Montag 20.4.2009

Algebra II, SS 2009
Montag 20.4
$Id: galois.tex,v 1.3 2009/04/20 13:24:09 hk Exp hk $
§2
Auflösbarkeit von Gruppen und Polynomen
Als Galoisgruppe eines Polynoms f ∈ K[x] über einem Körper K wurde die Galoisgruppe eines Zerfällungskörpers von f über K definiert. Ist K perfekt und enthält
sämtliche Einheitswurzeln, so hatten Sie gezeigt das die Galoisgruppe eines durch Radikale lösbaren Polynoms selbst auflösbar ist. Wir werden uns im Folgenden überlegen,
dass auch die Umkehrung dieser Aussage gilt, also ein Polynom genau dann durch Radikale lösbar ist wenn seine Galoisgruppe auflösbar ist. Bevor wir dies tun ist es nützlich
noch einige allgemeine Tatsachen über Gruppen festzuhalten. Im letzten Semester hatten Sie die Auflösbarkeit einer Gruppe G in Termen von Normalreihen von G definiert,
und wir wollen erstmal einige Kleinigkeiten über derartige Reihen festhalten.
Definition 2.1: Sei G eine Gruppe. Eine Normalreihe der Länge r ∈ N0 von G ist ein
Tupel
G = G0 G1 · · · G1 Gr = 1
von Untergruppen von G (derartige durch Normalteilerketten erreichbare Untergruppen von G nennt man auch Subnormalteiler von G). Wir sprechen von einer Normalreihe ohne Wiederholungen, wenn Gi 6= Gi−1 für jedes 1 ≤ i ≤ r ist. Die Normalreihe
heißt eine Kompositionsreihe von G, wenn Gi−1 /Gi für jedes 1 ≤ i ≤ r eine einfache
Gruppe ungleich 1 ist.
Der Begriff einer Kompositionsreihe ist für unsere Zwecke nicht strikt notwendig, er
dient uns hauptsächlich zur allgemeinen begrifflichen Einordnung der Auflösbarkeit.
Unser Hauptziel in diesem Zusammenhang ist der Satz von Jordan-Hölder, der sagt
das je zwei Kompositionsreihen einer Gruppe dieselbe Länge haben. Zuvor wollen wir
uns an einige allgemeine Tatsachen im Zusammenhang mit den Normalteilern einer
Gruppe erinnern.
Seien also G eine Gruppe und N G ein Normalteiler von G. Dann bilden die
Nebenklassen von N wieder eine Gruppe
G/N = {aN |a ∈ G}
genannt die Quotientengruppe, G modulo N . Oftmals und insbesondere innerhalb der
Gruppentheorie wird G/N auch als die Faktorgruppe von G nach N bezeichnet. Die
Untergruppen von G/N sind genau die Untergruppen
H/N = {aN |a ∈ H} ≤ G/N
wobei H die Untegruppen von G mit N ≤ H ≤ G durchläuft. Ein solches H/N mit
N ≤ H ≤ G ist dabei genau dann ein Normalteiler von G/N wenn H ein Normalteiler
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von G ist. Tatsächlich ist für überhaupt jede Untergruppe H von G die Menge {aN |a ∈
H} stets eine Untergruppe von G/N , aber diese sind keine neuen Untegruppen da ja
{aN |a ∈ H} = {aN |a ∈ HN } = HN/N
mit N ≤ HN ≤ G ist. Im Zusammenhang mit unseren Normalreihen ist der folgende
Spezialfall dieser Aussagen wichtig: Sind G eine Gruppe und N G, so ist G/N genau
dann einfach wenn G/N nur die beiden trivialen Normalteiler hat, d.h. wenn es nur
zwei Normalteiler H G mit N ≤ H gibt, nämlich H = N und H = G. Einfachheit
von G/N bedeutet also, dass N ein maximaler Normalteiler von G ist. Insbesondere
ist eine Normalreihe G = G0 G1 · · · Gr = 1 ohne Wiederholungen genau dann
eine Kompositionsreihe wenn Gi für jedes 1 ≤ i ≤ r ein maximaler Normalteiler von
Gi−1 ist. Äquivalent hierzu ist, dass die Normalreihe eine maximale Normalreihe ohne
Wiederholungen ist, also keine neuen Elemente eingefügt werden können.
Faktorgruppen treten vor allen im Zusammenhang mit den sogenannten Homomorphiesätzen auf. Der grundlegende Homomorphiesatz war dabei die Tatsache
Bild(f ) ' G/ Kern(f )
wenn f : G → H ein Gruppenhomomorphismus ist. Der Isomorphismus ist dabei
einfach durch
a · Kern(f ) 7→ f (a)
gegeben. Als Spezialfälle ergaben sich der sogenannte zweite und dritte Homomorphiesatz. Für den ersten seien H ≤ G eine Untegruppe und N G ein Normalteiler. Dann
ist HN wieder eine Untegruppe von G mit Normalteiler N und es gilt
HN/N ' H/(H ∩ N ).
Dies ist der Homomorphiesatz, denn f : H → HN/N ; a 7→ aN ist surjektiver Homomorphismus mit Kern H ∩ N . Konkret ist der Isomorphismus einfach
a · (H ∩ N ) 7→ a · N
(a ∈ H).
Der dritte Homomorphiesatz beschreibt Quotienten von Quotienten. Sind N, H G
zwei Normalteiler mit N ≤ H, so ist
(G/N )/(H/N ) ' G/H.
Denn wegen N ⊆ H ist f : G/N → G/H; aN 7→ aH ein surjektiver Homomorphismus,
und genau dann liegt aN im kern von f wenn aH = H, also a ∈ H ist. Damit ist
Kern(f ) = H/N und wir haben die obige Isomorphie. Konkret ist dieser Isomorphismus
dann
(a · N ) · (H/N ) 7→ aH (a ∈ G).
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Die letzte Tatsache, die wir noch festhalten wollen bevor wir an den Satz von JordanHölder gehen ist die sogenannte Modularidentität für Untergruppen. Sind G eine Gruppe und A, B, C ≤ G drei Untergruppen, so gilt
(A ∩ B) · C = A ∩ (BC) wenn C ≤ A ist.
Wegen A∩B, C ≤ A ist zum einen sofort (A∩B)·C ≤ A∩(BC). Nun sei umgekehrt a ∈
A∩(BC). Dann existieren b ∈ B, c ∈ C ≤ A mit a = bc, also auch b = ac−1 ∈ A∩B und
a = bc ∈ (A ∩ B) · C. Damit ist die Modularidentät bewiesen. Als einen ersten Schritt
zum Satz von Jordan-Hölder, diskutieren wir das Verhalten einer Kompositionsreihe
bezüglich eines Normalteilers der Gruppe.
Lemma 2.1: Seien G eine Gruppe und G = G0 G1 · · · Gr = 1 eine Kompositionsreihe von G. Weiter sei N G ein Normalteiler. Nach Streichen von Wiederholungen
sind dann
N = G0 ∩ N G1 ∩ N · · · Gr ∩ N = 1
eine Kompositionsreihe von N und
G/N = (G0 N )/N (G1 N )/N · · · (Gr N )/N = 1
eine Kompositionsreihe von G/N . Für jedes 1 ≤ i ≤ r gilt entweder Gi−1 ∩ N ⊆ Gi
oder (Gi−1 ∩ N ) · Gi = Gi−1 , sowie
(
[(Gi−1 N )/N ]/[(Gi N )/N ] ' Gi−1 /Gi , (Gi−1 ∩ N )/(Gi ∩ N ) = 1, Gi−1 ∩ N ⊆ Gi ,
[(Gi−1 N )/N ]/[(Gi N )/N ] = 1, (Gi−1 ∩ N )/(Gi ∩ N ) ' Gi−1 /Gi , Gi−1 ∩ N 6⊆ Gi .
Beweis: Dass beide Tupel Normalreihen sind ist klar. Jetzt sei 1 ≤ i ≤ r gegeben.
Dann sind Gi−1 ∩ N, Gi Gi−1 , also auch Gi ≤ (Gi−1 ∩ N ) · Gi Gi−1 . Andererseits ist
Gi ein maximaler Normalteiler in Gi−1 , und somit gibt es nur die beiden Möglichkeiten
(Gi−1 ∩N )·Gi = Gi , also Gi−1 ∩N ⊆ Gi , oder (Gi−1 ∩N )·Gi = Gi−1 . Wegen Gi ≤ Gi−1
ergibt die Modularidentität auch (Gi−1 ∩ N ) · Gi = Gi−1 ∩ (Gi N ). Weiter ergeben die
Homomorphiesätze
[(Gi−1 N )/N ]/[(Gi N )/N ] ' (Gi−1 N )/(Gi N ) ' Gi−1 /[Gi−1 ∩ (Gi N )]
(
Gi−1 /Gi , Gi−1 ∩ N ⊆ Gi ,
= Gi−1 /[(Gi−1 ∩ N ) · Gi ] '
1,
Gi−1 ∩ N 6⊆ Gi
und
(Gi−1 ∩ N )/(Gi ∩ N ) = (Gi−1 ∩ N )/(Gi ∩ (Gi−1 ∩ N ))
(
1,
Gi−1 ∩ N ⊆ Gi ,
' ((Gi−1 ∩ N ) · Gi )/Gi '
Gi−1 /Gi , Gi−1 ∩ N 6⊆ Gi .
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Insbesondere sind in beiden Normalreihen alle Quotienten entweder trivial, oder nicht
trivial und einfach, lassen wir also die trivialen Schritte, d.h. die Wiederholungen, weg,
so verbleiben nur nicht triviale, einfache Quotienten und wir haben eine Kompositionsreihe.
Satz 2.2 (Jordan-Hölder Theorem für Gruppen)
Seien G eine Gruppe und
G = N0 N1 · · · Nr = 1, G = M0 M1 · · · Ms = 1
zwei Kompositionsreihen von G. Dann ist r = s und es existiert eine Permutation
π ∈ Sr mit Ni−1 /Ni ' Mπ(i)−1 /Mπ(i) für alle 1 ≤ i ≤ r.
Beweis: Wir beweisen dies durch Induktion nach r. Im Fall r = 0 ist dabei G = 1 und
die Aussage ist klar. Nun sei r ≥ 1 und die Induktionsaussage gelte für r − 1. Dann
sind insbesondere auch G 6= 1 und s ≥ 1. Ist M1 ≤ N1 G so ist M1 = N1 da M1 ein
maximaler Normalteiler von G = M0 ist. Durch Anwendung der Induktionsannahme
auf M1 = N1 sind wir dann bereits fertig. Wir können also M1 6≤ N1 annehmen. Nun
ist N1 ein maximaler Normalteiler von G und es gilt 1 = Ms ≤ N1 . Wählen wir l mit
Ml ≤ N1 minimal, so erhalten wir ein 1 < l ≤ s mit
Mj ≤ N1 für l ≤ j ≤ s und Mj 6≤ N1 für 0 ≤ j < l
und nach Lemma 1 ist
N1 = M0 ∩ N1 M1 ∩ N1 · · · Ml−1 ∩ N1 Ml ∩ N1 = Ml Ml+1 · · · Ms = 1
eine Normalreihe von N1 , die durch Streichen von Wiederholungen zu einer Kompositionsreihe von N1 wird, und es ist
(
Mi−1 /Mi , Mi−1 ∩ N1 6⊆ Mi ,
(Mi−1 ∩ N1 )/(Mi ∩ N1 ) '
1,
Mi−1 ∩ N1 ⊆ Mi
für alle 1 ≤ i ≤ s. Bei i = l haben wir hier eine Wiederholung, es ist ja Ml ≤
Ml−1 ∩N1 Ml−1 und wegen Ml−1 6⊆ N1 auch Ml−1 ∩N1 6= Ml−1 , also Ml−1 ∩N1 = Ml da
Ml ein maximaler Normalteiler von Ml−1 ist. Wir werden nun einsehen, dass es in dieser
Normalreihe keine weiteren Wiederholungen gibt. Für i > l ist sowieso Mi−1 6= Mi .
Wir wollen jetzt G = N1 Mi für 0 ≤ i < l einsehen. Für i = 0 ist dies wegen
M0 = G klar. Ist 1 ≤ i < l und gilt bereits G = N1 Mi−1 , so folgt wegen Mi Mi−1
auch N1 < N1 Mi N1 Mi−1 = G, und die Maximalität von N1 ergibt G = N1 Mi wie
gewünscht. Für jedes 1 ≤ i < l folgt weiter auch
(Mi−1 ∩ N1 ) · Mi = Mi−1 ∩ (N1 Mi ) = Mi−1 6= Mi
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und insbesondere Mi−1 ∩ N1 6⊆ Mi , also (Mi−1 ∩ N1 )/(Mi ∩ N1 ) ' Mi−1 /Mi 6= 1. Damit
treten keine weiteren Wiederholungen auf, und unsere obige Normalreihe liefert eine
Kompositionsreihe der Länge s − 1 von N1 , deren Quotienten gerade die Mi−1 /Mi mit
1 ≤ i ≤ s, i 6= l sind. Unsere Induktionsannahme liefert r − 1 = s − 1, also t = s, und
eine bijektive Abbildung π : {2, . . . , r} → {1, . . . , s}\{l} mit Ni−1 /Ni ' Mπ(i)−1 /Mπ(i)
für alle 1 < i ≤ r. Für den verbleibenden Quotienten haben wir
N0 /N1 = G/N1 = (Ml−1 N1 )/N1 ' Ml−1 /(Ml−1 ∩ N1 ) = Ml−1 /Ml ,
und wir können π durch π(1) = l zur gesuchten Permutation ergänzen.
Definition 2.2: Sei G eine Gruppe. Wir sagen, dass G endliche Länge hat wenn G eine
Kompositionsreihe besitzt, und die Länge einer solchen werde als die Länge `(G) von
G bezeichnet. Andernfalls sei `(G) = ∞.
Beispielsweise hat jede endliche Gruppe auch endliche Länge, wir können ja mit der
Normalreihe G 1 starten, und solange Normalteiler einfügen bis die Reihe maximal
wird. Es ist eine Übungsaufgabe zu zeigen, dass eine endliche Gruppe genau dann
auflösbar ist, wenn sie eine Kompositionsreihe besitzt deren sämtliche Quotienten zyklisch von Primzahlordnung sind. Wir wollen jetzt einige Beispiele zur Länge einer
Gruppe besprechen.
1. Die Länge `(Z6 ) der zyklischen Gruppe der Ordnung 6. Für abelsche Gruppen
sind Normalteiler und Untergruppe dasselbe. Jetzt hat Z6 beispielsweise die Untegruppe N := {0, 3} ' Z2 . Diese ist offenbar einfach, da sie nur zwei Elemente hat.
Der Quotient Z6 /N hat Ordnung 3 und ist damit ebenfalls einfach. Tatsächlich
haben Gruppen von Primzahlordnung keine nicht trivialen Untegruppen, da die
Ordnung einer Untergruppe ja die Ordnung der ganzen Gruppe teilt. Damit ist
Z6 N ' Z2 1
eine Kompositionsreihe und wir haben `(Z6 ) = 2.
2. Die Länge `(S4 ). Hier betrachten wir die nur ein klein wenig ergänzte Normalreihe
der letzten Vorlesung
S4 A4 V {(1 2)(3 4), id} ' Z2 1.
Diese Gruppen haben der Reihe nach die Ordnungen 24, 12, 4, 2, 1, die Ordnungen
der Quotienten sind also 2, 3, 2, 2 und insbesondere sind diese alle einfach. Damit
haben wir eine Kompositionsreihe und sehen `(S4 ) = 4.
3. Nun sei n ≥ 5 und wir wollen `(Sn ) berechnen. Wie schon letztes Mal bemerkt
ist die alternierende Gruppe An einfach, und damit ist Sn An 1 bereits eine
Kompositionsreihe und wir haben `(Sn ) = 2.
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4. Unendliche Gruppen haben meistens auch unendliche Länge. Es gibt natürlich unendliche Gruppen endlicher Länge, beispielsweise jede einfache unendliche Gruppe, aber diese sind eher Ausnahmen. Wir wollen uns klarmachen, dass bereits die
einfachste unendliche Gruppe (Z, +) unendliche Länge hat, also keine Kompositionsreihe besitzt.
Ist 0 6= H ≤ Z irgendeine Untergruppe, so haben wir ein minimales Element
n von N ∩ H, und es muss H = nZ sein. Diese Aussage sollten Sie eigentlich
kennen, sie folgt beispielsweise durch Division mit Rest. Insbesondere ist jede
Untergruppe H 6= 0 von Z isomorph zu Z selbst, hat also ihrerseits eine nicht
triviale Untergruppe. Damit kann Z keine Kompositionsreihe besitzen, und wir
haben `(Z) = ∞.
Wie bereits bemerkt ist unser Ziel die Äquivalenz der Auflösbarkeit eines Polynoms
durch Radikale und der Auflösbarkeit seiner Galoisgruppe zu beweisen. Hierfür müssen
wir uns überlegen wie Galoiserweiterungen mit auflösbarer Galoisgruppe ausssehen. Eine derartige Situation ist in vielerlei Hinsicht gerade anders herum als Sie es aus dem
letzten Semester gewöhnt sind. Dort war eine Erweiterung gegeben, und die Galoisgruppe musste berechnet werden. Jetzt hingegen haben wir eine Erweiterung, die wir
konkret gar nicht kennen, aber wir wissen etwas über ihre Galoisgruppe. Hieraus muss
dann die Erweiterung soweit wie nötig rekonstruiert werden.
In den Aufgaben haben Sie gezeigt, dass sich eine endliche auflösbare Gruppe
aus mehreren zyklischen Erweiterungen zusammensetzt, und daher sind als erster
Schritt Galoiserweiterungen mit zyklischer Galoisgruppe zu untersuchen. Es ist nützlich
zunächst zwei allgemeine Lemmata voranzuschicken, einmal das sogenannte Dedekindsche Unabhängigkeitslemma und zum anderen ein Lemma über Einheitswurzeln.
Lemma 2.3 (Dedekindsches Unabhängigkeitslemma)
Seien K, L zwei Körper und α1 , . . . , αn : K → L paarweise verschiedene Einbettungen, also von Null verschiedene Körperhomomorphismen. Dann sind α1 , . . . , αn linear
unabhängig über L.
Beweis: Wir beweisen dies durch Induktion nach n, wobei die Aussage für n ≤ 1 klar
ist.
Pn Nun sei n > 1 und nehme die Aussage für n − 1 an. Seien λ1 , . . . , λn ∈ L mit
i=1 λi αi = 0. Angenommen es wäre λi 6= 0 für jedes 1 ≤ i ≤ n. Sei a ∈ K. Für jedes
x ∈ K haben wir dann
" n
#
#
" n
n
n
X
X
X
X
λi αi (a)αi (x) =
λi αi (a)αi (x) =
λi αi (ax) =
λi αi (ax) = 0,
i=1
also
0=
i=1
i=1
Pn
λi αi (a)αi = 0. Damit ist aber auch
n
X
n
X
i=1
i=1
λi αi (a)αi − αn (a)
i=1
λi αi =
n
X
λi (αi (a) − αn (a))αi =
i=1
i=1
n−1
X
i=1
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λi (αi (a) − αn (a))αi .
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Unsere Induktionsannahme ergibt λi (αi (a) − αn (a)) = 0, also auch αi (a) = αn (a), für
alle 1 ≤ i < n. Dies zeigt α1 = · · · = αn im Widerspruch zu n ≥ 2. Somit gibt es ein
1 ≤ i ≤ n mit λi = 0, und eine erneute Anwendung der Induktionsannahme liefert
auch λ1 = · · · = λn = 0.
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