8. Laser

8. Laser
8.1
Grundlagen
8.1.1 Das Plancksche Strahlungsgesetz eines schwarzen Strahlers
Unter einem schwarzen Strahler versteht man ein System im thermischen Gleichgewicht, das
aus Materie und einem elektromagnetischen Strahlungsfeld aufgebaut ist.
Für die spektrale Energiedichte ρ ν (ν ) (Energie pro Volumen und pro Frequenzintervall) der
Strahlung eines schwarzen Strahlers gilt das Plancksche Strahlungsgesetz (ohne Herleitung)
8π hν 3
1
⋅ hν / kT
.
(8.1)
3
c
e
−1
Anstelle der Wellenlänge λ oder der Wellenzahl ν~ wird aus Gründen der Konvention die
Frequenz ν benutzt, die der Photonenenergie proportional ist
ρ ν (ν ) =
‹Ph = hν = h
c
λ
= hc ν~ .
(8.2)
8.1.2 Die graphische Veranschaulichung von Absorption, induzierter Emission
und spontaner Emission
In der Abb. 8.1 sind die Prozesse Absorption, stimulierte Emission und spontane Emission
graphisch anschaulich dargestellt. Auf der linken Seite der Darstellungen ist jeweils das
einfallende Strahlungsfeld, auf der rechten Seite das austretende Strahlungsfeld durch
gewellte Pfeile gekennzeichnet.
Abb. 8.1: Graphische Darstellung von Strahlungsprozessen
8.1
8.1.3 Die Einsteinkoeffizienten der (stimulierten) Absorption und der
stimulierten Emission
Für die Übergangsrate der Absorption gilt „Fermis Golden Rule“ (4.108)
Wg → a =
2
2
dP(t ) π
π
=
H 'ag ρ a‹ (‹ a ) =
E 0 ⋅ ⟨ψ a | µˆ | ψ g ⟩ ρ a‹ (‹ a ) .
dt
2=
2=
(8.3)
Der Index g steht für den Grundzustand (Ausgangszustand des Absorptionsprozesses), der
Index a für den angeregten Zustand (Endzustand des Absorptionsprozesses). Zeigt die Lage
der Moleküle keine Abhängigkeit von der Richtung (isotrope Orientierungsverteilung), so
ergibt eine Mittelung über ein Ensemble von hinreichend vielen Molekülen
E 0 ⋅ ⟨ψ g | µˆ | ψ a ⟩
2
m
= E 0 ⋅ µ ag
2
m
= E02 e ⋅ µ ag
2
m
1
= E02 µ ag
3
2
,
(8.4)
mit dem elektrischen Übergangsdipol
µ ag = ψ g | µ |ψ a
(8.5)
E 0 = E0 ⋅ e ,
und
(8.6)
wobei e der Einsvektor in Richtung des elektrischen Feldes ist. Damit folgt aus (8.3)
Wg→ a =
π
6=
2
E02 µ ag ⋅ ρ‹a (‹ a ) .
(8.7)
Um einen Zusammenhang mit der Energiedichte des Planckschen Strahlungsgesetzes
herzustellen, wird unter Verwendung von (8.2) zuerst die auf Energieintervalle bezogene
Zustandsdichte ρ‹a (‹ a ) umgerechnet in eine auf Frequenzintervalle bezogene Zustandsdichte
ρνa (ν )
1
h
ρ‹a (‹ a ) d‹ a = ρ νa (ν ) dν = ρ νa (ν ) ⋅ ⋅ d‹ a
und daraus
ρ a‹ (‹ a ) = ρ νa (ν ) ⋅
1
.
h
(8.8)
(8.9)
Aus der klassischen Elektrodynamik folgt (ohne Herleitung) für das zeitliche Mittel der
elektromagnetischen Energiedichte E m (Energie pro Volumen) im Vakuum
E
m
=
ε0
2
⋅ E02
mit ε0 = 8,854 F m-1 der Permittivität des Vakuums. Mit (8.9) und (8.10) folgt aus (8.7)
8.2
(8.10)
Wg→ a =
E
m
⋅ ρνa (ν )
ist
gerade
die
1
6 ε 0=
2
⋅ µ ag ⋅ E
2
ρνa (ν ) .
m
elektromagnetische
Energie
(8.11)
pro
Volumen
und
pro
Frequenzintervall und damit gerade die „spektrale Energiedichte“ ρ ν (ν ) aus dem
Planckschen Strahlungsgesetz
E
m
ρ νa (ν ) = ρ ν (ν ) .
(8.12)
Die Übergangsrate der Absorption kann dann mit (8.12) folgendermaßen dargestellt werden
Wg→ a = Bga ⋅ ρ ν (ν ) ,
mit
Bga =
1
6 ε 0=
⋅ µ ag
2
2
(8.13)
.
(8.14)
Bga heißt Einsteinkoeffizient der Absorption. Mit den Indices „g“ und „a“ werden der
Grundzustand beziehungsweise der angeregte Zustand bezeichnet.
Analog zur stimulierten Absorption kann ein Strahlungsfeld auch eine stimulierte Emission
bewirken. Voraussetzung dafür ist, dass sich das Molekül in einem angeregten Zustand mit
der Energie ‹a befindet. Durch das Strahlungsfeld geht das Molekül vom Zustand ψa in einen
Grundzustand ψg über. Für die Übergangsrate gilt analog (8.13)
Wa→ g = Bag ⋅ ρ ν (ν ) .
(8.15)
Demnach ist es grundsätzlich möglich das einfallende Strahlungsfeld zu verstärken. Die dem
Strahlungsfeld durch die Verstärkung zugeführte Energie wird dem Molekül entzogen, das
durch irgendeinen Prozess in den angeregten Ausgangszustand befördert wurde.
Im Anhang P6 wird gezeigt, dass die Übergangsraten der Absorption und der induzierten
Emission gleich sind, wenn es sich um die gleichen am Übergang beteiligten Zustände
handelt. Daraus folgt
Bga = Bag =
1
6 ε 0=
2
⋅ µ ag
2
,
(8.16)
wobei Bag Einsteinkoeffizient der induzierten Emission heißt.
Sind die an den stimulierten Übergängen beteiligten Zustände bezüglich der Energie entartet,
so müssen die Entartungsgrade gg und ga in (8.16) berücksichtigt werden
g g ⋅ Bga = ga ⋅ Bag .
8.3
(8.17)
8.1.4 Der Einsteinkoeffizient der spontanen Emission
Es wird ein System aus Molekülen und einem Strahlungsfeld behandelt, das sich im
thermischen Gleichgewicht befindet. Die Moleküle können zwei Zustände, den Grundzustand
ψ g und den angeregten Zustand ψ a , einnehmen. Dieses Zweizustandsmodell ist in der Abb.
8.2 schematisch dargestellt.
ψα
Na
stimulierte und
spontane Emission
Absorption
ψg
Ng
Abb. 8.2: Zweiniveausystem mit Übergängen
Im thermischen Gleichgewicht sind die Besetzungszahlen Ng und Na der beiden Zustände
durch die Boltzmannsche Besetzungswahrscheinlichkeit gegeben (siehe Kap. 5.3). Im
thermischen Gleichgewicht müssen weiterhin die Raten für die Absorptionsprozesse und die
Emissionsprozesse gleich sein.
Für das Besetzungsverhältnis gilt nach Boltzmann (5.1):
RS
T
hν
Na
= exp − ag
Ng
kT
UV ,
W
(8.18)
das im Grenzfall T → ∞ den maximalen Wert 1 annehmen kann.
Bei endlichen Temperaturen gilt also
Na
<1 .
Ng
(8.19)
N gWg→a = N g ⋅ Bga ⋅ ρνg
(8.20)
Die Rate der Absorption ist durch
und die Rate der stimulierten Emission durch
N aWast→.Eg. = N a ⋅ Bag ⋅ ρ νa
8.4
(8.21)
gegeben. Wg→a ist die Übergangswahrscheinlichkeit der Absorption und Wast→.Eg. die
Übergangs-wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission. Die Energiedichten ρ νg und ρ va
sind im wesentlichen durch die quantenelektrodynamischen Zustände des Strahlungsfeldes
gegeben. Im thermischen Gleichgewicht ist das Strahlungsfeld für Absorption und stimulierte
Emission gleich, so dass gilt
ρνg = ρνa = ρν .
(8.22)
Nach (8.16) gilt weiterhin für nicht entartete Zustände
Bga = Bag .
(8.23)
Nach (8.17) muss für entartete Zustände der Entartungsgrad g in der Boltzmannschen
Besetzungswahrscheinlichkeit berücksichtigt werden
g g ⋅ Bga = ga ⋅ Bag .
(8.24)
Im thermischen Gleichgewicht müssen die Übergangsraten in Absorption und stimulierter
Emission gleich sein
N gWg→a = N aWast→.Eg.
(8.25)
N g ⋅ Bga = N a ⋅ Bag .
(8.26)
Mit (8.20), (8.21) und (8.22) gilt
Aus (8.26) folgt mit (8.23) unabhängig von der Temperatur
Na
=1 .
Ng
(8.27)
Für beliebige Temperaturen steht (8.27) im Widerspruch zu (8.19). Aus diesem Grund muss
ein weiterer Emissionsprozess, nämlich die spontane Emission, postuliert werden, wodurch
die Relation (8.19) erfüllt wird. Damit folgt für die Gesamtrate der Emission
bg
d
i
N aWages
→ g = N a Bag ρ ν ν + Aag .
(8.28)
mit Aag dem Einsteinkoeffizienten der spontanen Emission und N a Aag der Rate der
spontanen Emission.
Im geforderten Gleichgewicht gilt dann analog zu (8.25)
N gWg→a = N aWages
→g .
(8.29)
Mit (8.20) und (8.28) folgt
N gWg→a
N aWages
→g
=1=
N g Bga ρν
d
N a Bag ρν + Aag
8.5
i.
(8.30)
Daraus ergibt sich mit (8.23)
d
i
N a Aag = N g − N a Bag ρ ν
Aag =
FG N − 1IJ B ρ
HN K
g
ag
ν
(8.31)
.
(8.32)
a
Mit (8.1), (8.18) und (8.14) folgt
Aag = Bag ⋅
3
8π h ν ag
c
3
=
3
16 π 3 ν ag
3εo h c
3
⋅ µ ag
2
.
(8.33)
Wichtig in dieser Gleichung ist die Abhängigkeit des Einsteinkoeffizienten Aag der
spontanen Emission von der dritten Potenz der Frequenz der emittierten Photonen.
8.1.5 Kohärente und inkohärente Strahlung
In Kap. 5.10 wurde die spontane Emission eines Moleküls oder Atoms behandelt. Dabei gibt
das Molekül, das sich in einem angeregten Zustand befindet, seine Anregungsenergie
teilweise oder vollständig in Form eines Photons (in Form von elektromagnetischer
Strahlung) spontan ab, ohne dass das System „Molekül“ von außen, z.B. durch ein
elektromagnetisches Strahlungsfeld, gestört wird. Die Energie des emittierten Photons hvem
ergibt sich aus der Energiedifferenz der beteiligten Molekülzustände
hvem =‹a −‹g .
(8.34)
Die Verweilzeit des Moleküls im angeregten Zustand ist durch die Übergangswahrscheinlichkeit gegeben, so dass der Zeitpunkt der spontanen Emission nicht exakt
vorhergesagt werden kann. Gleiches gilt für die räumliche Fortpflanzungsrichtung und die
Polarisationsrichtung des emittierten Photons.
Werden mehrere Photonen von verschiedenen angeregten Moleküle spontan emittiert, so
besitzen
diese
Photonen
im
Allgemeinen
unterschiedliche
Wellenlängen,
Fortpflanzungsrichtungen, Polarisationsrichtungen und Phasendifferenzen untereinander. In
diesen Eigenschaften unterscheiden sich ebenso die eingestrahlten und die emittierten
Photonen. In diesem Fall bezeichnet man die emittierte Strahlung als inkohärent.
Nach Kap. 8.1.3 kann die induzierte Emission zu einer Verstärkung der eingestrahlten
Lichtwelle führen. Mittels einer quantenelektrodynamischen Behandlung kann gezeigt
werden, dass die induzierten Photonen die gleiche Frequenz, Fortpflanzungsrichtung und
Polarisationsrichtung wie die eingestrahlten Photonen besitzen. Weiterhin besteht eine
konstante Phasendifferenz zwischen eingestrahlten und emittierten Photonen. Liegen diese
Bedingungen vor, so spricht man von kohärenter Strahlung.
8.6
8.2
Das Prinzip des Lasers (Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation)
8.2.1 Der prinzipielle Aufbau eines Lasers
Im Wesentlichen besteht ein Laser aus drei Komponenten (siehe Abb. 8.3):
1. Einem aktiven Medium, in dem durch Energiezufuhr in einem (oder mehreren) angeregten
Zuständen eine Besetzungsinversion erzeugt wird.
2. Einer Energiepumpe, die diese Besetzungsinversion erzeugt.
3. Einem optischen Resonator, der die vom aktiven Medium emittierte Fluoreszenz in
wenigen Moden des Strahlungsfeldes speichert, so dass in diesen Moden die spontan
emittierten Photonen gegen die induziert emittierten Photonen vernachlässigt werden
können. Der optische Resonator führt die durch induzierte Emission verstärkte Strahlung
in das aktive Medium zurück, so dass aus dem Lichtverstärker ein Lichtoszillator wird
Spiegel 1
RSp1 =1
Energiepumpe
Auskoppelspiegel
RSp2
aktives Medium
L
Abstand d
Abb. 8.3: Prinzipieller Aufbau eines Lasers mit Fabry-Perot-Resonator
Durch die Energiepumpe werden Moleküle des Lasermediums in angeregte Zustände
befördert. Werden aus den angeregten Zuständen des aktiven Mediums spontan Photonen
emittiert, so können diese Photonen auf ihrem Weg durch das aktive Medium stimulierte
Emissionen von weiteren Photonen hervorrufen, der Laser springt an. Durch den optischen
Resonator werden für den Laserbetrieb nur Photonen mit bestimmten Eigenschaften
ausgewählt:
8.7
•
Photonen, deren Ausbreitungsrichtung (festgelegt durch den Wellenvektor k) senkrecht
zur Spiegeloberfläche steht. Photonen, die dieser Bedingung nicht genügen, treffen nach
einer oder mehreren Reflexionen auf die Außenwände des Resonatorraumes und tragen
somit nichts zur Laseraktivität bei (siehe Abb. 8.4).
Energiepumpe
aktives Medium
Abb. 8.4: Einfluss der Richtung der spontanen Emission auf das Anspringen des Lasers
•
Photonen, deren Wellenlänge der Bedingung
n⋅
λ
2
= d,
n = 1,2,3,....
(8.35)
genügen. d ist die Länge des Resonators (siehe Abb. 8.3). Aus (8.35) ergibt sich
d
n
λ = 2 ⋅ , n = 1,2,3,....
.
(8.36)
Für die Frequenz gilt
ν = c⋅
1
λ
=
c
⋅ n,
2d
n = 1,2,3,....
(8.37)
Durch die Bedingungen (8.36) beziehungsweise (8.37) werden Photonen
(elektromagnetische Strahlung) ausgefiltert, deren Frequenz (Wellenzahl, Wellenlänge),
Ausbreitungsrichtung und Polarisationsrichtung in sehr kleinen Werteintervallen liegen
(siehe Abb. 8.5).
8.8
8.2.2 Beispiele für Resonatoren
Ein Fabry-Perot-Resonator (planparalleler Resonator) besteht aus zwei ebenen, parallel
aufgestellten Spiegeln im Abstand d, zwischen denen das Licht in einem laseraktiven Medium
der Länge L (Medium, das induzierte Strahlung abgeben kann) hin- und herläuft und dabei
verstärkt wird (siehe Abb. 8.3). Die Spiegel sind durch ihre Durchlässigkeit für das Licht in
einem Wellenzahlintervall charakterisiert. Die Durchlässigkeit wird durch den
Reflexionskoeffizienten RSp beschrieben. Einer der Spiegel besitzt meistens einen Wert von
RSp möglichst nahe bei Eins (vollständige Reflexion), der andere (Auskoppelspiegel) einen
Wert etwas kleiner als Eins, damit ein kleiner Teil des Laserlichtes den Resonator verlassen
kann. Dieser kleine Teil stellt das vom Laser abgegebene Laserlicht dar. Vollkommene
Durchlässigkeit entspricht einem Wert RSp = 0. Entsprechend der Beziehung (8.36) tragen nur
Photonen mit einer bestimmten Wellenlänge zur Verstärkung bei, wodurch eine Auswahl der
Moden, in diesem Fall spricht man von Longitudinalmoden, erzwungen wird. In der Abb. 8.5
sind einige Longitudinalmoden dargestellt.
6
n=1
4
n=2
2
n=5
0
-2
n=10
-4
0
1
2
3
4
5
6
Abb. 8.5: Einige Longitudinalmoden eines Fabry-Perot-Resonators
Die möglichen Frequenzen der aus dem Resonator austretenden Laserstrahlung werden also
einerseits durch die natürliche Bandbreite (siehe Kap. 5.13: Linienbreiten) der laserfähigen
Emission des aktiven Mediums und andererseits durch die Auswahl der longitudinalen Moden
durch den Laserresonator bestimmt. Können zum Beispiel die Emissionslinien durch eine
Lorentzverteilung (5.135) beschrieben werden, so ergeben sich die möglichen
Laserfrequenzen durch eine Überlagerung von (5.135) und (8.37). Diese Überlagerung ist in
der Abb. 8.6 dargestellt.
8.9
1,0
g (ν )
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
2
3
4
5
6
ν
Abb. 8.6: Schematische Darstellung der aus dem Resonator austretenden Laserlinien bei einer
lorentzförmigen natürlichen Linienbreite
Die Frequenz der Laserlinien wird nach (8.37) durch die Länge d des Resonators und die
Ordnung n der Mode bestimmt. Der Abstand der Frequenzen der Laserlinien ist nach (8.37)
konstant.
In der Praxis werden auf Grund des Vorteils einer einfachen Justierbarkeit Resonatoren mit
sphärischen Spiegeln verwendet (siehe Abb. 8.7). Bei solchen Resonatoren können neben den
Longitudinalmoden noch Transversalmoden auftreten. Im Beispiel A der Abb. 8.7 hat sich ein
Strahlungsfeld rotationssymmetrisch zur optischen Achse ausgebildet. Daraus resultiert ein
Laserstrahl mit rundem Querschnitt. Im Beispiel B hat sich ein Strahlungsfeld eingestellt,
dessen Ausbreitungsrichtung einen Winkel ungleich Null mit der optischen Achse bildet. Am
Ausgang des Resonators beobachtet man räumlich getrennte und nicht mehr
rotationssymmetrische Verteilungen des Photonenstroms. Diese Moden werden als
Transversalmoden bezeichnet.
Abb. 8.7: Sphärischer Resonator im Grundmode TEM00q (Beispiel A) und im Mode TEM01q
(Beispiel B)
8.10
Die Transversalmoden werden durch Konvention folgendermaßen bezeichnet:
TEMmnq .
TEM bedeutet „Transverse Electromagnetic Mode“, m ist die Anzahl der Knoten in der
x-Achse, n diejenige in der y-Achse und q ist die Anzahl der Schwingungsbäuche im
Resonator (wird im Allgemeinen weggelassen).
Aus der Abb. 8.7 B ist leicht zu erkennen, dass unerwünschte Transversalmoden durch eine
Blende im Resonator unterdrückt werden können.
In der Abb. 8.8 sind die Verteilungen des Photonenstroms einiger Transversalmoden
dargestellt.
Abb. 8.8: Verteilungen des Photonenstroms einiger Transversalmoden in einer Ebene
senkrecht zur optischen Achse
Ein Kompromiss zwischen einem planparallelen Resonator mit dem Nachteil der schwierigen
Justierbarkeit und einem sphärischem Resonator mit dem Nachteil der Verteilung der
Strahlung auf mehrere Transversalmoden stellt der hemisphärische Resonator mit einem
Planspiegel und einem konkaven Spiegel dar (siehe Abb. 8.9), bei dem die Transversalmoden
reduziert werden können.
Ein Resonator arbeitet stabil, wenn nach einer beliebigen Anzahl von Reflexionen das Licht
aufgrund der Abbildungseigenschaften der verwendeten Spiegel im Resonator bleibt und
nicht über die Spiegelränder hinweg den Resonator verlässt. Der Bereich, in dem eine
Resonatoranordnung stabil arbeitet, wird durch das Stabilitätskriterium gekennzeichnet. Zur
Quantifizierung des Stabilitätskriteriums werden die Resonatorparameter pi (i = 1,2) für die
beiden Spiegel eingeführt:
pi = 1 −
d
,
Ri
i = 1,2 .
d ist der Abstand der beiden Spiegel und Ri der Krümmungsradius des i-ten Spiegels.
8.11
(8.38)
Planspiegel
Konkavspiegel
Abb. 8.9: Hemisphärischer Resonator
Mittels der beiden Resonatorparameter kann nicht trivial das folgende Stabilitätskriterium
hergeleitet werden
0 < p1 ⋅ p2 < 1 .
(8.39)
Für einen planparallelen Spiegel folgt mit Rplp = ∞ aus (8.38)
p plp = 1 .
(8.40)
Für einen hemisphärischen Resonator, dessen konkaver Spiegel den Radius Rkfk hat, folgt aus
(8.39) mit (8.40)
d
<1
Rkfk
(8.41)
Rkfk > d > 0 .
(8.42)
0 < 1−
und daraus
Für ein stabiles Arbeiten des Resonators muss der Abstand d der beiden Spiegel zwischen
Null und dem Krümmungsradius Rkfk des konkaven Spiegels liegen.
8.2.3 Energiepumpen
Je nach Art des Lasers wird die Besetzungsinversion durch verschiedene Pumpmechanismen
erreicht. Sie unterscheiden sich darin, wie die Pumpenergie auf das System übertragen wird.
Im Folgenden sind die wichtigsten Anregungsarten aufgeführt:
•
Gaslaser: Anregung durch Stöße mit Elektronen oder Ionen, die in einem elektrischen
Feld beschleunigt werden.
•
Festkörperlaser, Farbstofflaser: Anregung durch optisches Pumpen (durch externe
elektromagnetische Strahlung: thermische Lichtquellen, Diodenlaser, Ionenlaser)
8.12
•
Halbleiterlaser: Anregung durch Stromdurchgang, der eine Ladungsträgerinjektion in
Halbleitern verursacht.
•
Chemische Laser: Chemische Reaktionen
8.2.4 Besetzungsinversion
8.2.4.1
Die Ratengleichungen der Besetzungszahlen der Zustände und
der Photonen am Beispiel eines Zweiniveau-Systems
In der Abb. 8.10 ist ein Zweiniveausystem mit den optischen Übergängen Absorption,
stimulierte Emission und spontane Emission dargestellt.
E
ψ 1, N1, E1
B01
B10
A10
ψ 0, N 0, E0
Abb. 8.10: Zweiniveausystem mit Absorptions- und Emissionsprozessen
Die Rate einer physikalischen Größe G ist als die Ableitung von G nach der Zeit t definiert
Rate von G =
dG
.
dt
(8.43)
Aus der Bilanz der Be- und Entvölkerung der beiden Zustände ψ 0 und ψ 1 ergeben sich die
Rategleichungen der Besetzungszahlen:
dN 0
= − N 0 B01 ρ (ν ) + N1B10 ρ (ν ) + N1 A10
dt
(8.44)
dN1
= N 0 B01 ρ (ν ) − N1B10 ρ (ν ) − N1 A10 ,
dt
(8.45)
8.13
wobei A10 , B10 und B01 die Einsteinkoeffizienten der spontanen Emission, der induzierten
Emission und der Absorption sind. ρ(ν) ist die spektrale Energiedichte des Strahlungsfeldes,
das mit dem Molekül, das als Zweiniveau-System behandelt wird, in Wechselwirkung tritt
(siehe (8.12)).
Für die zeitliche Änderung der Photonenzahl mit einer bestimmten Frequenz gilt analog zu
(8.44) und (8.45)
dnPh
= − N 0 B01 ρ (ν ) + N1B10 ρ (ν ) + N1 A10 .
dt
(8.46)
Der erste Summand der rechten Seite von (8.46) beschreibt die Photonen, die durch
Absorption aus dem einfallenden Strahl entfernt werden, die Summanden zwei und drei die
Photonen, die durch induzierte und spontane Emission erzeugt werden. Mit (8.24) folgt


dnPh
g
= B10 ρ (ν ) ⋅  N1 − 1 ⋅ N 0  + N1 A10 .
dt
g0


(8.47)
8.2.4.2
Strahlverstärkung am Beispiel eines Zweiniveausystems ohne
spontane Emission
Kann die spontane Emission gegen die induzierte Emission vernachlässigt werden
N1B10 ρ (ν ) > N1 A10 ,
(8.48)


dnPh
g
= B10 ρ (ν ) ⋅  N1 − 1 ⋅ N 0  .
dt
g0


(8.49)
so folgt aus (8.47)
Für eine Zunahme des Photonenstroms ist die Bedingung
dnPh
>0
dt
(8.50)
notwendig. Damit ergibt sich aus (8.49)
g1
⋅ N0
g0
(8.51)
N1 N 0
>
.
g1 g0
(8.52)
N1 >
oder
Für eine Verstärkung des Strahlungsfeldes ist es also notwendig, dass die einzelnen
energetisch höheren Zustände stärker besetzt sind als die einzelnen energetisch tieferen
Zustände. Diese Bedingung wird als Besetzungsinversion bezeichnet.
8.14
Für thermische Gleichgewichte ist auf Grund der Boltzmannschen Besetzungswahrscheinlichkeit eine Besetzungsinversion nicht möglich (siehe (8.19)). Zur Erzeugung
einer Besetzungsumkehr ist daher eine Störung des thermischen Gleichgewichts erforderlich.
Eine solche Störung kann durch Pumpen erreicht werden (siehe Kap 8.2.3).
8.2.5 Weitere Bedingungen für eine Strahlverstärkung
Eine zusätzliche Bedingung für die Strahlverstärkung ergibt sich aus dem Verhältnis
zwischen induzierter und spontaner Emission. Die induzierte Emission hat die gleiche
Frequenz, Phase und Ausbreitungsrichtung wie die einfallende Strahlung (siehe Kap. 8.1.5).
Für die spontane Emission existieren diese Eigenschaften allenfalls zufällig, so dass die
spontane Emission der induzierten Emission als Rauschen überlagert ist. Für eine
Strahlverstärkung sollte demnach die kohärente stimulierte Emission wesentlich stärker sein
als die inkohärente spontane Emission.
Als Beispiel für das Verhältnis QAB zwischen spontaner und induzierter Emission
Q AB =
A10 ⋅ N1
A10
=
B10 ⋅ N1 ⋅ ρ (ν ) B10 ⋅ ρ (ν )
(8.53)
werde ein System bei T = 300 K mit einer thermischen Lichtquelle bei der Wellenlänge
λ = 600 nm behandelt. Das Strahlungsfeld ρ(ν) der Lichtquelle kann dann mittels des
Planckschen Strahlungsgesetzes ρν(ν) für einen schwarzen Strahler beschrieben werden. Die
Wellenlänge entspricht einer Frequenz
ν=
c
λ
=
3 ⋅108 m s −1
= 5 ⋅1014 s −1 = 5 ⋅1014 Hz .
−9
600 ⋅10 m
(8.54)
Mit dem Planckschen Strahlungsgesetz (8.1) folgt aus (8.53) und (8.33)
QAB =
B10 ⋅ 8π h ν 3 c3
⋅ exp h ν / kT − 1
B10 ⋅ c 3 ⋅ 8π h ν 3
c l
l
q h
q
QAB = exp h ν / kT − 1 .
(8.55)
(8.56)
Mit den angegeben Werten ergibt sich
h ν / kT =
6,626 ⋅10−34 J s ⋅ 5 ⋅1014 s −1
= 80
1,381 ⋅10-23 J K −1 ⋅ 300 K
l q
QAB = exp 80 − 1 ≈ 5 ⋅1034 .
(8.57)
(8.58)
Bei thermischen Lichtquellen spielt also die induzierte Emission im sichtbaren Bereich keine
Rolle gegenüber der spontanen Emission.
8.15
Soll der Anteil der induzierten Emission größer sein als derjenige der spontanen Emission, so
muss die elektromagnetische Strahlung in eine oder in einige wenige Moden konzentriert
werden, was mittels eines Resonators erreicht werden kann.
Nach genau einem Umlauf (einmal hin und her) des Strahls im Resonator gilt für den
Photonenstrom mit der Frequenz v (siehe Abb. 8.3)
b g
bg
n bg bg s
Ψv 2d = Ψv 0 ⋅ RSp1 ⋅ RSp 2 ⋅ exp γ v − α v ⋅ 2 L
mit
(8.59)
bg
α b v g = Verlustfaktor durch Streuung und Absorption des Lasermediums.
γ v = Verstärkungsfaktor des Lasermediums
Aus (8.59) ergibt sich die Bedingung für den Betrieb des Lasers: Bei einem Umlauf des
Lichtes muss die Verstärkung die Verluste durch Streuung und Absorption und durch den
ausgekoppelten Anteil des Lichtes kompensieren oder übertreffen. Im Falle der
Kompensation gilt gerade die sogenannte Schwellbedingung
b g
bg
(8.60)
n bg bg s
(8.61)
Ψv 2d = Ψv 0 .
Mit (8.59) ergibt sich aus (8.60)
RSp1 ⋅ RSp 2 ⋅ exp γ v − α v ⋅ 2 L = 1
und daraus die Schwellenverstärkung
bg bg
γ Schw v = α v −
8.3
d
i
1
⋅ ln RSp1 ⋅ RSp 2 .
2L
(8.62)
Optisch gepumpte Festkörperlaser
8.3.1 Das Prinzip von 3- und 4-Zustandslasern
In der Abb. 8.11 ist schematisch das Energieniveaudiagramm eines 4-Zustandslasers
dargestellt.
Gilt für die Energie ‹1 des Zustands ψ 1
‹ 1 >> kT
(8.63)
so handelt es sich um einen 4-Niveau-Laser. Ist
‹ 1 << kT
(8.64)
so liegt ein 3-Niveau-Laser vor.
Das Licht einer Pump-Lichtquelle (thermische Lichtquelle oder Pumplaser, beispielsweise ein
Diodenlaser) regt die Moleküle aus dem Grundzustand ψ 0 in einen angeregten Zustand ψ 3
an. Da die Laser-Moleküle in einem Wirts-Festkörper, zum Beispiel in einem Kristall,
eingebaut sind, gibt es aufgrund unterschiedlicher Einbaulagen und der Wechselwirkungen
8.16
mit Gitterschwingungen des Wirt-Kristalls (Phononen: quantisierte akustische Wellenpakete),
viele Unterzustände von ψ 3 mit entsprechend vielen Eigenenergien und daraus resultierend
häufig eine breite Absorptionsbande.
Abb. 8.11: Schematische Darstellung eines 4-Niveaulasers
Für einen guten Laser sollten die folgenden Forderungen möglichst gut erfüllt sein:
•
Der dekadische Absorptionskoeffizient ε sollte für den Absorptionsübergang vom
Grundzustand in der primär angeregten Zustand ψ3 einen großen Wert besitzen.
•
Die Konkurrenzprozesse zum strahlungslosen Übergang (innere Konversion) von ψ3
in den angeregten Zustand ψ2 mit anschließender Schwingungsrelaxation in den
nullten Schwingungszustand von ψ2 (Gesamtratekonstante k32) sollten eine geringe
Effektivität besitzen.
•
Der Zustand ψ2 sollte eine große Lebensdauer besitzen, die Übergangswahrscheinlichkeit (der Übergangsdipol) für die spontane Emission muss also einen
kleinen Wert haben. Für die Abklingzeit (effektive Lebensdauer) des Zustands ψ2 gilt
τ2 =
1
1
,
=
k21 k21,em + k21,rl
(8.65)
wobei die Indizes „em“ strahlende Prozesse und „rl“ strahlungslose Prozesse
kennzeichnen.
•
Der Übergang von ψ 2 nach ψ 1 (Ratekonstante k21) sollte möglichst nur durch
Emission erfolgen.
•
Der Übergang vom Zustand ψ 1 in den Grundzustand ψ0 sollte möglichst schnell
erfolgen. Dann sind einerseits die Voraussetzungen für eine Besetzungsinversion
zwischen ψ 2 und ψ 1 erfüllt, die das obere und untere Laserniveau darstellen, und
andererseits ist das Molekül in kurzer Zeit für den nächsten Zyklus bereit.
8.17
8.3.2 Der Nd YAG Laser
Das laseraktive Material, das bei einem Nd YAG Laser durch optisches Pumpen angeregt
wird, besteht aus Neodym Ionen in einem im interessierenden Spektralbereich transparenten
YAG-Wirtskristall (YAG: Yttrium Aluminium Granat, Y3Al5O12). Zum Pumpen des
Nd YAG Lasers werden häufig Diodenlaser benutzt, die bei relativ niedrigen Kosten hohe
Photonenströme mit geringer spektraler Bandbreite erzeugen, und deren Energie zur
Anregung von Nd-Ionen geeignet ist. Dadurch können Wirkungsgrade für das Pumpen von
bis zu 50 % erzielt werden. In der Abb. 8.12 sind einige Energieniveaus des Nd-Ions
dargestellt, die für das optische Pumpen mit Laserdioden und den Laserprozess wichtig sind.
Die Entartung der Zustände des Nd-Ions ist durch den Einbau in den YAG-Wirtskristall
aufgehoben, wodurch nahe beieinander liegende Energien resultieren. In der benutzten
Nomenklatur der Zustände im Energieniveaudiagramm
2 S +1
LJ
(8.66)
wird durch L der Gesamtbahndrehimpuls, durch S der Gesamtspin und durch J der
Gesamtdrehimpuls bezeichnet. Der Gesamtdrehimpuls J kann die Werte
J = L + S , L + S − 1, L + S − 2,......., | L − S |
(8.67)
annehmen.
Das bedeutet für das Beispiel 4 F5/ 2 , dass der Gesamtbahndrehimpuls den Wert L = 3 (F)
besitzt, der Gesamtspin den Wert S = 3/2 und der Gesamtdrehimpuls den Wert J = 5/2. Für
4
I11/ 2 gilt L = 6 (I), S = 3/2, J = 11/2.
Abb. 8.12: Einige für das optische Pumpen mit Laserdioden und den Laserprozess wichtige
Energieniveaus des Nd-Ions
8.18
Der 4 F3/ 2 -Zustand, der durch schnelle strahlungslose Übergänge aus den primär angeregten
Zuständen besetzt wird, stellt das obere Laserniveau dar. Die Übergangsrate vom
4
F3/ 2 -Zustand in die energetisch tiefer liegenden Zustände ist sehr gering, da die elektrischen
Übergangsdipole kleine Werte besitzen. Am größten sind noch die Übergangsraten in die
Zustände 4 I11/ 2 , 4 I13/ 2 und 4 I9/ 2 , die als untere Laserniveaus bezeichnet werden. Dies
entspricht einer relativ großen Lebensdauer des 4 F3/ 2 -Zustandes von 255 µs. Die unteren
Laserniveaus liegen so hoch über dem Grundzustand, dass ihre thermische Besetzung
vernachlässigt werden kann. Sie werden durch schnelle strahlungslose Übergänge in den
Grundzustand entvölkert. Demnach handelt es sich beim Nd YAG Laser um ein sehr gutes
4-Niveausystem, was auch aus der Abbildung 8.12 zu erkennen ist.
Der für die Lasertätigkeit dominierende Übergang mit der größten Übergangsrate findet bei
einer Wellenlänge von 1064 nm zwischen dem 4 F3/ 2 -Zustand und dem 4 I11/ 2 -Zustand statt.
Der Laserübergang ist vorwiegend homogen verbreitert mit einer Linienbreite bei
Raumtemperatur von circa 6,5 cm-1.
Als Resonator eignet sich ein hemisphärischer Resonator (Praktikumsversuch), wie er in
Abb. 8.9 dargestellt ist.
8.4 Spiking
0,75
0,55
0,70
0,50
0,65
0,45
0,60
0,40
0,55
0,35
U/V
U/ V
Beim Einschwingvorgang und bei starken Störungen eines kontinuierlich betriebenen Lasers
treten Schwingungen mit ausgeprägten Spitzen auf (siehe Abb. 8.13). Diese werden als
Spiking bezeichnet. Exakt kann das Spiking nur durch die Lösung der zeitabhängigen
Ratengleichungen beschrieben werden. Hier soll nur das Prinzip des Phänomens erläutert
werden.
0,50
0,30
0,45
0,25
0,40
0,20
0,15
0,35
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,0000
0,010
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
t/s
t/s
Abb. 8.13: Spiking eines Nd YAG Lasers
Nach dem Einsetzen des Pumpvorgangs baut sich im laseraktiven Medium allmählich eine
Besetzungsinversion auf, da das obere Laserniveau nur langsam durch irgendwelche
Übergänge entvölkert wird. Bei ausreichend hoher Besetzungsinversion setzt dann sehr
schnell die induzierte Emission ein. Hierdurch wird das obere Laserniveau so schnell
8.19
entvölkert, dass die Energiepumpe in der kurzen Zeit nicht mehr genügend viele angeregte
Zustände erzeugen kann; die Besetzungsinversion sinkt soweit ab, dass die Schwellbedingung
unterschritten wird, und das Laserstrahlungsfeld zusammenbricht. Hat die Pumpe wieder eine
Besetzungsinversion hergestellt, beginnt der Vorgang von Neuem. Da im Allgemeinen keine
vollständige Entleerung des oberen Laserniveaus auftritt, sind die Schwingungen gedämpft,
und das Spiking verschwindet mit der Zeit (siehe Abb. 8.13). Wird die Pumpe nur wenig
oberhalb des Schwellwertes betrieben, so ist das Spiking besonders ausgeprägt. Ist der
Pumpvorgang sehr stark, so dass eine sehr hohe Besetzungsinversion erreicht wird, dann tritt
eine induzierte Emission mit so hohen Photonenströmen auf, dass der obere Laserzustand
total entleert wird und die induzierte Emission nach extrem kurzer Zeit vollständig zum
Erliegen kommt. In diesem Falle erhält man einen gepulsten Laser.
8.5 Frequenzverdopplung (second harmonic generation)
Eine Behandlung mittels der klassischen Elektrodynamik ergibt die folgenden Ergebnisse für
eine Frequenzverdopplung eines einfallenden Strahls mit der Frequenz ν in einem Medium:
•
Für die Intensität I (Energie pro Zeit und Fläche) gilt
I ( 2ν ) ~ I 2 (ν ) .
•
(8.68)
Für die Effektivität der Verdopplung gilt
I ( 2ν )
~ doK
I (ν )
(8.69)
mit doK der optischen Kohärenzlänge im Verdopplungsmedium. Die Kohärenzlänge ist
durch die Einheitlichkeit und die Homogenität des Verdopplungskristalls begrenzt.
•
Für eine effektive Frequenzverdopplung muss weiter die Bedingung
∆k =| k 2ν |−2⋅| k ν | = 0
(8.70)
gelten. k ν ist der Wellenvektor der Welle mit der Frequenz ν, k 2ν derjenige mit der
Frequenz 2ν. Ein Wellenvektor ist ein Vektor in der Ausbreitungsrichtung der Welle. Für
den Betrag des Wellenvektors gilt
| k |=
ω
vPh
=
2πν ⋅ nν
c
(8.71)
mit ω der Kreisfrequenz, nν der Brechzahl des Mediums, vPh der Lichtgeschwindigkeit im
Medium und c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Aus (8.70) folgt mit (8.71)
∆k =
2π ⋅ 2ν ⋅ n2ν 2 ⋅ 2πν ⋅ nν 4πν
−
=
⋅ n2ν − nν .
c
c
c
b
Mit der Bedingung (8.70) folgt aus (8.72)
8.20
g
(8.72)
n2ν = nν .
(8.73)
Die Beziehung (8.73) wird als Phasematching-Kriterium bezeichnet.
Da die Brechzahl n von der Frequenz ν der elektromagnetischen Strahlung abhängt
(Dispersion)
n = n(ν ) ,
(8.74)
kann die Bedingung (8.73) nicht trivial erfüllt werden.
Das Phasematching-Kriterium kann allerdings durch ein Medium, das Doppelbrechung
zeigt, erfüllt werden. Die Brechzahl eines doppelbrechenden Materials hängt von der
Polarisationsrichtung des Lichtes ab (siehe Abb. 8.14), woraus nach (8.71)
vPh =
c
n
(8.75)
die Lichtgeschwindigkeit vPh im Medium ebenfalls von der Polarisationsrichtung des
Lichtes abhängt.
Abb. 8.14: Durchgang von zueinander senkrecht polarisiertem Licht durch ein
doppelbrechendes Material
Das Phasematching-Problem wird durch ein Material gelöst, in dem die Brechzahlen n p
und n s zweier senkrecht zueinander polarisierten Strahlen die folgende Bedingung
erfüllen (siehe Abb. 8.15)
nνp = n2sν .
8.21
(8.76)
Abb. 8.15: Zur Lösung des Phasematching-Problems
Anhand der Abb. 8.16 kann die Frequenzverdopplung quantenphysikalisch interpretiert
werden. Der grundlegende Prozess der Frequenzverdopplung ist demnach die Vernichtung
zweier Photonen der Frequenz ν und die gleichzeitige Erzeugung eines Photons mit der
doppelten Frequenz 2ν . Es handelt sich also um einen 3-Photonenprozess. Aus diesem
Modell folgt mit dem Impulserhaltungssatz und dem Energieerhaltungssatz direkt die
Beziehung (8.70).
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
}
2ν
ν
ν
ν
ν
}
ν
ν
2ν
ν
ν
ν
einfallende
Photonen
nichtlinearer Kristall
austretende
Photonen
Abb. 8.16: Schematische Darstellung der Frequenzverdopplung
8.22
8.6 Halbleiterlaser
8.6.1 Das Prinzip von Halbleiterlasern
Der Hauptunterschied zwischen den Lasern auf atomarer oder molekularer Basis und den
Halbleiterlasern besteht darin, dass die Energieniveaus im Halbleiter als kontinuierliche
Verteilungen und nicht als diskrete Zustände behandelt werden müssen. Demzufolge findet
der Laserübergang nicht zwischen zwei genau definierten Energieniveaus statt, sondern
zwischen Zuständen, die eine Energieverteilung aufweisen. In Abb. 8.17 ist das
Energieniveaudiagramm für einen nicht entarteten Halbleiter dargestellt.
L
Leitungsband
Eg
F
V
Valenzband
Abb. 8.17: Valenzband V, Ferminiveau F und Leitungsband L eines nicht entarteten
Halbleiters
Das Leitungsband ist vom Valenzband durch die Energielücke Eg getrennt. Jedes Band
besteht aus einer großen Zahl von sehr eng beieinander liegenden Zuständen, die ein QuasiKontinuum bilden. Gemäß dem Ausschlussprinzip von Pauli kann jeder dieser Zustände nur
von zwei Elektronen mit entgegengesetztem Spin besetzt werden. Die Wahrscheinlichkeit
f (‹ ) der Besetzung eines Zustands der Energie ‹ folgt aus der Fermi-Dirac-Statistik (für
Teilchen mit halbzahligem Spin, zum Beispiel Elektronen):
b
n
g
f (‹ ) = 1 / 1 + exp ‹ − F / kT
s
(8.77)
wobei F die Energie des Ferminiveaus, k die Boltzmannkonstante und T die Temperatur
bedeuten. Für T → 0 K erhält man
bg
f b‹ g = 0
f ‹ =1
für ‹ < F ,
(8.78)
für ‹ > F .
(8.79)
Die Fermienergie F stellt also für T → 0 K die Grenze zwischen voll besetzten und leeren
Zuständen dar. Für nicht entartete Halbleiter wie in Abb. 8.17 befindet sich das Ferminiveau
innerhalb der Energielücke, was bedeutet, dass für T → 0 K das Valenzband vollständig
8.23
gefüllt und das Leitungsband vollständig leer ist. Unter diesen Bedingungen ist der Halbleiter
ein Isolator.
Im Gegensatz zu den Atom- oder Moleküllasern, bei denen die induzierten Übergänge
zwischen einzelnen Zuständen und damit in einem sehr kleinen Energiebereich stattfinden,
handelt es sich bei den Übergängen in Halbleiterlasern um Übergänge zwischen den
Besetzungsverteilungen zweier Energiebänder. Daher emittieren Halbleiterlaser in einem
weiteren Spektralbereich als Atom- oder Moleküllaser.
Die für einen Laserbetrieb notwendige Besetzungsinversion zwischen zwei Zuständen wird
im Halbleiterlaser zwischen dem Leitungs- und dem Valenzband erzeugt. Elektronen, die
durch einen Pumpprozess vom Valenzband ins Leitungsband befördert wurden, füllen dort
innerhalb von circa 10 −13 s die unteren Zustände des Leitungsbandes auf. Elektronen in
Zuständen mit Energien nahe an der Oberkante des Valenzbandes gehen in die unteren,
infolge der Pumpprozesse unbesetzten Zustände des Valenzbandes über und lassen dabei
Löcher im oberen Teil des Valenzbandes zurück. Damit wurde eine Besetzungsinversion
zwischen Leitungs- und Valenzband erzielt (siehe Abb. 8.18).
L
FL
Pumpprozess
Eg
Emission
hν
V
FV
Abb. 8.18: Besetzungsinversion und Laserübergang in einem Halbleiterlaser
Diese Situation kann nur in einem nicht thermischen Gleichgewicht existieren. Sie entspricht
einem doppelt entarteten Halbleiter, bei dem die Besetzung des Valenzbandes mit der
Fermienergie FV des sogenannten Quasi-Ferminiveaus identisch mit derjenigen eines
p-dotierten Halbleiters ist, während die Besetzung des Leitungsbandes mit der Fermienergie
FL derjenigen eines n-dotierten Halbleiters entspricht (siehe Abb. 8.18). Die Elektronen im
Leitungsband rekombinieren mit den entstandenen Löchern im Valenzband unter Aussendung
von Photonen (Rekombinationsstrahlung) der Energie hν (siehe Abb. 8.20).
In einem n-dotierten Halbleiter sind die in das reine Halbleitergitter eingebrachten
Fremdatome Elektronendonatoren, so dass die Elektronenleitung dominiert. In einem
p-dotierten Halbleiter sind die eingebrachten Fremdatome Elektronenakzeptoren, so dass die
Löcherleitung dominiert.
Aus Abb. 8.18 folgt direkt, dass die Frequenz ν der emittierten Strahlung die Bedingung
8.24
E g < hν < FL − FV
(8.80)
erfüllen muss. Einfallende Strahlung in diesem Frequenzbereich wird daher verstärkt,
während Photonen mit
hν > FL − FV
(8.81)
absorbiert werden, weil sie Elektronenübergänge von besetzten Zuständen des Valenzbandes
in leere Zustände des Leitungsbandes induzieren können. Die oben eingeführten QuasiFerminiveaus FL und FV trennen bei T → 0 K die besetzten von den unbesetzten Niveaus
des Leitungs- bzw. Valenzbandes. Damit kann deren Besetzungswahrscheinlichkeit analog zu
(8.77) beschrieben werden:
m
r
f (‹ ) = 1 / m1 + exp (‹ − F ) / kT r .
f L (‹ ) = 1 / 1 + exp (‹ − FL ) / kT
(8.82)
V
(8.83)
V
Eine notwendige Bedingung für Laseraktivität ist das Auftreten einer Besetzungsinversion
N 2 − N1 > 0
für g1 = g2 = 1 .
(8.84)
Die Besetzung des oberen Niveaus ist bestimmt durch das Produkt der
für Elektronen im Leitungsband und der
Besetzungswahrscheinlichkeit
fL
Wahrscheinlichkeit (1 − fV ) zur Nichtbesetzung des Valenzbandes mit Elektronen (d.h. zur
Besetzung mit Löchern). Für die Besetzung des unteren Niveaus erhält man analog
fV ⋅ (1 − f L ) . Die Bedingung für Laseraktivität (8.84) ist somit erfüllt, falls
f L (1 − fV ) − fV (1 − f L ) = f L − fV > 0 .
(8.85)
Mit (8.82) und (8.83) folgt, dass (8.85) erfüllt ist, falls
FL − FV > ‹L −‹V = hν
(8.86)
gilt, wobei ‹ L und ‹V die Energien des oberen beziehungsweise unteren Laserniveaus
bedeuten.
Da (8.86) unabhängig von der Temperatur ist, gilt die Bedingung (8.80) für Verstärkung bei
jeder Temperatur. Bei Vorhandensein einer Besetzungsinversion zwischen Valenz- und
Leitungsband sowie einer geeigneten Rückkopplung wird die stimulierte Emission von
Rekombinationsstrahlung zur Laseroszillation führen.
8.25
8.6.2 Realisierung von Halbleiterlasern (p-n-Laserdioden)
8.6.2.1
Besetzungsinversion beim Halbleiterlaser
Die Herstellung des Zustands der Besetzungsinversion kann in einem Halbleiterlaser
prinzipiell durch drei Arten erfolgen:
•
Anregung durch optisches Pumpen,
•
Anregung durch Beschuss mit hochenergetischen Elektronen,
•
Anregung durch Injektion von Elektronen und Löchern in einen p-n-Übergang (Diodenoder Injektionslaser).
Aufgrund seiner weitaus größten Verbreitung soll hier nur der Diodenlaser diskutiert werden.
8.6.2.2
Herkömmliche p-n-Laserdioden
Bringt man einen stark dotierten n-Halbleiter in Kontakt mit einem p-Halbleiter, so erhält
man eine p-n-Diode, die das Grundelement eines Injektionslasers darstellt. Die Donatorenbzw. Akzeptoren-Dotierungskonzentrationen besitzen Werte > 10 18 Atome/cm 3 . Ohne eine
angelegte Spannung erhält man die Situation, wie sie in Abb. 8.19a dargestellt ist. Die
gestrichelten Bereiche kennzeichnen die besetzten Zustände.
Während die Bänder der p- und n-Regionen gegeneinander verschoben sind, hat das
Ferminiveau F auf Grund des thermischen Gleichgewichts einen konstanten Wert über den
gesamten p-n-Übergang, und es gilt
F = Fp = Fn .
(8.87)
Wegen der hohen Dotierung befindet sich die Fermienergie Fp der p-Region innerhalb des
Valenzbandes der p-Region und die Fermienergie Fn der n-Region innerhalb des
Leitungsbandes der n-Region. Fp und Fn entsprechen den in Abb. 8.18 eingeführten QuasiFerminiveaus FV und FL . Wird nun eine Spannung U in Durchlassrichtung der Diode
angelegt, so werden in der p-Region die Energien des Valenz- und des Leitungsbandes
abgesenkt und in der n-Region die Energien des Valenz- und des Leitungsbandes angehoben
(siehe Abb. 8.19b). Erreicht die angelegte Spannung U einen Wert von ähnlicher Größe wie
eine der Energielücke entsprechende Spannung (siehe Abb. 8.19c)
U ≈ Eg / e ,
(8.88)
so wird ein Fluss von Elektronen von der n-Region und ein Fluss von Löchern von der
p-Region in den p-n-Übergang erzeugt. Die Fermienergie Fn der n-Region wird gegenüber der
Fermienergie Fp der p-Region um den Betrag eU angehoben (siehe Abb. 8.19c).
8.26
E
n
p
F
Eg
E
p
U = 0V
n
Fn
Fp
U > 0V
E
aktive Zone
p
n
Fn
U = Eg / e
hνem
Eg = U e
Fp
Abb. 8.19a – 8.19c: p-n-Übergang mit verschiedenen angelegten Spannungen
Im Bereich des p-n-Übergangs existiert damit eine schmale Zone (aktive Zone) der Dicke d,
die sowohl Elektronen als auch Löcher enthält. In der aktiven Zone liegt eine
8.27
Besetzungsinversion vor, so dass stimulierte Übergänge von energetisch höher liegenden
besetzten Zuständen in energetisch tiefer liegende unbesetzte Zustände stattfinden können.
Nach (8.86) wird elektromagnetische Strahlung, deren Photonenenergie hνem der Bedingung
E g > ν ⋅ hem > Fn − Fp
(8.89)
genügt, beim Durchlaufen dieser aktiven Zone verstärkt.
Die Dicke d der aktiven Zone beträgt für GaAs etwa 1 µm. Die Laseremission ist somit auf
eine extrem schmale Zone um den p-n-Übergang beschränkt.
Der Laserresonator des schematischen Aufbaus eines Diodenlasers in Abb. 8.20 besteht aus
den beiden planparallelen Stirnflächen, die einen Fabry-Perot Resonator bilden und meist
durch ein Spalten des Kristalls entlang der Kristallebenen erhalten werden. Diese Flächen
werden oft nicht verspiegelt, da aufgrund der hohen Brechzahl der Halbleiter (n = 3,6 für
GaAs) bereits eine Reflexion von circa 32 % am Halbleiter-Luft-Übergang auftritt. Auf
Grund der hohen Verstärkung genügt dieser Wert, um trotz der hohen Reflexionsverluste von
0,7 pro halbem Umlauf die Schwelle zur Laseroszillation zu erreichen. Die beiden anderen
Endflächen des Laserkristalls werden rau belassen, um eine Laseroszillation in unerwünschte
Richtungen zu unterdrücken. Im Halbleiterlaser ist die Ausdehnung der Laserstrahlung
senkrecht zur Ebene des p-n-Übergangs größer als die Dicke der aktiven Schicht, so dass der
Laserstrahl in die p- beziehungsweise in die n-Region hinein reicht. Da das Laserlicht aus
einer Zone von rund 50 µm Seitenlänge emittiert wird, weist der austretende Strahl aufgrund
der Beugung an dieser schmalen Zone eine große Divergenz von bis zu 50° auf.
Abb. 8.20: Schematischer Aufbau eines p-n-Diodenlasers. Die aktive Zone ist schraffiert
dargestellt
Die Laserleistung eines Halbleiterlasers hängt stark vom Injektionsstrom ab (siehe
Abb. 8.21).
8.28
80
70
60
P / mW
50
40
30
20
10
0
-10
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800
IInj / mA
Abb. 8.21: Die Abhängigkeit der Laserintensität vom Injektionsstrom
Die Laserleistung nimmt oberhalb eines Schwellstroms I Schw mit dem Strom stark zu. Für
I < I Schw erhält man vorwiegend eine spontane Emission großer spektraler Breite ähnlich
einer Licht emittierenden Diode. Für I > I Schw resultiert das emittierte Licht überwiegend aus
induzierter Emission. Seine spektrale Bandbreite und sein maximaler Austrittswinkel sind
beide wesentlich kleiner als für das spontan emittierte Licht.
8.6.3 Die Temperaturabhängigkeit der Wellenlänge von Diodenlasern
Wellenlänge
Die Wellenlänge des Diodenlasers nimmt mit steigender Temperatur zu. Der Grund hierfür
liegt darin, dass sowohl die Brechzahl n als auch die Dicke d der aktiven Zone und damit die
Länge des Resonators mit der Temperatur größer werden. Aus der Abbildung 8.22 ist zu
sehen, dass die Wellenlänge in bestimmten Temperaturbereichen näherungsweise linear von
der Temperatur abhängt.
Wellen längensprung
Temperatur
Abb. 8.22: Temperaturabhängigkeit der Wellenlänge eines Injektionslasers
8.29
An den Enden eines Bereichs mit linearer Abhängigkeit treten Sprünge der Wellenlänge (von
etwa 0,3 nm) auf, die darauf zurückzuführen sind, dass bei der Sprungtemperatur die
oszillierende Mode gerade nicht mehr in den Resonator passt, und eine andere Mode mit
günstigeren Bedingungen anspringt. Zur Änderung der Wellenlänge mittels der Temperatur
ist es daher vorteilhaft in Bereichen ohne Sprünge zu arbeiten. Meistens ist es ausreichend,
die Temperaturabhängigkeit der Wellenlänge durch eine lineare Beziehung
λ (T ) = λ (T0 ) + aT ⋅ (T − T0 )
(8.90)
anzunähern. αT hat die Dimension Wellenlänge pro Temperatur und beispielsweise die
Einheit
[αT] = nm/K .
8.30
(8.91)