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Aufgabenblatt zum Seminar 13
PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus
(Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)
Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de)
15. 07. 2009
1 Aufgaben
1. Zwei gleiche Ladungen 𝑄 = 10−3 C verschiedenen Vorzeichens im mittleren Abstand von
2𝑑 = 1 cm schwingen harmonisch und gegenphasig mit einer Frequenz von 10 MHz und
einer Amplitude von Δ = 5 µm. Wie gross ist das elektrische und magnetische Feld im
grösseren Abstand (z.B. 1 m) in der Ebene durch den gemeinsamen Schwerpunkt der
Ladungen mit der Ebenennormalen parallel zur Schwingungsrichtung der Ladungen?
2. In Medien wird die Richtung und der Betrag des Energieusses einer elektromagnetischen
Welle durch den Poynting-Vektor beschrieben.
𝑺 (𝒓 , 𝑡) = 𝑬 (𝒓 , 𝑡) × 𝑯 (𝒓 , 𝑡)
Die Einheit von 𝑆 ist J m−2 s−1 . Die Intensität an einer durch die Normale 𝒂 denierten
Ebene ist
𝒂
1
𝐼𝒂 (𝒓) = ⟨∣𝑺(𝒓)∣⟩𝑡,⊥ = 𝑺 0 (𝒓) ⋅
2
∣𝒂∣
Berechnen Sie mit den Fresnelschen Formeln für nichtmagnetische Substanzen für die
𝑠-Polarisation
sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼) − sin (𝛼) cos (𝛾(𝛼))
sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼) + sin (𝛼) cos (𝛾(𝛼))
sin(𝛼 − 𝛾(𝛼))
= −𝐸𝑒
sin(𝛼 + 𝛾(𝛼))
2 sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼)
𝐸𝑡 = 𝐸𝑒
sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼) + sin (𝛼) cos (𝛾(𝛼))
2 sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼)
= 𝐸𝑒
sin(𝛼 + 𝛾(𝛼))
√
√
𝜀1 sin (𝛼) = 𝜀2 sin 𝛾
𝐸𝑟 = 𝐸𝑒
und die 𝑝-Polarisation
tan[𝛼 − 𝛾(𝛼)]
tan[𝛼 + 𝛾(𝛼)]
2 sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼)
𝐸𝑡 = 𝐸𝑒
sin[𝛼 + 𝛾(𝛼)] cos[𝛼 − 𝛾(𝛼)]
𝐸𝑟 = 𝐸𝑒
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EM 2009, Aufgabenblatt Nr. 13
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die reektierte Intensität für 𝑠- und 𝑝-Polarisation bei gegebener fester einfallender Intensität 𝐼0 und variablem Einfallswinkel 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋2 . Dabei soll 𝜀2 > 𝜀1 sein.
3. Berechnen Sie für die folgenden Materialien den Reexionskoezienten 𝐼𝑅 /𝐼0 bei senkrechtem Einfall auf die Grenzäche Luft/Material und auf die Grenzäche Material/Luft.
Material
𝜀
𝜇
GaAs
10.89 1
InSb
15.7 1
Diamant 5.7 1
4. Ein Polarisator (Durchlassrichtung 𝒅) schwächt eine auf ihn fallende Welle (mit einer
Intensität 𝐼0 und einer Polarisationsrichtung 𝒑) ab gemäss
(
𝐼 = 𝐼0 𝐾
𝒅⋅𝒑
𝑑𝑝
)2
mit 𝐾 ≤ 1 = allgemeiner Schwächungskoezient.
Um die Polarisationsrichtung einer Welle um 𝜋4 zu drehen, werden nun 𝑁 solcher Po𝜋
gegenüber den vorderen verdreht bzw.
larisatoren hintereinandergestellt, jeder um 4𝑁
gegenüber der Einfallsrichtung 𝒑. Wie gross ist die ankommende Intensität? Bei welchem
𝑁 ist diese Intensität maximal (für 𝐾 = 0, 9; 0, 95; 0, 99; 0, 999)?
5. Ein Sender werde mit einer Intensität von 50 pW m−2 empfangen. Wie gross sind die
Eektivwerte der elektrischen und magnetischen Feldstärke?
6. Eine elektromagnetische Welle mit einer Wellenlänge 𝜆 = 512 µm trit senkrecht auf eine
planparallele Platte aus Diamant mit der Dicke 𝐷. Berechnen Sie für Dicken 0 ≤ 𝐷 ≤
1 mm die Intensität des transmittierten und reektierten Lichtes.
7. Die Leuchtkraft der Sonne beträgt 3.82 ⋅ 1020 MW. Nehmen Sie an, Sie können die Sonnenstrahlung durch harmonische Schwingungen beschreiben.
a) Wie gross ist dann der Poyntingvektor in Erdentfernung (mittlerer Bahnradius der
Erde 150 ⋅ 106 km)?
b) Wie gross ist der mittlere Betrag des elektrischen und magnetischen Feldes hier?
c) Wie gross ist die Sonneneinstrahlung (pro m2 und s) in Ulm (48.4∘ nördliche Breite,
10∘ östliche Länge) am Frühjahrsanfang Frühjahrsanfang um 12:20 Uhr MEZ?
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15. 07. 2009
8. (Im Seminar 12 Minuten)
Welchen Winkel muss die Sonne mit dem Horizont bilden, damit das von der Oberäche
eines (ruhigen) Sees reektierte Licht vollständig polarisiert ist? Die relative Dielektrizitätszahl des Wassers ist 𝜀 = 169 = 𝑛2 .
𝑠-Polarisation
𝐸𝑟 = −𝐸𝑒
sin(𝛼 − 𝛾(𝛼))
sin(𝛼 + 𝛾(𝛼))
𝑝-Polarisation
𝐸𝑟 = 𝐸𝑒
√
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tan[𝛼 − 𝛾(𝛼)]
tan[𝛼 + 𝛾(𝛼)]
𝜀1 sin(𝛼) =
√
𝜀2 sin(𝛾)
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2 Lösungen
1. Laut Skript (Gleichung 6.49) ist das elektrische Feld im Abstand 𝑟 von einer mit 𝜔
harmonisch schwingender Ladung 𝑄 (Amplitude 𝑧0 ) zur Zeit 𝑡 und dem Winkel Θ zwischen
Richtung der Schwingung und Ausbreitungsrichtung, also dem Ortsvektor 𝒓,
𝐸 (𝑟, Θ, 𝑡) =
[ (
𝑄𝑧0 𝜔 2 1
𝑟 )]
sin
𝜔
𝑡
−
sin Θ
4𝜋𝜀0 𝑐2 𝑟
𝑐
Der Winkel Θ ergibt sich (mit 𝑑 = Abstand des Strahlers von der Mittelebene) zu
Θ=
𝜋
𝑑
+ arcsin
2
𝑟
Eine schwingende Ladung 𝑄 würde im Abstand 𝑎 von der Verbindungsgeraden der Ladungen (d.h. 𝑟2 = 𝑎2 + 𝑑2 ) ein Feld mit der Amplitude
𝑄 ⋅ 𝑧𝑜 𝜔 2
1
√
𝐸0 =
sin
4𝜋𝜀0 𝑐2 𝑎2 + 𝑑2
(
𝑑
𝜋
+ arctan
2
𝑎
)
≈ 0.4 V m−1
verursachen (Zahlenwert gilt für 𝑎 = 1𝑚). Da die zweite Ladung entgegengesetzt zur
ersten schwingt, also um 𝜋 phasenversetzt, heben sich in grosser Entfernung die Felder,
herrührend von den Schwingungen beider Ladungen, auf. Im Nahbereich allerdings bleibt
ein Anteil bestehen, da die Ausbreitungsrichtungen der beiden Wellen verschieden ist.
Der Restanteil wäre
𝑑
𝐸𝑟𝑒𝑠𝑡 = 2𝐸0 = 0.008 V m−1
𝑎
Ob allerdings die Voraussetzungen beim Berechnen von Gleichung (6,49) hier im Nahbereich noch erfüllt sind, muss extra geprüft werden.
2. Wir benötigen
(√
sin (𝛾(𝛼)) =
und
√
cos (𝛾(𝛼)) =
1−
)
𝜀1
sin(𝛼)
𝜀2
(√
)2
𝜀1
sin(𝛼)
𝜀2
Für den Intensität können wir die skalare Variante des Pointing-Vektors verwenden
1
1
1
𝐼 = 𝑆 = 𝐸𝐻 =
𝐸2
2
2
2𝜇0 𝑐
Weiter ist
sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼) − sin (𝛼) cos (𝛾(𝛼))
sin (𝛾(𝛼)) cos (𝛼) + sin (𝛼) cos (𝛾(𝛼))
√
(√
)
)2
(√
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼)
cos
(𝛼)
−
sin
(𝛼)
1
−
sin(𝛼)
𝜀2
𝜀2
√
= 𝐸𝑒 (√
)
(√
)2
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼)
cos
(𝛼)
+
sin
(𝛼)
1
−
sin(𝛼)
𝜀2
𝜀2
𝐸𝑟,𝑠 = 𝐸𝑒
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Für die Intensität erhält man
𝐼𝑟,𝑠 =
1
𝐸2
2𝜇0 𝑐 𝑟
⎛
√
(√
) 2 ⎞2
𝜀1
sin(𝛼) cos (𝛼) − sin (𝛼) 1 −
sin(𝛼) ⎟
𝜀2
1 ⎜
⎜𝐸𝑒
⎟
√
=
)
(√
)2 ⎠
2𝜇0 𝑐 ⎝ (√ 𝜀1
𝜀1
sin(𝛼) cos (𝛼) + sin (𝛼) 1 −
sin(𝛼)
𝜀2
𝜀2
√
⎛ (√
)
)2 ⎞2
(√
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼) cos (𝛼) − sin (𝛼) 1 −
sin(𝛼) ⎟
𝜀2
𝜀2
⎜
1
⎟
√
𝐸𝑒2 ⎜
=
)
(√
)2 ⎠
2𝜇0 𝑐 ⎝ (√ 𝜀1
𝜀1
sin(𝛼) cos (𝛼) + sin (𝛼) 1 −
sin(𝛼)
𝜀2
𝜀2
√
⎛ (√
)
) 2 ⎞2
(√
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼) cos (𝛼) − sin (𝛼) 1 −
sin(𝛼) ⎟
𝜀2
𝜀2
⎜
⎟
√
= 𝐼𝑒2 ⎜
(√
)
)2 ⎠
⎝ (√
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼) cos (𝛼) + sin (𝛼) 1 −
sin(𝛼)
𝜀2
𝜀2
(√
𝜀1
𝜀2
)
Bei der 𝑝-Polarisation erhält man
𝐸𝑟,𝑝 = 𝐸𝑒
sin (𝛼) cos (𝛼) − sin 𝛾 cos 𝛾
sin 𝛾 cos 𝛾 + sin (𝛼) cos (𝛼)
(√
𝐸𝑟,𝑝
𝐼𝑟,𝑝 =
𝜀1
𝜀2
)√
(√
)2
𝜀1
sin(𝛼)
1−
sin(𝛼)
𝜀2
sin (𝛼) cos (𝛼) −
= 𝐸𝑒 (√
(√
)√
)2
𝜀1
𝜀1
1−
sin(𝛼)
sin(𝛼) + sin (𝛼) cos (𝛼)
𝜀2
𝜀2
1
𝐸2
2𝜇0 𝑐 𝑟,𝑝
⎛
)√
(√
) 2 ⎞2
𝜀1
𝜀1
sin (𝛼) cos (𝛼) −
sin(𝛼)
1−
sin(𝛼) ⎟
𝜀2
𝜀2
1 ⎜
⎜𝐸𝑒
⎟
√
=
)
(√
)2
⎠
2𝜇0 𝑐 ⎝ (√ 𝜀1
𝜀1
+
sin
(𝛼)
cos
(𝛼)
sin(𝛼)
1
−
sin(𝛼)
𝜀2
𝜀2
⎛
(√
)√
(√
) 2 ⎞2
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼)
1−
sin(𝛼) ⎟
𝜀2
𝜀2
⎜ sin (𝛼) cos (𝛼) −
1
⎟
√
=
𝐸𝑒2 ⎜
)
(√
)2
⎠
2𝜇0 𝑐 ⎝ (√ 𝜀1
𝜀1
sin(𝛼)
1
−
sin(𝛼)
+
sin
(𝛼)
cos
(𝛼)
𝜀2
𝜀2
⎛
(√
)√
(√
) 2 ⎞2
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼)
sin(𝛼) ⎟
1−
𝜀2
𝜀2
⎜ sin (𝛼) cos (𝛼) −
⎟
√
= 𝐼𝑒2 ⎜
)
(√
)2
⎝ (√
⎠
𝜀1
𝜀1
sin(𝛼)
1−
sin(𝛼) + sin (𝛼) cos (𝛼)
𝜀2
𝜀2
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(√
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Reflektierte Intensität (s−Polarisation)
1
1
0.6
Ir,p, ε 1 = 1.0
Ir,p, ε 1 = 1.5
Ir,p, ε 1 = 2.0
Ir,p, ε 1 = 3.0
0.8
I/I0
I/I0
Reflektierte Intensität (p−Polarisation)
Ir,s, ε 1 = 1.0
Ir,s, ε 1 = 1.5
Ir,s, ε 1 = 2.0
Ir,s, ε 1 = 3.0
0.8
6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4
α
α
Reflektierte Intensität (s−Polarisation)
Reflektierte Intensität (p−Polarisation)
3. Die Lösungen sind:
1
0.8
Ir,p, ε 1 = 10.89 (GaAs)
Ir,p, ε 1 = 15.7 (InSb)
Ir,p, ε 1 = 5.7 (Diamant)
0.8
0.6
I/I0
I/I0
1
Ir,s, ε 1 = 10.89 (GaAs)
Ir,s, ε 1 = 15.7 (InSb)
Ir,s, ε 1 = 5.7 (Diamant)
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
α
1
1.2 1.4
α
4. Bei einem Polarisator, dessen Durchlassrichtung gegenüber dem einfallenden polarisierten
Licht um Δ𝜑 gedreht ist, berechnet sich die durchkommende Intensität in Richtung des
Polarisators zu
𝐼 = 𝐼0 ⋅ 𝐾 ⋅ (cos (Δ𝜑))2
(mit 𝐾 = Abschwächungskoezient, unabhängig von der Polarisationsrichtung).
Sind 𝑁 solcher Polarisatoren hintereinander gestellt mit jeweils gleichem Δ𝜑 so ergibt
sich die Intensität des polarisierten Lichtes nach dem letzten zu
𝐼 = 𝐼0 𝐾 𝑁 ⋅ (cos Δ𝜑)2𝑁
𝜋
für 𝑁 Polarisatoren zur Drehung der Richtung des polarisierten Lichtes
Hier ist Δ𝜑 = 4𝑁
𝜋
um 4 . Wenn im Polarisator keine Dämpfung auftritt, also 𝐾 = 1 gilt, kann die ganze
Intenstität des einfallenden Lichtes in die gewünschte Richtung gebracht werden, wenn
die Zahl der Polarisatoren gegen ∞ geht. Bei Dämpfung im Polarisator (𝐾 < 1) gibt es
eine optimale Anzahl 𝑁 zum Erreichen der grössten Intensität.
𝜋
Diese ergibt sich aus 𝐼 = 𝐼0 𝐾 𝑁 ⋅ cos 4𝑁
Zum Bestimmen des Maximums dieser Funktion ist es einfacher, diese vorher zu logarithmieren (Maximum wird dabei erhalten):
(
)2𝑁
( ( 𝜋 ))
ln (𝐼) = ln (𝐼0 ) + 𝑁 ⋅ ln (𝐾) + 2𝑁 ⋅ ln cos
4𝑁
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15. 07. 2009
Die Ableitung nach 𝑁 des Logarithmus der Funktion ist:
[
( ( 𝜋 ))]
𝑑 ln (𝐼0 ) + 𝑁 ⋅ ln (𝐾) + 2𝑁 ⋅ ln cos 4𝑁
𝑑𝑁
(𝜋 ) (
( ( 𝜋 ))
− sin 4𝑁
𝜋 )
(𝜋 ) ⋅ − 2
= ln (𝐾) + 2 ln cos
+ 2𝑁
4𝑁
4𝑁
cos 4𝑁
)
(
𝜋
( ( 𝜋 ))
𝜋 sin 4𝑁
(𝜋 )
= ln (𝐾) + 2 ln cos
+
4𝑁
2𝑁 cos 4𝑁
Die Lösung wird am einfachsten graphisch gesucht.
d ln(I)/dN
Ladungsverteilung
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
K=0.9
K=0.95
K=0.99
K=0.999
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
N
Bei der Darstellung sieht man nichts. Es ist besser die 𝑁 -Achse zu logarithmieren.
Ladungsverteilung
d ln(I)/dN
0.004
𝐾
0.9
0.95
0.99
0.999
0.002
0
K=0.9
K=0.95
K=0.99
K=0.999
−0.002
−0.004
1
10
N
𝑁
3
5
7
24
100
5. Aus
𝑺 (𝒓 , 𝑡) = 𝑬 (𝒓 , 𝑡) × 𝑯 (𝒓 , 𝑡)
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Gegeben ist hier 𝑆𝑒𝑓 𝑓 =
. Dann ist 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝐻𝑚𝑎𝑥 und 𝑆𝑒𝑓 𝑓 =
1
Also ist mit 𝐸𝑒𝑓 𝑓 = √2 𝐸𝑚𝑎𝑥 und 𝐻𝑒𝑓 𝑓 = √12 𝐻𝑚𝑎𝑥 .
1
𝑆
2 𝑚𝑎𝑥
folgt im Vakuum (oder in der Luft) mit 𝜇0 ⋅ 𝐻 = 𝐵 =
𝐸
𝑐
oder 𝐻 =
𝑆𝑒𝑓 𝑓 = 𝐸𝑒𝑓 𝑓 ⋅ 𝐻𝑒𝑓 𝑓
𝑆𝑒𝑓 𝑓 = 𝐸𝑒𝑓 𝑓 ⋅ 𝐻𝑒𝑓 𝑓
√
𝐸𝑒𝑓 𝑓 = 𝑆𝑒𝑓 𝑓 ⋅ 𝜇0 ⋅ 𝑐
√
𝑆𝑒𝑓 𝑓
𝐻𝑒𝑓 𝑓 =
𝜇0 ⋅ 𝑐
√1 𝐸𝑚𝑎𝑥
2
)(
√1 𝐻𝑚𝑎𝑥
2
und 𝐸 = 𝜇0 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝐻
2
𝐸𝑒𝑓
𝑓
𝜇0 𝑐
=𝜇0 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝐻 2
=
√
𝐸𝑒𝑓 𝑓 =
=137.29 µV m−1
𝐻𝑒𝑓 𝑓
=364.18 nA m−1
50 ⋅ 10−12 W m−2 ⋅ 4𝜋 ⋅ 10−7 N A−2 ⋅ 3 ⋅ 108 m s−1
√
50 ⋅ 10−12 W m−2
=
4𝜋 ⋅ 10−7 N A−2 ⋅ 3 ⋅ 108 m s−1
6. Das Licht läuft wie folgt durch denn Diamanten
Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht)
8
𝐸
𝜇0 ⋅ 𝑐
(
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)
.
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Wir verwenden die Gleichung
𝑛1 − 𝑛2
𝑛1 + 𝑛2
2𝑛1
= 𝐸𝑒
𝑛1 + 𝑛2
𝑛2 − 𝑛1
= 𝐸𝑡,1
𝑛1 + 𝑛2
2𝑛2
= 𝐸𝑡,1
𝑛1 + 𝑛2
𝐸𝑟,1 = 𝐸𝑒
Reexion an der ersten Grenze
𝐸𝑡,1
Transmission an der ersten Grenze
𝐸𝑟,2
𝐸𝑡,2
Reexion an der zweiten Grenze
Transmission an der zweiten Grenze
und
𝐸𝑟,1
𝐸𝑒
𝐸𝑡,1
𝐸𝑒
𝐸𝑟,2
𝐸𝑡,1
𝐸𝑡,2
𝐸𝑡,1
𝑡 ⋅ 𝑡′
=𝑟
=𝑡
= 𝑟′
= 𝑡′
𝑛1 − 𝑛2
𝑛1 + 𝑛2
2𝑛1
=
𝑛1 + 𝑛2
𝑛2 − 𝑛1
=
𝑛1 + 𝑛2
2𝑛2
=
𝑛1 + 𝑛2
Reexion an der ersten Grenze
=
Transmission an der ersten Grenze
=−𝑟
Reexion an der zweiten Grenze
Transmission an der zweiten Grenze
= 1 − 𝑟2
√
Die Diamantplatte mit dem Brechungsindex 𝜀𝐷 hat planparallelen Oberächen. Im
Aussenraum sei auf beiden Seiten 𝜀 = 1. Die Abbildung zeigt die reektierten und gebrochenen Strahlen. Die reektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt 𝑃 ,
die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt 𝑃 ′ . Wenn der Diamant die Dicke
𝐷 hat und der Winkel der Strahlen zur Normalen im Inneren des Etalons 𝛽 = 0 ist, dann
ist der Gangunterschied zweier benachbarter Strahlen
√
Λ = 2 𝜀𝐷 𝐷
Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle 𝐸˜0 (𝑡) = 𝐸0 𝑒𝑖𝜔𝑡 angeregten reektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei
Teilwellen die Phasenverschiebung 𝛿 = 𝑘0 Λ = 2𝜋
Λ sind
𝜆
𝐸˜1𝑟 (𝑡)
𝐸˜2𝑟 (𝑡)
𝐸˜3𝑟 (𝑡)
𝐸˜4𝑟 (𝑡)
=
=
=
=
..
.
𝐸0
𝐸0
𝐸0
𝐸0
𝑟𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑡′ 𝑟′ 𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛿)
𝑡′ 𝑟′3 𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−2𝛿)
𝑡′ 𝑟′5 𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−3𝛿)
𝐸˜𝑁 𝑟 (𝑡) = 𝐸0 𝑡′ 𝑟′(2𝑁 −3) 𝑒𝑖(𝜔𝑡−(𝑁 −1)𝛿)
..
.
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Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen
𝐸˜𝑟 = 𝐸˜1𝑟 + 𝐸˜2𝑟 + 𝐸˜3𝑟 + 𝐸˜4𝑟 + . . .
Eingesetzt ergibt sich
𝐸˜𝑟 = 𝐸0 𝑟𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝐸0 𝑡′ 𝑟′ 𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝛿) + 𝐸0 𝑡′ 𝑟′3 𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−2𝛿) + 𝐸0 𝑡′ 𝑟′5 𝑡𝑒𝑖(𝜔𝑡−3𝛿) + . . .
Zusammengefasst ergibt sich
]}
{
[
𝐸˜𝑟 = 𝐸0 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑟 + 𝑡′ 𝑟′ 𝑡𝑒−𝑖𝛿 1 + 𝑟′2 𝑡𝑒−𝑖𝛿 + 𝑟′4 𝑒−𝑖2𝛿 + +𝑟′6 𝑒−𝑖3𝛿 + . . .
{
[
]}
)1 (
)2 (
)3
(
= 𝐸0 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑟 + 𝑡′ 𝑟′ 𝑡𝑒−𝑖𝛿 1 + 𝑟′2 𝑡𝑒−𝑖𝛿 + 𝑟′2 𝑡𝑒−𝑖𝛿 + 𝑟′2 𝑡𝑒−𝑖𝛿 + . . .
Für 𝑟′2 𝑒−𝑖𝛿 < 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten
]
[
𝑡′ 𝑟′ 𝑡𝑒−𝑖𝛿
𝑖𝜔𝑡
˜
𝐸𝑟 = 𝐸0 𝑒
𝑟+
1 − 𝑟′2 𝑒−𝑖𝛿
Mit den Stokeschen Relationen 𝑟′ = −𝑟 und 𝑡′ 𝑡 = 1 − 𝑟2 bekommt man
𝐸˜𝑟 = 𝐸0 𝑒
𝑖𝜔𝑡
[
[
]
]
−𝑖𝛿
𝑟(1 − 𝑟2 )𝑒−𝑖𝛿
)
𝑖𝜔𝑡 𝑟(1 − 𝑒
𝑟−
= 𝐸0 𝑒
1 − 𝑟2 𝑒−𝑖𝛿
1 − 𝑟2 𝑒−𝑖𝛿
Die reektierte optische Intensität ist
𝐼𝑟 == 𝐼𝑒
2𝑟2 (1 − cos 𝛿)
(1 + 𝑟4 ) − 2𝑟2 cos 𝛿
Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität
(1 − 𝑟2 )2
𝐼𝑡 = 𝐼𝑒
(1 + 𝑟4 ) − 2𝑟2 cos 𝛿
da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt.
√
√
Λ = 2𝜋
2 𝜀𝐷 𝐷 = 4𝜋 𝜀𝐷 𝐷𝜆
Wenn wir den Wert 𝜀𝐷 = 5.7 einsetzen erhält man mit 𝛿 = 2𝜋
𝜆
𝜆
√
√
1 − 5.7
1.387467277
√
= −0.4095883926
𝑟=√
=−
3.387467277
1 + 5.7
( √
)
2𝑟2 (1 − cos 4𝜋 𝜀𝐷 𝐷𝜆 )
0.3355253028 (1 − cos (18652.08810 𝜋 𝐷))
( √ 𝐷) =
𝐼𝑟 == 𝐼𝑒
4
2
1.028144307 − 0.3355253028 cos (18652.08810 𝜋 𝐷)
(1 + 𝑟 ) − 2𝑟 cos 4𝜋 𝜀𝐷 𝜆
𝐼𝑡 = 𝐼𝑒
(1 − 𝑟2 )2
0.6926190042
( √ 𝐷) =
1.028144307 − 0.3355253028 cos (18652.08810 𝜋 𝐷)
(1 + 𝑟4 ) − 2𝑟2 cos 4𝜋 𝜀𝐷 𝜆
Diamantplatte
0.8
Ir/I0
1
Ir
It
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.0002
0.0004
0.0006
D
10
c 2009
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0.0008
0
0.001
It/I0
1
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7.
15. 07. 2009
a) Der Poyntingvektor der Sonnenstrahlung in Erdentfernung 𝑅 zur Sonne ist - mit
𝑃𝑆 = 3.82 ⋅ 1020 MW Strahlungsleistung der Sonne 𝑆𝑅 =
𝑃𝑆
= 1.35 kW m−2
2
4𝜋𝑅
b) Daraus ergeben sich die mittleren (eektiven) Feldstärken zu
𝐸=
√
𝜇0 ⋅ 𝑐 ⋅ 𝑆 = 714 V m−1
bzw.
𝑆
𝐻=
=
𝐸
√
𝑆
= 1.9 A m−1
𝜇0 𝑐
c) Am Frühjahrsanfang (und Herbstanfang) ist die Schrägstellung der Erdachse nicht
zu berücksichtigen. Zum lokalen Mittag, der bei Frühjahrsanfang in Ulm 12 : 20
Uhr MEZ ist (MEZ =15
ˆ ∘ östliche Länge, 5∘ Dierenz =20
ˆ
min), ist dann, unter
∘
Beachtung der geographischen Breite 𝜑 = 48.4 , die einfallende Sonneneinstrahlung
𝑆𝑈 𝑙𝑚 = 𝑆𝑅 ⋅ cos 𝜑 = 896 W m−2
8. Das Sonnenlicht ist auf der Erde in guter Näherung eine ebene Welle. Wenn das reektierte
Licht vollständig polarisiert sein soll, erfolgt die Einstrahlung unter dem Brewsterwinkel,
bei dem das reektierte und gebrochene Licht einen Winkel von 𝜋2 einschliessen. Für
Wasser und Luft ist der Brechungsindex 𝑛 = 4/3 und damit der Brewsterwinkel 𝜑𝐵 =
arctan 𝑛 = 53, 1∘ . Damit ist der Winkel gegenüber dem Horizont
𝜑𝑝 =
c 2009
⃝
𝜋
− 𝜑𝐵 = 36, 9∘
2
Ulm University, Othmar Marti
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