


2
0
a −2
(3)


0
−1
1
1
(10 ) = (1)



 0
 0 −2
−1
b  (2 ) = (1) + (2)


0
2 2 + a −2
(30 ) = 2 · (1) + (3)


(100 ) = (10 )
−1
1
1
0




 0 −2
−1
b  (200 ) = (20 )


(300 ) = (200 ) + (30 )
0
0 1+a b−2
Fallunterscheidung
Fall 1: Für a = −1 und b = 2 besitzt das Lineare Gleichungssystem
unendlich viele Lösungen.
Fall 2: Für a = −1 und b 6= 2 besitzt das Lineare Gleichungssystem
keine Lösung.
Fall 3: Für a 6= −1 und b ∈ R besitzt das Lineare Gleichungssystem
genau eine Lösung.
11
b) (4 Punkte) Die Lösungsmenge lautet:
  



−2



 
L = −3

 



 1 

12