45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe
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45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 7 Aufgaben c 2005 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen. 450721 a) Martin hat fünf Kugeln: eine blaue, zwei rote und zwei weiße. Er will die Kugeln so auf zwei Schalen verteilen, dass in einer Schale zwei und in der anderen drei Kugeln liegen. In beiden Schalen sollen dabei mindestens zwei Kugeln unterschiedliche Farbe haben. Schreibe alle Möglichkeiten für eine derartige Verteilung auf! b) Martina hat neun Kugeln: drei blaue, drei rote und drei weiße. Sie verteilt ihre Kugeln auf drei Schalen. In die erste legt sie zwei Kugeln, in die mittlere drei und in die letzte vier. In jeder Schale sollen aber mindestens zwei Kugeln verschiedenfarbig sein. Wie viele unterschiedliche Verteilungen sind jetzt möglich? Hinweis: Beachte, in dieser Aufgabe sind Kugeln gleicher Farbe nicht unterscheidbar! 450722 Die Teilnehmer einer Arbeitsgemeinschaft Mathematik veranstalten ein Wettrechnen. Sie wollen ohne Verwendung von Taschenrechnern Summenwerte ermitteln. Es werden folgende Aufgaben gestellt: a) Berechne die Summe der geraden Zahlen von 2 bis 100 ! b) Berechne die Summe der ungeraden Zahlen von 5 bis 2005 ! c) Berechne die Summe mit dem ersten Summanden 533 und dem letzten Summanden 866, wobei die Differenz zweier aufeinander folgender Summanden stets 3 beträgt! 450723 Ein Quadrat mit den Eckpunkten A, B, C und D hat die Seitenlänge 54 mm. Die Mittelpunkte der Seiten BC und CD heißen H bzw. K. a) Begründe, warum die Dreiecke ABH, AHC, ACK und AKD den gleichen Flächeninhalt F haben! b) Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck HKA? Auf der nächsten Seite geht es weiter! 1 450724 Mit einer zweistelligen Zahl werden nacheinander die folgenden drei (Rechen-) Operationen ausgeführt: (1) An das Ende der Ausgangszahl wird ihre Quersumme gehängt, wenn dadurch eine dreistellige Zahl entsteht. (2) Von der so entstandenen Zahl wird die Ausgangszahl subtrahiert. (3) Zu der nun entstandenen Zahl wird das Neunfache der Zehnerziffer der Ausgangszahl addiert. a) Ermittle alle zweistelligen Zahlen, für welche die drei Operationen nacheinander ausführbar sind! Wie viele Zahlen sind das? b) Zeige: Die am Ende erhaltene Zahl ist stets das Zehnfache der Ausgangszahl! 2 45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 7 Lösungen c 2005 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 450721 Lösung 10 Punkte Teil a) Wir bezeichnen die Kugeln entsprechend ihren Farben mit b, r und w. Martin hat genau drei Möglichkeiten, in die erste Schale zwei Kugeln verschiedener Farbe zu legen: (b, r), (b, w), (r, w). Man macht sich anhand des nebenstehenden Schemas schnell klar, dass sich unter den restlichen drei Kugeln in der zweiten Schale stets mindestens zwei verschieden gefärbte Kugeln befinden müssen. Teil b) Legt Martina in die erste Schale z. B. eine blaue und eine rote Kugel, dann gibt es unter den gegebenen Bedingungen für die Verteilung der restlichen Kugeln auf die beiden verbleibenden Schalen genau 7 verschiedene Möglichkeiten, wie in nebenstehender Tabelle aufgeführt. (Um sicher zu sein, dass in der mittleren Schale tatsächlich alle Möglichkeiten erfasst sind, kann man die jeweilige Verteilung der Kugeln z. B. in lexikografischer Reihenfolge aufschreiben.) Nun könnte Martina aber in die erste Schale auch eine blaue und eine weiße oder eine rote und eine weiße Kugel legen. 1. Schale 2. Schale b, r b, w r, w r, w, w r, r, w b, r, w 1. Schale 2. Schale 3. Schale b, r b, r b, r b, r b, r b, r b, r b, b, r b, b, w b, r, r b, r, w b, w, w r, r, w r, w, w r, w, w, w r, r, w, w b, w, w, w b, r, w, w b, r, r, w b, b, w, w b, b, r, w Wegen 3 · 7 = 21 gibt es daher insgesamt 21 verschiedene Möglichkeiten für die Verteilung auf die drei Schalen gemäß der Vorschrift. 450722 Lösung 10 Punkte Wir wenden das von dem Erstklässler Gauß entdeckte und in Aufgabe 450714 beschriebene Verfahren zum Berechnen von Summen an. Teil a) S = 2 + 4 + · · · + 98 + 100 + S = 100 + 98 + · · · + 4 + 2 2S = 102 + 102 + · · · + 102 + 102, (50 Summanden) also 2S = 50 · 102, S = 50 · 102 : 2 = 2550. 3 Teil b) S= 5+ 7 + · · · + 2003 + 2005 + S = 2005 + 2003 + · · · + 7+ 5 2S = 2010 + 2010 + · · · + 2010 + 2010, (1001 Summanden) also 2S = 1001 · 2010, S = 1001 · 2010 : 2 = 1 006 005. Teil c) S = 533 + 536 + 539 + · · · + (533 + 3k) + · · · + 863 + 866. Wegen 866 = 533 + 3 · 111 besitzt die Summe 112 Summanden. Wegen 533 + 866 = 1399 gilt daher S = 112 · 1399 : 2 = 78 344. Hinweis zur Bewertung: Falls ein Schüler die Terme nicht ausrechnet, sollte ihm dafür kein Punkt abgezogen werden, denn es geht primär um die Ermittlung der Struktur und um die Aufstellung des Terms. 450723 Lösung 10 Punkte Teil a) Die Quadratseite AB ist gemeinsame Höhe der Dreiecke ABH und AHC (siehe Abbildung L 450723). Nach Voraussetzung haben die Strecken BH und HC die gleiche Länge. Die beiden Dreiecke haben somit gleich lange Grundseiten und gleich lange Höhen und sind folglich flächengleich. D K H Ebenso lässt sich die Flächengleichheit der Dreiecke ACK und AKD zeigen. Jedes der vier Dreiecke ABH, AHC, ACK und AKD hat demnach eine Quadratseite als Höhe und eine halbe Quadratseite als Grundseite. Nach der Flächenformel für Dreiecke haben alle Dreiecke den gleichen Flächeninhalt F . C A B Abbildung L 450723 Teil b) Das Dreieck KHC ist nach Voraussetzung gleichschenklig-rechtwinklig und es gilt |CH| = |CK| = 27 mm. Folglich erhält man für den Flächeninhalt des Dreiecks KHC: F (KHC) = 1 · 27 · 27 mm2 = 364,5 mm2 . 2 Nach Teil a) ist 1 · 54 mm · 27 mm = 729 mm2 . 2 Da ABCD ein Quadrat mit Seitenlänge 54 mm ist, gilt F (ABH) = F (ADK) = F (ABCD) = 2916 mm2 . 4 Nach Voraussetzung ist F (AHK) = F (ABCD) − F (ABH) − F (ADK) − F (KHC) = 2916 mm2 − 729 mm2 − 729 mm2 − 364,5 mm2 = 1093,5 mm2 . Das Dreieck AHK hat einen Flächeninhalt von 1093,5 mm2 . Lösungsvariante: Der Flächeninhalt des Dreiecks AHK lässt sich wie folgt ermitteln: Die Dreiecke ADK und ABH ergeben zusammen die Hälfte des Quadrats ABCD. Das Dreieck KHC entspricht einem Achtel des Quadrats ABCD. Demzufolge gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks AHK 3 3 F (AHK) = · F (ABCD) = · 2916 mm2 = 1093,5 mm2 . 8 8 450724 Lösung 10 Punkte Teil a) Da in (1) gefordert wird, dass aus der zweistelligen Zahl durch Anhängen ihrer Quersumme eine dreistellige Zahl entstehen soll, muss die Quersumme mindestens 1 und darf höchstens 9 sein. Folglich kommen genau die zweistelligen Zahlen 10, 11, . . . , 18; 20, . . . , 27; 30, . . . , 36; 40, . . . , 45; 50, . . . , 54; 60, . . . , 63; 70, . . . , 72; 80, 81; 90 in Frage. Das sind (9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =) 45 Zahlen. Teil b) Die zweistellige Zahl n = 10z + e habe als Einerziffer e und als Zehnerziffer z. Folglich ergibt sich für die dreistellige Zahl im Zehnersystem die Darstellung 100z + 10e + (z + e) = 101z + 11e. Zieht man davon die Ausgangszahl ab, erhält man die Zahl 101z + 11e − (10z + e) = 91z + 10e. Addiert man nun den neunfachen Wert der Zehnerziffer der zweistelligen Ausgangszahl, so ergibt sich schließlich 91z + 10e + 9z = 100z + 10e = 10(10z + e). Diese Zahl ist stets das Zehnfache der ursprünglichen Zahl. 5
