Formelsammlung Ma 2.1

Formelsammlung Mathematik/Statistik
Zeichen
Sprechweise / Bedeutung
Zeichen
Sprechweise / Bedeutung
<

kleiner als
kleiner oder gleich
A, B, M
Mengen
>

größer als
größer oder gleich
{ a; b}
Menge mit den Elementen a und b
leere Menge
%
Prozent

] a, b [
offenes Intervall von a bis b
{ x | …}
Menge aller x, für die gilt: …
[ a, b ]
abgeschlossenes Intervall von a bis b
A B
Durchschnittsmenge von A und B
[ a, b [
halboffenes Intervall von a bis b
A B
Vereinigungsmenge von A und B

unendlich
A\B
Differenzmenge von A und B
ab
a hoch b (Potenz)
ℕ
Menge der natürlichen Zahlen
ℤ
Menge der ganzen Zahlen
Quadratwurzel aus
n
n-te Wurzel aus
{}
log a x
Logarithmus x zur Basis a
ℚ+
Menge der gebrochenen Zahlen
lg x
Logarithmus x zur Basis 10
ℚ
Menge der rationalen Zahlen
ln x
Logarithmus x zur Basis e
ℝ
Menge der reellen Zahlen
lb x
Logarithmus x zur Basis 2
P(E) oder p(E)
Wahrscheinlichkeit von Ereignis E
Potenzen
Wurzeln
an  a  a  ...  a
a…Basis
a0  1
n…Exponent
a1  a
a  ℝ\{0}, n  ℕ
a n 
n
b0
a… Radikand
loga b  c  a c  b
n…Wurzelexponent
a  ℝ, a > 0, a  1
a…Basis
b  ℝ, b > 0
b…Numerus
a  ℝ ∧ a ≥ 0, n  ℕ\{0;1}
1
loga 1  0
an
am  an  amn
a n  b n  (a  b ) n
am
a
 
n
b
b
an
a  b  bn  a
Logarithmen
 a mn
an
(a m )n  a mn
06.04.2017 257853495
a  n a  mn a mn
n
a n b  n ab
m
a
n
a
n
a
nm
1
an  n a
n
m
a

1
n

1
n
 nm a nm
a
n
n
b
b
m
a n  n am
a
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a

m
n

1
n
loga (u  v )  loga u  loga v
mit u, v  ℝ und u, v > 0
loga
a  mn a
a
m
loga a  1
u
 loga u  loga v
v
loga ur  r  loga u
rℝ
1
log a u
n
nℕ
log a n u 
Formelsammlung Mathematik/Statistik
Quadratische Gleichungen
allgemeine Form
Gleichung
ax 2  bx  c  0
Lösungen
x1,2 
Diskriminante
D  b  4ac
Normalform
x 2  px  q  0
p
p
   q
2
2
a,b,c,p,q  ℝ;
2
a,b,c,p,q sind Konstanten
2
 b  b 2  4ac
2a
x 1,2  
p
D  q
2
2
Lösung in ℝ
D>0

L = {x1; x2}
D=0

L = {x1} = {x2}
D<0

L=∅
a0
Statistik
Lage– und Streumaße
Modalwert (Modus)
Häufigster Wert unter den Ergebnissen einer Stichprobe
Mittelwert (arithmetisches Mittel) x
x
Zentralwert (Median) z
n ist ungerade:
x1  x 2  ...  x n 1 n
  xi
n
n i1
z  x n1
2
n ist gerade:
Spannweite (Streu- oder Variationsbreite) R
Mittlere Abweichung vom Zentralwert z bei
einer Stichprobe vom Umfang n
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z
1
(x n  x n )
1
2 2
2
R  x max  x min
1
1 n
( x1  z  x 2  z  ...  x n  z )   x i  z
n
n i1
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Formelsammlung Mathematik/Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundlegende Begriffe
Zufallsversuch
Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen 1, 2 ,...,n
Ergebnismenge (Stichprobenraum) 
Menge aller möglichen Ergebnisse   {1, 2 ,...,n }
Ereignis E
Teilmenge der Ergebnismenge 
sicheres Ereignis
Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt
unmögliches Ereignis
Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt
Elementarereignis {a}
Ereignis mit nur einem Element
Gegenereignis E
Komplementärmenge von E
absolute Häufigkeit Hn (E) des Eintretens von E
Anzahl des Eintretens von E bei n
E
Versuchsdurchführungen
relative Häufigkeit hn (E) des Eintretens von E
hn 
Hn (E)
n
Klassische Wahrscheinlichkeit
–
Jedes von endlich vielen Elementarereignissen E
hat die gleiche Chance zum Auftreten, kein
Elementarereignis ist unmöglich.
–
P(E) 
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Das Auftreten eines Elementarereignisses schließt
das gleichzeitige Auftreten eines anderen
Elementarereignisses aus.
Regeln und Sätze für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
0  P(E)  1
für E = {a1, a2, … , ak} gilt
Summenregel
P(E) = P({a1}) + P({a2}) + … + P({ak})
P()  1
Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses
P()  1
Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses
P(E)  1  P(E)
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
P(E1  E2 )  P(E1 )  P(E2 )  P(E1  E2 )
Additionssatz für zwei Ereignisse
Pfadregel
Produktregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
entlang des zugehörigen Pfades (Pfadwahrscheinlichkeit).
Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten seiner
zugehörigen Elementarereignisse.
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Kombinatorik
Binomialkoeffizienten
 n  n (n  1) (n  2) ... n  k  1
n!
  

1 2  3  . . .  k
k ! n  k !
k 
Permutation
Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden
Anzahl von Permutationen
ohne Wiederholung
von n verschiedenen Elementen
Pn  n!
mit Wiederholung
von n Elementen mit k Klassen von untereinander gleichen Elementen.
Die Klassen enthalten n1, n2, … , nk Elemente.
Pn 
n!
n1!n2 !...  nk !
Variationen
Jede mögliche Anordnung (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n
von n Elementen zur k-ten Klasse
Elementen
Anzahl von Variationen k-ter Klasse
von n verschiedenen Elementen
ohne Wiederholung
von n verschiedenen Elementen
mit Wiederholung
Vnk 
n!
(n  k )!
Vnk  nk
Kombinationen
Jede mögliche Anordnung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n
von n Elementen zur k-ten Klasse
Elementen
Anzahl von Kombinationen k-ter Klasse
von n verschiedenen Elementen
ohne Wiederholung
von n verschiedenen Elementen
mit Wiederholung
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Ckn 
n
n!
  
(n  k )!  k!  k 
 n  k  1

Ckn  
 k

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