O Komplizierte Dynamik und der Conley-Index - math.uni

O
O
O
O
O
Komplizierte Dynamik und der Conley-Index
O
O
von Enrico Dahl
Gliederung
Gliederung
Algorithmus zur Konstruktion einer kombinatorischen Einschlieÿung für
eine stetige Abbildung
Gliederung
Algorithmus zur Konstruktion einer kombinatorischen Einschlieÿung für
eine stetige Abbildung
Algorithmus zur Bestimmung der kombinatorischen invarianten Menge der
kombinatorischen Einschlieÿung
Gliederung
Algorithmus zur Konstruktion einer kombinatorischen Einschlieÿung für
eine stetige Abbildung
Algorithmus zur Bestimmung der kombinatorischen invarianten Menge der
kombinatorischen Einschlieÿung
Algorithmus zur Konstruktion eines Index-Paares für die stetige Abbildung
Gliederung
Algorithmus zur Konstruktion einer kombinatorischen Einschlieÿung für
eine stetige Abbildung
Algorithmus zur Bestimmung der kombinatorischen invarianten Menge der
kombinatorischen Einschlieÿung
Algorithmus zur Konstruktion eines Index-Paares für die stetige Abbildung
Denition der Index-Abbildung
Gliederung.
Algorithmus zur Konstruktion einer kombinatorischen Einschlieÿung für
eine stetige Abbildung
Algorithmus zur Bestimmung der kombinatorischen invarianten Menge der
kombinatorischen Einschlieÿung
Algorithmus zur Konstruktion eines Index-Paares für die stetige Abbildung
Denition der Index-Abbildung
Homologische Version des Wazewski
Prinzips
Gliederung
Algorithmus zur Konstruktion einer kombinatorischen Einschlieÿung für
eine stetige Abbildung
Algorithmus zur Bestimmung der kombinatorischen invarianten Menge der
kombinatorischen Einschlieÿung
Algorithmus zur Konstruktion eines Index-Paares für die stetige Abbildung
Denition der Index-Abbildung
Homologische Version des Wazewski
Prinzips
Denition des Homology-Conley-Index
X ⊂ Rd heiÿt volle kubische
X ⊂ Kmax(Rd) gibt, so dass
[
X = |X | :=
Q.
Denition 1.1 Eine Menge
endliche Menge
Q∈X
Menge ,
wenn es eine
X ⊂ Rd heiÿt volle kubische
X ⊂ Kmax(Rd) gibt, so dass
[
X = |X | :=
Q.
Denition 1.1 Eine Menge
endliche Menge
Menge ,
wenn es eine
Q∈X
Denition 1.2
Sei
A ⊂ Rd
abgeschlossen und beschränkt. Dann heiÿt die
Menge
wrap
die
(A) := {Q ∈ Kmax | Q ∩ A 6= ∅}
kubische Ummantelung
Sammlung
X
elementarer
wrap
(x) :=
A. Für einen Punkt x ∈ Rd
d
Kuben in R deniert man
von
wrap
({x})
bzw.
wrap
(X ) :=
bzw. eine endliche
wrap
(|X |).
X ⊂ Rd heiÿt volle kubische
X ⊂ Kmax(Rd) gibt, so dass
[
X = |X | :=
Q.
Denition 1.1 Eine Menge
endliche Menge
Menge ,
wenn es eine
Q∈X
Denition 1.2
Sei
A ⊂ Rd
abgeschlossen und beschränkt. Dann heiÿt die
Menge
wrap
die
(A) := {Q ∈ Kmax | Q ∩ A 6= ∅}
kubische Ummantelung
Sammlung
X
elementarer
wrap
(x) :=
A. Für einen Punkt x ∈ Rd
d
Kuben in R deniert man
von
wrap
({x})
bzw.
wrap
collar von
X
deniert durch
wrap
(|X |).
X elementarer Kuben
col (X ) := wrap (X ) \ X .
Denition 1.3 Für eine endliche Sammlung
genannte
(X ) :=
bzw. eine endliche
sei das so-
Denition 1.4 Eine kombinatorische mehrwertige Abbildung
ist eine
kombinatorische Einschlieÿung
wrap
von
(f (Q)) ⊂ F(Q)
f : Rd → Rd ,
∀ Q ∈ Kmax.
F : Kmax
wenn gilt:
−→
−→
Kmax
Denition 1.4 Eine kombinatorische mehrwertige Abbildung
ist eine
kombinatorische Einschlieÿung
wrap
Proposition 1.5 Sei
X
int
von
(f (Q)) ⊂ F(Q)
f : Rd → Rd ,
F : Kmax
wenn gilt:
∀ Q ∈ Kmax.
eine volle kubische Menge. Dann gilt:
X = x ∈ Rd | wrap (x) ⊂ Kmax(X) .
−→
−→
Kmax
Denition 1.4 Eine kombinatorische mehrwertige Abbildung
ist eine
kombinatorische Einschlieÿung
wrap
Proposition 1.5 Sei
X
int
von
f : Rd → Rd ,
(f (Q)) ⊂ F(Q)
F : Kmax
−→
−→
Kmax
wenn gilt:
∀ Q ∈ Kmax.
eine volle kubische Menge. Dann gilt:
X = x ∈ Rd | wrap (x) ⊂ Kmax(X) .
Proposition 1.6 Die kombinatorische mehrwertige Abbildung
binatorische Einschlieÿung von
f,
f (Q) ⊂ int (|F(Q)| )
F
wenn gilt:
∀ Q ∈ wrap (x), x ∈ Rd.
ist eine kom-
Algorithm 1.7
>
>
>
>
>
>
>
Combinatorial enclosure
function combinatorialEnclosure(cubicalSet
for each
Q
in
X
do
A := evaluate(f , Q);
U := cubicalWrap(A);
F {Q} := U ;
endfor;
return
F;
X,
rationalMap
f)
Denition 1.8 Eine kompakte Menge
für eine stetige Abbildung
f,
N ⊂X
ist eine
isolierende Umgebung
wenn
{x ∈ N | ∃σx : Z → N } =: Inv (N, f ) ⊂ int N .
Eine invariante Menge
bung
N
S
heiÿt
isoliert
unter
f,
exisitiert, so dass
S=
Inv
(N, f ).
wenn eine isolierende Umge-
Denition 1.8 Eine kompakte Menge
für eine stetige Abbildung
f,
N ⊂X
ist eine
isolierende Umgebung
wenn
{x ∈ N | ∃σx : Z → N } =: Inv (N, f ) ⊂ int N .
Eine invariante Menge
bung
N
S
heiÿt
isoliert
unter
f,
wenn eine isolierende Umge-
exisitiert, so dass
S=
Inv
Proposition 1.9 Eine kompakte Menge
(N, f ).
N
ist eine isolierende Umgebung für
genau dann, wenn
∀ x ∈ bd N
6 ∃ σx : Z → N .
f
Denition 1.8 Eine kompakte Menge
für eine stetige Abbildung
f,
N ⊂X
ist eine
isolierende Umgebung
wenn
{x ∈ N | ∃σx : Z → N } =: Inv (N, f ) ⊂ int N .
Eine invariante Menge
bung
N
S
heiÿt
isoliert
unter
f,
wenn eine isolierende Umge-
exisitiert, so dass
S=
Inv
Proposition 1.9 Eine kompakte Menge
(N, f ).
N
ist eine isolierende Umgebung für
f
genau dann, wenn
∀ x ∈ bd N
Denition 1.10 Sei
von
A⊂X
f :X→X
6 ∃ σx : Z → N .
eine stetige Abbildung. Unter einer
versteht man die Menge
bdf
(A) := cl (f (A)\A) ∩ A.
f-boundary
Beispiel 1.11 Betrachte die lineare Abbildung
Matrix
2 0
0 1/2
A := x ∈ R2 | kxk ≤ 4 .
f=
Weiterhin sei
Oensichtlich ist
f : R2 → R2
gegeben durch die
.
f (A) = [−8, 8] × [−2, 2].
Man erhält
bdf
(A) = cl (f (A)\A) ∩ A
= cl ([−8, 8] × [−2, 2])\[−4, 4]2 ∩ [−4, 4]2
= {±4} × [−2, 2].
Denition 1.12 Ein
Index-Paar
P = (P1, P0), P0 ⊂ P1
für
f
ist ein Paar kompakter Mengen
mit folgenden Eigenschaften:
( (P1\P0), f ) ⊂ int (cl(P1\P0)) ;
(a)
Inv cl
(b)
f (P0) ∩ P1 ⊂ P0;
(c)
bdf
(P1) ⊂ P0;
(isolation)
(positive invariance)
(exit set)
Denition 1.12 Ein
Index-Paar
P = (P1, P0), P0 ⊂ P1
für
f
ist ein Paar kompakter Mengen
mit folgenden Eigenschaften:
( (P1\P0), f ) ⊂ int (cl(P1\P0)) ;
(a)
Inv cl
(b)
f (P0) ∩ P1 ⊂ P0;
(c)
bdf
(isolation)
(positive invariance)
(P1) ⊂ P0;
(exit set)
Bemerkungen 1.13
i)
Ein Index-Paar für die Abbildung
das Paar
ii)
f
aus dem Beispiel 1.11 ist
(P1, P0) = (A, bdf (A)).
Die leere Menge ist eine kubische Menge. Es gilt
∅ = Inv (∅, f ) ⊂ int ∅ = ∅.
Folglich ist die leere Menge eine isolierte invariante Menge.
iii)
f : R → R gegeben durch f (x) = x+1. Weiterhin sei N = {0} ∪ {1}.
Inv(N, f ) = ∅ und (P1 , P0 ) = (N, {1}) ein Index-Paar für f .
Betrachte
Dann ist
Beachte:
{Hk (P1, P0)}k∈Z = H∗({0} ∪ {1}, {1}) ∼
=
Man kann also nicht aus
Z ,k = 0
.
0 , k 6= 0
H∗(P1, P0) 6= 0 folgern, dass Inv(cl(P1\P0), f ) 6= ∅.
Denition 1.14 Eine
ΓQ : Z → Kmax,
(i)
(ii)
volle Lösung durch
Q ∈ Kmax
die folgende Eigenschaften erfüllt:
ΓQ(0) = Q;
ΓQ(n + 1) ∈ F(ΓQ(n)) ∀ n ∈ Z.
unter
F
ist eine Funktion
volle Lösung durch
Denition 1.14 Eine
ΓQ : Z → Kmax,
(i)
(ii)
Q ∈ Kmax
unter
F
Kmax.
Die
ist eine Funktion
die folgende Eigenschaften erfüllt:
ΓQ(0) = Q;
ΓQ(n + 1) ∈ F(ΓQ(n)) ∀ n ∈ Z.
Denition 1.15 Sei
riante Menge
N
in
N
eine endliche Teilmenge von
unter
F
maximale inva-
ist
(N , F) := {Q ∈ N | ∃ ΓQ : Z → N }.
Inv
Entsprechend ist die
positive
bzw.
negative maximale invariante Menge
niert durch
+
(N , F) := {Q ∈ N | ∃ ΓQ : Z+ → N }
−
−
Inv (N , F) := {Q ∈ N | ∃ ΓQ : Z
→ N }.
Inv
bzw.
de-
Denition 1.16 Die
Inverse
F −1 : Kmax
−→
−→
Kmax
von
F
ist deniert durch
F −1(R) := {Q ∈ Kmax | R ∈ F(Q)}.
F −1 aus einer unendlichen Anzahl von Kuben
besteht, deniert man FX := F|X mit einer endlichen Menge X ⊂ Kmax und
entsprechend die Inverse von FX durch
Da die Möglichkeit besteht, dass
FX−1(R) := {Q ∈ X | R ∈ F(Q)}.
Denition 1.16 Die
Inverse
F −1 : Kmax
−→
−→
Kmax
von
F
ist deniert durch
F −1(R) := {Q ∈ Kmax | R ∈ F(Q)}.
F −1 aus einer unendlichen Anzahl von Kuben
besteht, deniert man FX := F|X mit einer endlichen Menge X ⊂ Kmax und
entsprechend die Inverse von FX durch
Da die Möglichkeit besteht, dass
FX−1(R) := {Q ∈ X | R ∈ F(Q)}.
Proposition 1.17 Sei
N ⊂ Kmax
−
Inv
und
F : Kmax
(N , F) ∩ Inv+(N , F) =
F(Inv−(N , F)) ∩ N ⊂
F −1(Inv+(N , F)) ∩ N ⊂
−→
−→
Kmax.
Dann gilt:
(N , F),
−
Inv (N , F),
+
Inv (N , F).
Inv
Denition 1.16 Die
Inverse
F −1 : Kmax
−→
−→
Kmax
von
F
ist deniert durch
F −1(R) := {Q ∈ Kmax | R ∈ F(Q)}.
F −1 aus einer unendlichen Anzahl von Kuben
besteht, deniert man FX := F|X mit einer endlichen Menge X ⊂ Kmax und
entsprechend die Inverse von FX durch
Da die Möglichkeit besteht, dass
FX−1(R) := {Q ∈ X | R ∈ F(Q)}.
Proposition 1.17 Sei
N ⊂ Kmax
und
F : Kmax
−
Inv
Theorem 1.18 Sei
(N , F) ∩ Inv+(N , F) =
F(Inv−(N , F)) ∩ N ⊂
F −1(Inv+(N , F)) ∩ N ⊂
F : Kmax
−→
−→
Kmax
−→
−→
Kmax.
Dann gilt:
(N , F),
−
Inv (N , F),
+
Inv (N , F).
Inv
eine kombinatorische mehrwertige Ab-
N eine endliche Teilmenge von Kmax.
Sj ∈ Kmax, j = 0, 1, 2, ... sei wie folgt deniert:
bildung und
Die Folge von Teilmengen
S0 := N ,
Sj+1 := F(Sj ) ∩ Sj ∩ FN−1(Sj ).
Dann gilt:
∃j0 : Sj = Sj0 ∀ j ≥ j0
und
Sj0 = Inv(N , F).
Sj+1 ⊂ Sj ∀j = 0, 1, 2, . . .
so dass Sj = Sj ∀j ≥ j0 .
0
Beweis. Es gilt
j0 ∈ N
geben,
Behauptung:
. Da
S0
endlich ist, muss es ein
Sj0 ⊂ Inv(N , F).
Aus der Gleichheit
Sj0 = Sj0+1 = F(Sj0 ) ∩ Sj0 ∩ FN−1(Sj0 )
folgt, dass es für jedes
und
L ∈ F(Q).
Q ∈ Sj0
Elemente
K, L ∈ Sj0
gibt, so dass
K und L anwenden.
durch Q unter F denieren
Das gleiche Argument kann man auf
Somit lässt sich eine Lösung
ΓQ : Z → Kmax
indem man setzt:
ΓQ(0) := Q,
ΓQ(−1) := K,
ΓQ(1) := L.
Die Lösung lässt sich induktiv zu einer vollen Lösung fortsetzen.
Da
Sj0 ⊂ N
und
Q ∈ Sj0
Q ∈ F(K)
beliebig gewählt wurde, erhält man
Sj0 = Inv(Sj0 , F) ⊂ Inv(N , F).
(N , F) ⊂ Sj0 .
Behauptung: Inv
(N , F) ⊂ Sk ∀k = 0, 1, 2, . . .
Es genügt Inv
j0
\
Sj0 =
k=0
Beweis per Induktion über
Für
k=0
Sk =
zu zeigen, denn
∞
\
k=0
k.
gilt nach Denition Inv
(N , F) ⊂ N = S0.
(N , F) ⊂ Sk . Für alle Q ∈
ΓQ : Z → Inv(N , F) durch Q unter F .
Sei nun also Inv
Setze
Es ist
Qn := ΓQ(n)
für
Sk .
n ∈ Z.
Q = Q0 ∈ F(Q−1)
(N , F)
Inv
gibt es eine Lösung
Nach Induktionsannahme ist
und
Q1 ∈ F(Q)
bzw.
Qn ∈ Sk ∀n.
Q ∈ FN−1(Q1).
Man er-
hält
Q ∈ Sk ∩ F(Q−1) ∩ FN−1(Q1) ⊂ Sk ∩ F(Sk ) ∩ FN−1(Sk ) = Sk+1.
Also ist
Q ∈ Sk+1
und somit Inv
(N , F) ⊂ Sk+1.
Algorithm 1.19
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Combinatorial invariant set
function invariantPart(set
N,
combinatorialMap
F := restrictedMap(F , N );
F inv := evaluateInverse(F );
S := N ;
repeat
0
S := S ;
00
S := interection(S ,
00
S := interection(S ,
0
until (S = S );
return S ;
F , S ));
evaluate(F inv , S ));
evaluate(
F)
Algorithm 1.19
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Combinatorial invariant set
function invariantPart(set
combinatorialMap
F := restrictedMap(F , N );
F inv := evaluateInverse(F );
S := N ;
repeat
0
S := S ;
00
S := interection(S ,
00
S := interection(S ,
0
until (S = S );
return S ;
Denition 1.20 Sei
N
N,
ist eine
N
F , S ));
evaluate(F inv , S ));
evaluate(
eine endliche Teilmenge von
isolierende Umgebung ,
(
wenn
(N , F)) ⊂ N .
wrap Inv
Kmax.
F)
Algorithm 1.21
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Combinatorial index pair
function indexPair(cubicalSet
N,
combinatorialMap
S := invariantPart(N , F );
M := cubicalWrap(S );
if subset(M , N ) then
F := restrictedMap(F , M );
C := collar(S );
P 0 := interection(evaluate(F , S ),
C);
repeat
lastP 0 := P 0;
P 0 := interection(evaluate(F , P 0),
P 0 := union(P 0, lastP 0);
until (P 0 = lastP 0);
P 1 := union(S , P 0);
P bar1 := evaluate(F , P 1);
P bar0 := setminus(P bar1, S );
return (P 1, P 0, P bar1, P bar0);
else
return "Failure";
endif
C);
F)
Theorem 1.22 Es stehe
schlieÿung
F
F
im Algorithmus 1.21 für eine kombinatorische Ein-
einer stetigen Abbildung
präsentation einer kubische Menge
N.
f : Rd → Rd
und
N
Wenn der Algorithmus nicht Failure
P1, P0, P̄1, P̄0 von kubischen Mengen
S := Inv(N , F) gilt:
zurückgibt, erhält man Repräsentationen
P1, P0, P̄1, P̄0,
(i)
|S|
so dass für
ist eine isolierende Umgebung für
(ii)
(P1, P0)
ist ein Index-Paar für
(iii)
Pi ⊂ P̄i
für
(iv)
f (Pi) ⊂ P̄i
i = 0, 1,
für
sei eine Re-
i = 0, 1.
f,
f,
(|S|, f )
welches Inv
isoliert,
Beweis. Zu (i):
(
|S|
ist eine isolierende Umgebung für
f.
)
Unter der Annahme, dass der Algorithmus nicht Failure zurückgibt,
ist wrap
(S) ⊂ N .
Angenommen
|S|
Folglich ist
N
eine isolierende Umgebung für
ist nun keine isolierende Umgebung für
γx : Z → |S|
durch
f.
(|S|, f ) ∩ bd |S| =
6 ∅, d.h. es gibt
einen Randpunkt x ∈ bd |S| unter f .
Das bedeutet, dass Inv
F.
eine volle Lösung
Q ∈ wrap (x) \ S und deniere ΓQ : Z → Kmax durch ΓQ(0) := Q.
n =
6 0 sei ΓQ(n) irgendein Element von wrap (γx(n)). Dann gilt nach
Wähle nun
Für
Denition 1.4
ΓQ(n + 1) ∈ wrap (γx(n + 1)) = wrap (f (γx(n))) ⊂ F(ΓQ(n)).
Also ist
ΓQ
eine volle Lösung durch
Auÿerdem ist
Q
unter
F.
ΓQ(n) ∈ wrap (γx(n)) ⊂ wrap (S) ⊂ N
wegen
γx(n) ∈ |S|.
ΓQ eine volle Lösung in der isolierenden Umgebung N
Q = ΓQ(0) ∈ Inv(N , F) = S im Widerspruch zur Wahl von Q.
Somit ist
und daher
Zu (ii):
Sei
(0)
P0
(
(P1, P0)
ist ein Index-Paar für
der erste Wert, der
Wert von
P0
P0
f,
(|S|, f )
welches Inv
zugewiesen wird und
isoliert. )
(i)
P0 , i = 0, 1, 2, . . .
der
beim i-ten Durchlauf der repeat-until Schleife. Dann ist
(0)
P0
(i+1)
P0
Insbesondere gilt:
= F(S) ∩ col (S),
(i)
(i)
= P0 ∪ F(P0 ) ∩ col (S) ,
(i)
P0 ⊂ col (S)
Es gibt sogar einen Index
i0 ,
und
so dass
(i)
(i+1)
P0 ⊂ P0
(i )
i = 0, 1, 2, . . ..
für
(i +1)
P0 0 = P0 0
i = 0, 1, 2, . . . .
, da sonst
(i)
{P0 }i∈N
eine
unendliche, streng monoton wachsende Folge von endlichen Teilmengen von
col
(S)
wäre, was oensichtlich unmöglich ist. Folglich wird die Schleife (und
somit der gesamte Algorithmus) immer verlassen.
Man erhält also:
(i )
P0 = P0 0 ,
P0 ⊂ col (S),
P0 ∩ S = ∅.
Zu (a):
Es ist
(
( (P1\P0), f ) ⊂ int (cl(P1\P0))
Inv cl
P1 = S ∪ P0
und wegen
P0 ∩ S = ∅
ist
)
P1\P0 = S .
Man erhält
P1\P0 = |P1|\|P0| =
[
Q\|P0| =
Q∈P1
[
Q\|P0|.
Q∈S
Also ist
cl
(P1\P0) =
[
cl
(Q\|P0|) =
Q∈S
Somit ist Eigenschaft (a) schon bewiesen in (i).
[
Q∈S
Q = |S|.
Zu (b): (
f (P0) ∩ P1 ⊂ P0
Zunächst zeigt man, dass
)
F(P0) ∩ S = ∅.
Zu (b): (
f (P0) ∩ P1 ⊂ P0
Zunächst zeigt man, dass
Zusammen mit
Sei nun
x ∈ P0
Dann ist
x∈Q
)
F(P0) ∩ S = ∅.
S = P1\P0
und
folgt dann
F(P0) ∩ P1 ⊂ P0.
f (x) ∈ P1.
für ein
Q ∈ P0
und
f (x) ∈ R
für ein
R ∈ P1.
Mit Denition 1.4 erhält man
R ∈ wrap(f (x)) ⊂ F(Q) ⊂ F(P0).
Aus
F(P0) ∩ P1 ⊂ P0
folgt
R ∈ P0
und somit
f (x) ∈ P0.
Zu (c): ( bdf
(P1) ⊂ P0
)
Zunächst zeigt man, dass
F(P1) ∩ col(S) ⊂ P0
und
bd
P1 ⊂ |col(S)|.
Zu (c): ( bdf
(P1) ⊂ P0
)
Zunächst zeigt man, dass
F(P1) ∩ col(S) ⊂ P0
und
bd
P1 ⊂ |col(S)|.
Damit folgt
bdf
(P1) = cl(f (P1)\P1) ∩ P1
⊂ f (P1) ∩ bd P1
⊂ int |F(P1)| ∩ |col(S)|
⊂ |F(P1) ∩ col(S)| ⊂ |P0| = P0.
Zu (iii): (
Pi ⊂ P̄i
für
i = 0, 1
Zunächst zeigt man, dass
)
P0 ⊂ F(P1)\S .
Zu (iii): (
Pi ⊂ P̄i
für
i = 0, 1
Zunächst zeigt man, dass
Wegen
)
P0 ⊂ F(P1)\S .
P̄0 = P̄1\S = F(P1)\S
folgt also
P0 ⊂ P̄0
und somit auch
Weiterhin ist
P1 = S ∪ P0 ⊂ F(S) ∪ (F(P1)\S) ⊂ F(P1) = P̄1.
P0 ⊂ P̄0.
Zu (iv): (
Für
f (Pi) ⊂ P̄i
i = 0, 1
für
i = 0, 1
)
ist
f (Pi) =
[
Q∈Pi
f (Q) ⊂
[
|F(Q)| = |F(Pi)|.
Q∈Pi
Daher ist
f (P1) ⊂ |F(P1)| = |P̄1| = P̄1,
Wegen
F(P0) ∩ S = ∅
( gezeigt in (ii) (b) ) ist
f (P0) ⊂ |F(P0)| ⊂ |F(P0)\S| ⊂ |F(P1)\S| = |P̄0| = P̄0. Lemma 1.23
P1, P0, P̄1, P̄0
Es seien die Abbildungen
f, F
und die kubischen Mengen
gegeben wie im Theorem 1.22.
ι : (P1, P0) → (P̄1, P̄0)
ι∗ : H∗(P1, P0) → H∗(P̄1, P̄0).
Dann induziert die Inklusionsabbildung
Isomorphismus
einen
Beweis. Seien
Mit
F, S, P1, P0, P̄1
R := (F(P1)\S) \ P0
ist
und
P̄0
wie im Beweis zu Theorem 1.22.
P̄1\P1 = R = P̄0\P0.
Man erhält
P̄1\P1 =
[
Q\P1 =
[
Q\P1 =
[
Q∈P̄1
Q∈P̄1 \P1
Q∈R
[
[
[
Q\P1
und
P̄0\P0 =
Q\P0 =
Q∈P̄0
Es gilt
Q\P0 = Q\P1
für
Q ∈ R.
Q∈P̄0 \P0
Q\P0 =
Q∈R
Q\P0.
Beweis. Seien
Mit
F, S, P1, P0, P̄1
R := (F(P1)\S) \ P0
ist
und
P̄0
wie im Beweis zu Theorem 1.22.
P̄1\P1 = R = P̄0\P0.
Man erhält
P̄1\P1 =
[
[
Q\P1 =
Q\P1 =
[
Q∈P̄1
Q∈P̄1 \P1
Q∈R
[
[
[
Q\P1
und
P̄0\P0 =
Q\P0 =
Q∈P̄0 \P0
Q∈P̄0
Es gilt
Q\P0 = Q\P1
Folglich ist
Mit
für
und
A := P̄0
Q\P0.
Q∈R
Q ∈ R.
P̄1\P1 = P̄0\P0
X := P̄1
Q\P0 =
und mit
U := P̄1\P1
erhält man
Pi = P̄i\U .
folgt die Behauptung aus folgendem Theorem:
U ⊂ A representable. Then
X\U is a cubical set and the inclusion map ι : (X\U, A\U ) → (X, A) induces
an isomorphism ι∗ : H∗ (X\U, A\U ) → H∗ (X, A)
Theorem 9.14 Let
(X, A)
be a cubical pair and
Bemerkungen.
i)
Nach Lemma 1.23 ist also die Abbildung
ι−1
∗ : H∗ (P̄1 , P̄0 ) → H∗ (P1 , P0 )
wohldeniert.
ii)
Nach Theorem 1.22 (iv) ist auch die Abbildung
f : (P1, P0) → (P̄1, P̄0)
wohldeniert und induziert eine Homologie-Abbildung.
Bemerkungen.
i)
Nach Lemma 1.23 ist also die Abbildung
ι−1
∗ : H∗ (P̄1 , P̄0 ) → H∗ (P1 , P0 )
wohldeniert.
ii)
Nach Theorem 1.22 (iv) ist auch die Abbildung
f : (P1, P0) → (P̄1, P̄0)
wohldeniert und induziert eine Homologie-Abbildung.
Denition 1.24
Sei
P = (P1, P0)
ein kubisches Index-Paar für
iert durch den Algorithmus 1.21. Die
verknüpfte Index-Abbildung
durch
fP ∗ := ι−1
∗ ◦ f∗ : H∗ (P1 , P0 ) → H∗ (P1 , P0 ).
f
konstru-
ist deniert
Bemerkungen.
i)
Nach Lemma 1.23 ist also die Abbildung
ι−1
∗ : H∗ (P̄1 , P̄0 ) → H∗ (P1 , P0 )
wohldeniert.
ii)
Nach Theorem 1.22 (iv) ist auch die Abbildung
f : (P1, P0) → (P̄1, P̄0)
wohldeniert und induziert eine Homologie-Abbildung.
Denition 1.24
Sei
P = (P1, P0)
ein kubisches Index-Paar für
iert durch den Algorithmus 1.21. Die
verknüpfte Index-Abbildung
f
konstru-
ist deniert
durch
fP ∗ := ι−1
∗ ◦ f∗ : H∗ (P1 , P0 ) → H∗ (P1 , P0 ).
G eine abelsche Gruppe. Ein Homomorphismus L : G → G
n
wenn ein n > 0, n ∈ N existiert, so dass L = 0.
Denition 1.25 Sei
ist
nilpotent ,
Theorem 1.26
Sei
P = (P1, P0)
ein kubisches Index-Paar für
f
konstruiert
durch den Algorithmus 1.21. Wenn die verknüpfte Index-Abbildung
nilpotent ist, gilt
( (P1\P0), f ) 6= ∅.
Inv cl
fP ∗
nicht
Theorem 1.26
Sei
P = (P1, P0)
ein kubisches Index-Paar für
f
konstruiert
durch den Algorithmus 1.21. Wenn die verknüpfte Index-Abbildung
fP ∗
nicht
nilpotent ist, gilt
( (P1\P0), f ) 6= ∅.
Inv cl
Bemerkungen.
i)
Dieses Theorem kann man als homologische Version des Wazewski-Prinzips
interpretieren.
ii)
Ist
F
eine kombinatorische Einschlieÿung von
stetige Abbildung
g
f , dann ist F
auch für jede
mit genügend kleiner Störung eine kombinatorische
P = (P1, P0) ein Index-Paar für f ist, dann ist
es auch ein Index-Paar für g .
Ist fP ∗ nicht nilpotent, dann ist auch gP ∗ nicht nilpotent. Folglich ist
Inv (cl (P1 \P0 ), f ) 6= ∅ und Inv (cl (P1 \P0 ), g) 6= ∅ für jedes g genügend
dicht bei f . Wobei genügend dicht nur von der Wahl von F abhängt.
Einschlieÿung, d.h. wenn
iii)
(P1, P0) und (Q1, Q0) Index-Paare für f . Wenn
S = Inv (cl (P1\P0), f ) = Inv (cl (Q1\Q0), f ) garantiert die
Conley-Index Theorie, dass fP ∗ und gP ∗ shift äquivalent sind.
Es seien
Denition 1.27 Zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen
0
0
f : G → G und g : G → G sind shift äquivalent , wenn Gruppenhomomor0
0
phismen r : G → G und s : G → G und eine natürliche Zahl m existieren, so
dass
r ◦ f = g ◦ r,
s ◦ g = f ◦ s,
r ◦ s = gm,
s ◦ r = f m.
Denition 1.27 Zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen
0
0
f : G → G und g : G → G sind shift äquivalent , wenn Gruppenhomomor0
0
phismen r : G → G und s : G → G und eine natürliche Zahl m existieren, so
dass
r ◦ f = g ◦ r,
Proposition 1.28
Seien
s ◦ g = f ◦ s,
f : G → G
0
s ◦ r = f m.
0
g : G → G Gruppenhomomorist f genau dann nilpotent, wenn g
und
phismen die shift äquivalent sind. Dann
nilpotent ist.
r ◦ s = gm,
f : X → X eine stetige Abbildung, S eine isolierte invariante Menge und (P1 , P0 ) ein Index-Paar für f , so dass S = Inv(cl(P1 \P0 ), f ).
Der Homology-Conley-Index für S ist die shift Äquivalenzklasse der IndexAbbildung fP ∗ .
Denition 1.29 Seien
f : X → X eine stetige Abbildung, S eine isolierte invariante Menge und (P1 , P0 ) ein Index-Paar für f , so dass S = Inv(cl(P1 \P0 ), f ).
Der Homology-Conley-Index für S ist die shift Äquivalenzklasse der IndexAbbildung fP ∗ .
Denition 1.29 Seien
Theorem 1.26
Sei
P = (P1, P0)
ein kubisches Index-Paar für
f
konstruiert
durch den Algorithmus 1.21. Wenn die verknüpfte Index-Abbildung
nilpotent ist, gilt
( (P1\P0), f ) 6= ∅.
Inv cl
fP ∗
nicht
f : X → X eine stetige Abbildung, S eine isolierte invariante Menge und (P1 , P0 ) ein Index-Paar für f , so dass S = Inv(cl(P1 \P0 ), f ).
Der Homology-Conley-Index für S ist die shift Äquivalenzklasse der IndexAbbildung fP ∗ .
Denition 1.29 Seien
Theorem 1.26
Sei
P = (P1, P0)
ein kubisches Index-Paar für
f
konstruiert
durch den Algorithmus 1.21. Wenn die verknüpfte Index-Abbildung
fP ∗
nilpotent ist, gilt
( (P1\P0), f ) 6= ∅.
Inv cl
Beweis. Behauptung:
Die leere Menge
Funktion
Sei
Es
f.
∅
( (P1\P0), f ) = ∅
Das Paar
(∅, ∅)
ist ein Index-Paar für
ist nilpotent.
∅.
Index-Abbildung.
Da der Conley-Index wohldeniert ist, sind
fP ∗
fP ∗
ist eine isolierte invariante Menge für jede stetige
g∗ : H∗(∅, ∅) → H∗(∅, ∅) die induzierte
ist g∗ = 0, d.h. g∗ ist nilpotent.
Folglich ist
⇒
Inv cl
g∗
und
nilpotent nach Proposition 1.28.
fP ∗
shift äquivalent.
nicht