Mathematische und statistische Methoden II

Methodenlehre
& Statistik
Sprechstunde
jederzeit nach
Vereinbarung und
nach der Vorlesung
Mathematische und
statistische Methoden II
Wallstr. 3, 6. Stock,
Raum 06-206
Dr. Malte Persike
persike@uni-mainz.de
lordsofthebortz.de
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SoSe 2012
Folie 1
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Methodenlehre
& Statistik
Inhalte
dieser Sitzung
 Von Merkmalen zu Variablen
 Von Variablen zu Zufallsvariablen – das Experiment
 Das Sichere am Zufall: Ergebnisse und Ereignisse
 Laplaces Antwort auf die Frage „Was ist eigentlich
Wahrscheinlichkeit?“
Folie 2
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Merkmale & Variablen
Grundlagen
Zufallsexperimente

Eigenschaften, deren Werte bei den statistischen
Einheiten beobachtet werden, heißen Merkmale

Die „Werte“, die ein Merkmal annehmen kann, heißen
Ausprägungen
Stichprobenraum

Die Ausprägungen eines Merkmals können beliebiger Art
sein (z.B. Worte, Formen, Farben etc.)

Eine Variable wird definiert, indem den Ausprägungen
des Merkmals Zahlen zugeordnet werden. Diese Zahlen
heißen Realisationen oder Werte.
Zufallsvariablen
„2“
„13“
Merkmal
Punkte auf Fläche
Folie 3
„5“
„36“
Variable
Zahlen
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Merkmale & Variablen
Notation
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Folie 4
 Variablen werden mit Großbuchstaben
symbolisiert, häufig verwendet man X und Y
 Die Realisationen einer Variablen werden dann
mit den entsprechenden Kleinbuchstaben
gekennzeichnet, also x und y
 Die Menge aller möglichen Realisationen ist der
Wertebereich einer Variablen
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Variablen
Definition
Zufallsexperimente
 Variablen werden immer über eine mathematische
Formulierung definiert, z.B.
Merkmal
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variable
0, wenn
 x1: 1,
 x : 2,
 2 1, wenn
X 


 x 6 : 6,
5, wenn
 Die extensionale Definition zählt alle
Realisationen der Variablen auf und weist ihnen
Symbole zu (x1, x2, …).
Folie 5
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Variablen
Definition
Zufallsexperimente
 Variablen werden immer über eine mathematische
Formulierung definiert, z.B.
Merkmal
Stichprobenraum
Variable
X  0  
Zufallsvariablen
 Die intensionale Definition gibt eine Vorschrift
an, die die Variable und ihre Realisationen
eindeutig spezifiziert.
Folie 6
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Zufallsexperimente
 Frage: Wie werden Realisationen symbolisiert?
Stichprobenraum
 Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen,
so werden diese fortlaufend mit x1, x2, …, xk indiziert
Zufallsvariablen
Folie 7
 Ziel: Eine formale Schreibweise für „Der Wert der
vierten Ausprägung von X“ zu finden
 Die Laufindizes dienen dazu, die einzelnen Realisationen eindeutig zu adressieren (Beginn bei 1).
 x1: 1, wenn <18

Alter X   x2 : 2, wenn <68
 x : 3, wenn  68
 3
 y1: 0, wenn <18

Alter Y   y2 : 18, wenn <68

 y3 : 68, wenn  68
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Folie 8
 Frage: Wie werden Realisationen symbolisiert?
 Ziel: Eine formale Schreibweise für „Der Wert der
vierten Ausprägung von X“ zu finden
 Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen,
so werden diese fortlaufend mit x1, x2, …, xk indiziert
 Die Laufindizes dienen dazu, die einzelnen Realisationen eindeutig zu adressieren (Beginn bei 1)
 Das Symbol xj mit j = 1…k bezeichnet dann die j-te
Realisation der Zufallsvariablen X.
 Diese Indizierung ist nur für diskrete Variablen
sinnvoll, da stetige Variablen unendlich viele
Realisationen haben
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
 Frage: Wie werden Merkmalsträger symbolisiert?
 Ziel: Eine formale Schreibweise für „Der Wert der
vierten Person in der Stichprobe“ zu finden
 Konvention:
Für die Gesamtzahl von Personen wird nahezu
immer das Zeichen n (oder N) benutzt.
Für die Gesamtzahl von Realisationen werden
andere Kleinbuchstaben verwendet (z.B. k)
 Dann dient wieder ein Laufindex dazu, die
einzelnen Personen zu adressieren

Folie 9
Das Symbol xi mit i = 1…n bezeichnet dann die i-te
Messung der Zufallsvariablen X.
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Zufallsexperimente
 Problem: Das Symbol
x3
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Folie 10
kann „die dritte Realisation der Zufallsvariablen X“ sein
oder auch „der Wert der 3. Person in der Stichprobe“

Also: Es muss vorher definiert sein, was der Laufindex
bedeutet, z.B. „Die Variable X habe k Realisationen und
sei an n Personen gemessen worden“.
xi
xj
mit i = 1…n
mit j = 1…k
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Skalen
Nominalskala
Notation
 In psychologischen Experimenten gibt es oft viele
Variablen, die als UV oder AV erhoben werden.
 Beispiel: An einer Stichprobe von Personen verschiedenen Geschlechts wird der durchschnittliche
Alkoholkonsum über einen Monat hinweg gemessen.
 Man hat hier offenbar 3 Variablen sowie mehrere
Messungen verschiedener Merkmalsträger
•
•
•
IQ als AV: (X)
Geschlecht als UV (Y)
Alkoholabhängigkeit als UV (Z)
 Frage: Wie indiziert man z.B. „Die IQ-Messung des
4. Mannes in der Gruppe der Alkoholiker?“
Folie 11
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Skalen
 Die Variable Geschlecht (Y) wird in k=2
Ausprägungen gemessen:
y1: 0 = männlich
y2: 1 = weiblich
Nominalskala
Notation
 Die Variable Alkoholkonsum (Z) wird diskretisiert in
m=5 Ausprägungen (Jelinek, 1951) gemessen:
Z=
Folie 12
z1:
z2:
z3:
z4:
z5:
0
1
2
3
4
=
=
=
=
=
Kein Alkoholkonsum
Konflikt-/Erleichterungstrinker
Gelegenheitstrinken
Rauschtrinken (Alkoholiker)
Periodisches Trinken (Alkoholiker)
 Es nehmen insgesamt n=220 Personen teil
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Skalen
Nominalskala
Notation
 Die AV ist der IQ. Dies ist die Variable, deren
Realisation im Experiment bei den
Merkmalsträgern gemessen wird.
 Die beiden anderen Variablen sind UVen, deren
Realisationen vor dem Experiment bereits
feststehen, bzw. erhoben werden.
 Zur eindeutigen Indizierung des IQ eines
Merkmalsträgers werden nun mehrere
Laufindizes benötigt
Folie 13
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Exkurs: Notation
Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern
Skalen
Nominalskala
Notation
 Eine Person fällt immer in eine der km = 25 = 10
Gruppen von Geschlecht und Alkoholkonsum
 Der Laufindex für Geschlecht sei r = 1…k und für
Alkoholkonsum s = 1…m
 Jede der 10 Gruppen hat also nrs Mitglieder
 Jede Person kann eindeutig identifiziert werden über
xirs
Folie 14
mit i=1…nrs
r=1…k, s=1…m
 So ist z.B. x4,1,3 der IQ des vierten Mannes unter den
Gelegenheitstrinkern
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Variablen
Typisierung von Merkmalen und Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
 Die wichtigste Typisierung unterscheidet
diskrete von stetigen (kontinuierlichen) Daten
 Hierbei sind Typen von Merkmalen und Typen
von Variablen streng zu unterscheiden.
●
 x1: 0, wenn <18

Alter X   x 2 : 1, wenn <68
 x : 2, wenn  68
 3
Zufallsvariablen
●
Folie 15
Alter ist ein stetiges Merkmal. Eine Variable
„Alter“ kann aber diskret definiert werden als
Gleiches gilt z.B. für Intelligenz, Schulleistung,
Sehvermögen, Fahreignung
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Variablen & Messungen
Unterscheidung
Zufallsexperimente
 Die empirische Feststellung der Realisation einer
Variablen wird als Messung bezeichnet
Stichprobenraum
 Dabei ist zu unterscheiden zwischen der
Beobachtung der Ausprägung des Merkmals und
der Messung der Realisation der Variablen
Zufallsvariablen
 Denn: Die Beobachtung kann eine Information in
beliebiger Form erheben (z.B. verbal, bildlich), die
Messung liefert immer eine Zahl.
 Die gemessenen Zahlenwerte einer Variablen
heißen Messwerte
Folie 16
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
 Eine Variable wird zur Zufallsvariablen, wenn ihre
Realisation in einem Zufallsexperiment
festgestellt wird.
Stichprobenraum
 (Zufalls-)Experiment = Ein Satz von Regeln,
unter denen eine bestimmte Handlung ausgeführt
wird (Bedingungskomplex Ξ, „Xi“)
 Trial = Eine Durchführung des Experimentes
Zufallsvariablen
 Ergebnis = Beobachtung am Ende des Trials
(in beliebiger Form, z.B. als Zahl, Bild, Symbol, Farbe etc.)
 Ereignis = Jede beliebige Menge von Ergebnissen
 Achtung: Ergebnisse & Ereignisse sind noch nicht
zwangsläufig Realisationen einer Zufallsvariablen
Folie 17
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Folie 18
Variablen
Zufallsvariablen
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf

Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger Würfel ist einmal
zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben.
Ergebnis ist die Augenzahl der oben liegenden Seite.

Ergebnisse: Jede mögliche Augenzahl (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Ereignisse: „1“, „1 oder 6“, „Augenzahl ≤ 3“, „ungerade
Zahl“, „irgendeine Zahl“

Trial: Der einmalige Wurf des Würfels
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Folie 19
Variablen
Zufallsvariablen
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf

Zufallsexperiment (Ξ): Eine Münze ist zweimal zu
werfen. Sie kann nicht auf einer Kante liegen bleiben.
Ergebnis ist die oben liegende Seite.

Ergebnisse: Jede mögliche Kombination der zwei
Münzen (K+K, K+Z, Z+K, Z+Z)

Ereignisse: „zweimal dieselbe Seite“, „Kein Kopf“

Trial: Der zweimalige Wurf der Münze

Achtung: Die Durchführung von 2 Trials des
Zufallsexperimentes „Eine Münze wird einmal geworfen“
ist ein anderes Experiment.
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Folie 20
Variablen
Zufallsvariablen
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Beispiel III: Zulassung zum Psychologiestudium

Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden 44
verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist
die Menge der 44 Personen.

Ergebnisse: Jede Menge von 44 Personen

Ereignisse: „die 44 Besten“, „die 44 Besten oder die 44
Schlechtesten“, „jede Auswahl von 44 Personen aus den
besten 391“

Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen

Achtung: Die Durchführung von 44 Trials des
Zufallsexperimentes „Aus 742 Bewerbern wird 1 Person
ausgewählt“ ist ein anderes Experiment.
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variablen
Zufallsvariablen
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
 Das Zufallsexperiment ist in weiten Teilen ein sehr
deterministisches Konzept, denn
 der Ablauf eines Trials ist a-priori
vollständig bestimmt
 die möglichen Ergebnisse sind a-priori
vollständig bestimmt
 nur das konkrete Ergebnis (die
Beobachtung) ist a-priori unbestimmt
 Daher kann sich die Statistik dem Verständnis des
Zufallsexperimentes über mathematische Hilfsmittel
nähern, nämlich der Mengenlehre
Folie 21
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Zufallsexperimente
 Definition: Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind immer Mengen. Diese Mengen können
auch nur aus einem Element bestehen.
Stichprobenraum
 Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf
Zufallsvariablen
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
 Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf
{K, K}, {K, Z}, {Z, K}, {Z, Z}
 Beispiel III: IQ-Test
{0}, {1}, {2}, …, {100}, {101}, …
Folie 22
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Zufallsexperimente
 Es galt: Ereignis = Jede beliebige Menge
(Kombination) möglicher Ergebnisse eines Trials
Stichprobenraum
 Elementarereignisse = die kleinste Menge
disjunkter Ereignisse, in die sich die möglichen
Ergebnisse eines Trials zerlegen lassen
Zufallsvariablen
 Zwei Ereignisse E1 und E2 heißen disjunkt
(paarweise unvereinbar), wenn gilt
E1  E2  
Schnittmenge
Folie 23
Unmögliches Ereignis
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Beispiel I:
Beim Wurf eines Würfels lauten die Elementarereignisse
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},
Stichprobenraum
nicht aber {{2}, {4}, {6}} oder {{1},{ 5}}
Zufallsvariablen
Beispiel II:
Beim Wurf zweier Würfel sind die Elementarereignisse
(obwohl diese disjunkt sind)
{1,1} , {1,2} , {1,3},…, {6,5}, {6,6},
nicht aber {{1, 6}, {6, 1}} oder {{1, 1}, {3, 3}, {6, 6}}
(und vor allem nicht das Ereignis {1}, das überhaupt nicht vorkommen kann)
Folie 24
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Zufallsexperimente
 Die vollständige Menge der Elementarereignisse
eines Zufallsexperimentes heißt
Stichprobenraum Ω.
Stichprobenraum
 Der Stichprobenraum umfasst alle
Elementarereignisse (also alle möglichen
Ergebnisse) eines Zufallsexperimentes
Zufallsvariablen
 Der Stichprobenraum ist eine Menge
 Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen
Würfelwurf ist
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}
Folie 25
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Partitionierung
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten
Stichprobenraum  immer in zwei Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum
Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu
 Diese Aufteilung nennt man Partitionierung
des Stichprobenraums
„Alle geraden Augenzahlen“
E = {2, 4, 6}
Folie 26
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Partitionierung
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten
Stichprobenraum  immer in zwei Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum
Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu
 Diese Aufteilung nennt man Partitionierung
des Stichprobenraums
„Eins oder Sechs“
E = {1, 6}
Folie 27
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Partitionierung
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten
Stichprobenraum  immer in zwei Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum
Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu
 Diese Aufteilung nennt man Partitionierung
des Stichprobenraums
„Drei“
E = {3}
Folie 28
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Partitionierung
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten
Stichprobenraum  immer in zwei Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum
Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu
 Diese Aufteilung nennt man Partitionierung
des Stichprobenraums
„Irgend eine Zahl“
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Folie 29
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Partitionierung
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten
Stichprobenraum  immer in zwei Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum
Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu
 Diese Aufteilung nennt man Partitionierung
des Stichprobenraums
„Keine Zahl“
E = {}
Folie 30
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Zufallsexperimente
 Die Menge aller Kombinationen von Ereignissen
aus dem Stichprobenraum heißt SigmaAlgebra σ
Stichprobenraum
 Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche
Ereignis 
Zufallsvariablen
Folie 31
 σ umfasst also alle möglichen Kombinationen aus
den Elementarereignissen plus 
 Merksatz: σ enthält alle Kombinationen von
Ergebnissen eines Zufallsexperimentes, auf die
man wetten könnte
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Zufallsexperimente
Variablen
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
 Beispiel: Einmaliger Münzwurf
Elementarereignisse: K, Z, S
Stichprobenraum:
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Ω = {K, Z, S}
   , K  ,Z  ,S  ,K , Z  ,K , S  ,Z , S  , K , Z , S 
Ω
 Die Anzahl der Elemente in der Sigma-Algebra
heißt Mächtigkeit
 Achtung: Für die Mächtigkeit spielt die Reihenfolge der Elementarereignisse keine Rolle.
Frage: Was ist hier die Zufallsvariable?
Folie 32
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Definition
Zufallsexperimente
 Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung
(„bijektiv“) der Elemente des Stichprobenraums  auf eine Menge von Zahlen.
Stichprobenraum
 Es gelten alle Regeln, die bereits für Variablen
eingeführt wurden.
Zufallsvariablen
 Beispiel:

 KK,,ZZ,,SS
Folie 33
0, wenn
wenn "K"
"K"
xx11:: -1,

XX 
  xx22:: 1, wenn "Z"
 x : 0,
 3 2, wenn "S"
Methodenlehre
& Statistik
Variablen
Variablen
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Prinzip
Zufallsexperimente
Stichprobenraum
Zufallsvariablen
Beispiel: Experiment = Eimaliger Münzwurf
Definition eines Zufallsexperimentes: 
Mögliche Ergebnisse eines
Trials: Kopf, Zahl, Seite
Durchführung eines Trials
und Feststellung des
Ergebnisses: Zahl
Definition des
Stichprobenraums 
und damit auch von 
Definition einer Zufallsvariablen X()
Messung: X = 1
Frage: Was bedeutet „zufällig“?
Folie 34
Methodenlehre
& Statistik
Laplace
Kolmogoroff
Geschichte
Geschichte der WT
Definition
 Anfänge Mitte des 17. Jh. (Cardano, Bernoulli, Huygens,
Pascal, Fermat). Aufgaben des Glücksspiels. Nur
Arithmetik und Kombinatorik.
Vererbung
 Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace, Gauss,
Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Populationsstatistik.
Beispiele
 Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der WTheorie, Fundament im axiomatischen Aufbau
(Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse
(Wiener, Markov, Khintchin).
 Heute zentraler Bestandteil empirischer Forschung:
Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik,
Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl,
psychologische Testung, Versuchsplanung und
Stichprobentheorie.
Folie 35
Methodenlehre
& Statistik
Geschichte
Definition
Vererbung
Beispiele
Laplace
Kolmogoroff
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace
Wahrscheinlichkeiten im Stichprobenraum
 Grundannahme: Alle Elementarereignisse  („kleinomega“) im Stichprobenraum Ω sind gleichmöglich
 Wenn der Stichprobenraum die k Elementarereignisse 1
bis k enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit für jedes von
diesen einfach
1
p i  
k
mit i  1 k
 p() ist demnach eine auf dem Stichprobenraum definierte
mathematische Funktion (i.e. eine Konstante), die so
genannte Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Folie 36
Methodenlehre
& Statistik
Geschichte
Definition
Vererbung
Beispiele
Laplace
Kolmogoroff
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der -Algebra
 Jedem Ereignis E, welches der σ-Algebra angehört, kann
nun ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen
werden.
m = Mächtigkeit der Menge an
gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis
von E sind.
m
p( E ) 
k
„Günstige durch
Mögliche“
k
= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller
Elementarereignisse aus Ω)
 p(E) ist wieder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion,
diesmal definiert auf der -Algebra.
Folie 37
Methodenlehre
& Statistik
Geschichte
Definition
Vererbung
Laplace
Kolmogoroff
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der -Algebra
 Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion
p(E) beruht auf dem Prinzip der Partitionierung
 Das Ereignis E partitioniert den Stichprobenraum in
Beispiele
● m Elementarereignisse, die Teil von E sind.
● k–m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind
 Die Wahrscheinlichkeit p(E) ist also einfach die Summe der
Wahrscheinlichkeiten seiner m Elementarereignisse
1 1
1 m
p( E )      
k k
k k
Folie 38
m-mal
Methodenlehre
& Statistik
Geschichte
Definition
Vererbung
Beispiele
Laplace
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace
Vererbung
 Frage: Der Stichprobenraum  ist noch nicht die Zufallsvariable X – wie erhält man deren Wahrscheinlichkeiten?
 Definition: Die Zufallsvariable „erbt“ die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Stichprobenraums, auf dem sie beruht.
Stichprobenraum:
Zufallsvariable:
Folie 39
Kolmogoroff
   Bube, Dame, König , As

p    1 ,
4
1 ,
4
1 ,
4
1

4
X   x1: 0, x2 : 1, x3: 2, x3 : 4

p  x  1 ,
4
1 ,
4
1 ,
4
1

4
Methodenlehre
& Statistik
Geschichte
Definition
Vererbung
Laplace
Kolmogoroff
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace
Vererbung
Vollständige Schreibweise
für Zufallsvariable und deren
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
 x1: 0, wenn Bube
 x : 1, wenn Dame

X  2
 x3 : 2, wenn König
 x3 : 4, wenn As
Beispiele
p X

p X

p  x  
p X

p X

Folie 40
 x1  : 1
4
 x2  : 1
4
 x3  : 1
4
 x4  : 1
4
Methodenlehre
& Statistik
Geschichte
Laplace
Kolmogoroff
Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace
Definition
Beispiele
Vererbung
 Summe von 2 Würfelwürfen
Beispiele
 Anzahl von „Zahl“ bei 3 Münzwürfen
 Frage des Landsknechts an Huygens
Folie 41
Methodenlehre
& Statistik
Relevante Excel Funktionen
 Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Grundrechenarten +, –, ×, /
• SUMME(), PRODUKT()
Folie 42