Primer: Wahrscheinlichkeitstheorie 1.0

Empirische
Methoden
Primer
Primer:
Wahrscheinlichkeitstheorie 1.0
Dr. Malte Persike
persike@uni-mainz.de
methodenlehre.com
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methodenlehre.com/g+
iversity.org/schoolinger
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Inhalte
der nächsten Minuten
Intro
 Von der Pike an: einige Grundbegriffe, die sein müssen
Merkmale
& Variablen
 Wahrscheinlich ist möglich, sagt Laplace
Zufallsexperiment
 Herumgedrückt: Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogorov
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Wie ermittelt man Wahrscheinlichkeiten: das Gesetz der großen Zahl
 Bedingte Wahrscheinlichkeiten: Wie wahrscheinlich sind zwei violette Streifen
bei Schwangerschaft – und wie wahrscheinlich ist Schwangerschaft bei zwei
violetten Streifen?
 Neues Denken: der Satz von Bayes
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Statistik
Warum das Alles?
Intro
Merkmale
& Variablen
 Was ist eigentlich Statistik?
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Und wozu brauchen wir sie überhaupt?
Empirische
Methoden
Variablen
Jetzt & Gleich
Intro
Skalen
Merkmale
& Variablen
Nominalskala
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Notation
Primer
Variablen & Skalen
Nominaldaten
Deskriptive Statistik
Warum das Alles?
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Statistik
Warum das Alles?
Intro
Merkmale
& Variablen
 Statistik sind Verfahren zur
Beschreibung/Erklärung von Zahlen
vielen Daten
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
durch andere Zahlen
wenige Werte („Kennwerte“)
 Die Statistik dient also der Reduktion einer Datenmenge auf einen
überschaubaren Satz an zahlenmäßigen Charakterisierungen
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Statistik
Warum das Alles?
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Statistik ist ein Grundpfeiler der empirischen Forschung und Wissenschaft
 Empirie = Erfahrungswissen
 Empirische Forschung = auf systematischer Beobachtung
und Messung beruhende Forschung
Empirische
Methoden
Primer
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Statistik
Warum das Alles?
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Statistik ist ein Grundpfeiler der empirischen Forschung und Wissenschaft
 Empirie = Erfahrungswissen
 Empirische Forschung = auf systematischer Beobachtung
und Messung beruhende Forschung
 Empirische Forschung produziert immer Daten, zumeist sehr
viele davon, in numerischer Form („Zahlen“)
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Merkmale & ihre Träger
Grundbegriffe empirischer Forschung
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Merkmal: Isolierte Eigenschaft eines größeren Ganzen, z.B. Intelligenz, Farbe,
Alter, Geschlecht
 Ausprägung: Zustand des Merkmals, z.B. IQ = 115, Farbe = , Alter = jung,
Geschlecht = ♀
 Ein Merkmal hat mindestens zwei Ausprägungen, die beliebig beschrieben
sein können, z.B. verbal (jung/alt), numerisch (0/1), bildlich (
/
)
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Merkmale & ihre Träger
Grundbegriffe empirischer Forschung
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten

Merkmalsträger (statistische Einheiten, Beobachtungseinheiten) sind alle
Objekte, bei denen man die Ausprägung von Merkmalen feststellen kann

In den Humanwissenschaften sind Merkmalsträger zumeist Menschen, aber
auch Tiere oder Aggregate wie z.B. Abteilungen in Firmen

Beobachtungen: Feststellung der Ausprägung von Merkmalen bei
Merkmalsträgern
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Merkmale & ihre Träger
Grundbegriffe empirischer Forschung
Intro
Merkmale
& Variablen
 Beobachtungen im engeren Sinn sind z.B. echte Verhaltensbeobachtung oder
bildgebende Verfahren
Zufallsexperiment
 Zu den Beobachtungen im weiteren Sinn zählen z.B. Ergebnisse in einem
Leistungstest oder Selbst- und Fremdauskünfte in Fragebögen
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Daten sind die Gesamtheit der Beobachtungen
 Statistik sind Methoden zur Sammlung und Analyse von Daten
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Merkmale & ihre Träger
Grundbegriffe empirischer Forschung
Intro
Merkmale
& Variablen

(z.B. Geschlecht, Parteizughörigkeit, Kinderzahl)
 Dichtome Merkmale haben genau 2 Ausprägungen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Ein diskretes Merkmal besitzt zumeist endlich viele und feste Ausprägungen
 Polytome Merkmale haben mehr als 2 Ausprägungen

Ein stetiges (kontinuierliches) Merkmal kann (unendlich viele) beliebige
Ausprägungen annehmen
(z. B. Temperatur, Größe, Gewicht)
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Vom Merkmal zur Variablen
Statistik braucht Zahlen
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Die Ausprägungen eines Merkmals können
beliebiger Art sein (z.B. Worte, Formen, Farben)
 Problem: Die Statistik als mathematische
Disziplin arbeitet nur mit Zahlen
 Deshalb werden Variablen definiert, indem den
Ausprägungen feste Zahlen zugeordnet
werden.
 Diese Zahlen heißen Realisationen oder Werte.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Vom Merkmal zur Variablen
Statistik braucht Zahlen
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Merkmal
Variable
Punkte auf Fläche
Zahlen
„2“
„5“
 Merke: Eine Variable ist die Festlegung einer Regel, wie den Ausprägungen
eines Merkmals Werte zuzuweisen sind.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Variablen
Notation
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Variablen werden mit Großbuchstaben
symbolisiert, häufig verwendet man X und Y
 Die Realisationen einer Variablen werden dann
mit den entsprechenden Kleinbuchstaben
gekennzeichnet, also x und y
 Die Menge aller möglichen Realisationen ist
der Wertebereich einer Variablen
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Variablen
Definition
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Variablen werden immer über eine mathematische Formulierung definiert
Merkmal
Variable
1, wenn
 x1: 0,
 x : 1,
 2 2, wenn
X 


 x 6 : 5,
6, wenn
 Die extensionale Definition zählt alle Realisationen der Variablen auf.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Variablen
Definition
Intro
Merkmale
& Variablen
 Variablen werden immer über eine mathematische Formulierung definiert
Merkmal
Variable
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Y  0  
 Die intensionale Definition gibt die Regel der Bildung der Variablen an.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Variablen
Beobachtung und Messung
Intro
Merkmale
& Variablen
 Die empirische Feststellung der Realisation einer Variablen wird als Messung
bezeichnet
Zufallsexperiment
 Erinnerung: Dabei ist zu unterscheiden zwischen der Beobachtung der
Ausprägung des Merkmals und der Messung der Realisation der Variablen
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Die beobachtete Ausprägung des Merkmals heißt Ergebnis, die gemessene
Zahl der Variable heißt Messwert
„0.28“
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Variablen
Unterscheidung nach Art der Daten
Intro
Merkmale
& Variablen

 Dichtome Variablen haben genau 2 Werte
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Eine diskrete Variable besitzt zumeist endlich viele und
feste Werte, die man über Ganzzahlen beschreiben kann
 Polytome Variablen haben mehr als 2 Werte

Eine stetige (kontinuierliche) Variable kann (unendlich
viele) beliebige Werte annehmen, die man über reelle
Zahlen beschreibt
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Variablen
Unterscheidung nach Art der Daten
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Achtung: Es sind streng Typen von Merkmalen und Typen von
Variablen zu unterscheiden.
 Alter ist ein stetiges Merkmal. „Alter“ kann nun aber als Variable diskret
definiert werden als
 x1: -1, wenn <18

Alter X   x2 : 0, wenn <67
 x :  1, wenn  67
 3
 Gleiches gilt z.B. für Intelligenz, Schulleistung, Sehvermögen, Fahreignung
Empirische
Methoden
Primer
Bortz, S. 49
Jetzt & Gleich
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Eine Variable wird zur Zufallsvariablen, wenn ihre Realisation in einem
Zufallsexperiment festgestellt wird.
 (Zufalls-)Experiment = Satz von Regeln, unter denen eine Beobachtung
stattfindet (Bedingungskomplex Ξ, „Xi“), die „Spielregeln“
 Trial = Eine Durchführung des Experimentes
 Ergebnis = beobachtete Ausprägung am Ende des Trials
(in beliebiger Form, z.B. als Zahl, Bild, Symbol, Farbe etc.)
 Ereignis = Jede beliebige Menge von Ergebnissen ungeachtet ihrer Reihenfolge
 Achtung: Ergebnisse & Ereignisse sind nicht zwangsläufig Realisationen
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf
 Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger fairer Würfel ist 1x zu werfen. Er kann
nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die Augenzahl der oben
liegenden Seite.
 Trial: Der einmalige Wurf des Würfels
 Ergebnisse: Die möglichen Augenzahlen
(1, 2, 3, 4, 5, 6)
 Ereignisse: „1 oder 6“, „Augenzahl ≤ 3“, „ungerade Zahl“, „irgendeine
Zahl“
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Intro
Merkmale
& Variablen
Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf
 Zufallsexperiment (Ξ): Eine Münze ist zweimal zu werfen. Sie kann nicht auf
einer Kante liegen bleiben. Ergebnis sind die oben liegenden Seiten.
Zufallsexperiment
 Trial: Der einmalige gemeinsame Wurf beider Münzen
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Ergebnisse: Jede mögliche Kombination der zwei Münzen
(K+K, K+Z, Z+K, Z+Z)
 Ereignisse: „zweimal dieselbe Seite“, „mindestens einmal Zahl“
 Achtung: Die Durchführung von 2 Trials des Zufallsexperimentes „Eine Münze
wird einmal geworfen“ ist ein anderes Experiment.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Intro
Merkmale
& Variablen
Beispiel III: Zulassung zum Studium
 Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden per Los 44 verschiedene
Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist die Menge der 44 Personen.
Zufallsexperiment
 Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Ergebnisse: Jede Menge von 44 Personen
 Ereignisse: „die 44 Besten“, „mindestens 22 aus der besseren Hälfte“, „die
22 Besten und jede Auswahl von weiteren 22 Personen aus den besten 100“
 Achtung: Die Durchführung von 44 Trials des Zufallsexperimentes „Aus 782
Bewerbern wird 1 Person ausgewählt“ ist ein anderes Experiment.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Das Zufallsexperiment
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Das Zufallsexperiment ist in weiten Teilen ein sehr deterministisches Konzept:
 der Ablauf eines Trials ist a-priori vollständig bestimmt
 die möglichen Ergebnisse sind a-priori vollständig bestimmt
 nur das konkrete Ergebnis (die Beobachtung) ist a-priori unbestimmt
 Der Zufall liegt also allein in der Zufallsauswahl einer konkreten Messung, der
Stichprobe, aus einer Population möglicher Messungen.
 Daher kann sich die Statistik dem Verständnis des Zufallsexperimentes über
mathematische Hilfsmittel nähern, nämlich der Mengenlehre
Empirische
Methoden
Primer
Bortz, S. 49 – 50
Jetzt & Gleich
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Definition: Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind Mengen. Diese Mengen
können auch nur aus einem Element bestehen.
 Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
 Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf
{K, K}, {K, Z}, {Z, K}, {Z, Z}
 Beispiel III: Zulassung zum Studium
{Andi, Eva, …, Lena}, {Jana, Nike, …, Horst}, …
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Es galt: Ereignis = Jede beliebige Menge bzw. Kombination möglicher Ergebnisse eines Trials ohne Beachtung der Reihenfolge („Menge von Mengen“)
 Elementarereignisse = die kleinste Einheit disjunkter Ereignisse, in die sich die
möglichen Ergebnisse eines Trials zerlegen lassen („mögliche Ergebnisse“)
 Zwei Ereignisse E1 und E2 heißen disjunkt, wenn gilt
(disjunkt = paarweise unvereinbar)
E1  E 2  
Schnittmenge
Unmögliches Ereignis
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Beispiel I: Beim Wurf eines Würfels lauten die Elementarereignisse
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},
nicht aber
{{2}, {4}, {6}} oder {{3},{ 5}}
(obwohl diese disjunkt sind)
Beispiel II: Beim Wurf 2er unterscheidbarer Münzen sind die Elementarereignisse
{K, K} , {K, Z} , {Z, K}, {Z, Z}
nicht aber
{{K, K}, {Z, Z}} oder {{K, Z}, {Z, K}, {Z, Z}}
(und vor allem nicht das Ereignis {K}, das überhaupt nicht vorkommen kann)
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Die vollständige Menge aller Elementarereignisse eines Zufallsexperimentes
heißt Stichprobenraum Ω.
 Der Stichprobenraum ist eine Menge
 Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen Würfelwurf ist
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum  in 2 Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört
nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“)
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Ein Ereignis ist irgendeine
Wette, die man auf das
Ergebnis eingehen könnte
Ω
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum  in 2 Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört
nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“)
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
„Alle geraden Augenzahlen“
Ω
E = {2, 4, 6}
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum  in 2 Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört
nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“)
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
„Eins oder Sechs“
Ω
E = {1, 6}
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum  in 2 Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört
nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“)
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
„Drei“
Ω
E = {3}
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum  in 2 Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört
nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“)
„sicheres
Ereignis“
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
„Irgendeine Zahl“
Ω
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
 Jedes Ereignis E teilt den gesamten Stichprobenraum  in 2 Untermengen
 Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört
nicht dazu und wird Gegenereignis genannt (~E, E, „nicht E“)
 Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des Stichprobenraums
„unmögliches
Ereignis“
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
„Nicht gerade & keine
Primzahl & keine 1“
Ω
E = {}
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
 Die Menge aller Kombinationen von Ereignissen aus dem Stichprobenraum
heißt Sigma-Algebra σ
Zufallsexperiment
 Merksatz: Die Sigma-Algebra enthält alle Kombinationen von Ergebnissen
eines Zufallsexperimentes, auf die man wetten könnte
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis 
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Ereignisse & Elementarereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Beispiel: Therapieerfolg
Elementarereignisse: G, K, U
Stichprobenraum:
Ω = {G, K, U}
 
  , G  , K  , U  , G , K  , G , U  , K , U  , G , K , U 
„Anzahl“
 Die Anzahl der Elemente in der Sigma-Algebra heißt Mächtigkeit (|σ| = 2|Ω|)
 Für die Mächtigkeit ist die Reihenfolge der Elementarereignisse egal.
Frage: Was ist hier die Zufallsvariable?
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Zufallsvariablen
Definition
Intro
Merkmale
& Variablen
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
 Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung („bijektiv“) der Elemente des
Stichprobenraums  auf eine Menge von Zahlen.
 Es gelten alle Regeln, die bereits für Variablen eingeführt wurden.
 Beispiel:
  G, K ,U 
0, wenn "G"
 xy1: 1,

X     yx22::-1,
1, wenn
Y
wenn"K"
"K"
 xy : 0,
 3 2, wenn "U"
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Zufallsvariablen
Prinzip
Intro
Merkmale
& Variablen
Beispiel: Experiment = Therapieerfolg
Definition eines
Zufallsexperimentes: 
Definition des Stichprobenraums 
Mögliche Ergebnisse eines
Trials: Gesund, Krank, Unverändert
Definition einer Zufallsvariablen Y(ω)
Durchführung eines Trials und Feststellung des Ergebnisses: Gesund
Messung: Y =1
und damit auch von 
Zufallsexperiment
Mengen
& Wahrscheinlichkeiten
Frage: Was bedeutet „zufällig“?
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Geschichte der WT
In aller Kürze
Laplace
Kolmogorov
 Anfänge Mitte des 17. Jh. (Cardano, Bernoulli, Huygens, Pascal, Fermat).
Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und Kombinatorik.
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
 Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace, Gauss, Poisson:
Fehlertheorie, Ballistik, Populationsstatistik.
Bayes
 Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der WT, Fundament im
axiomatischen Aufbau (Kolmogorov). Theorie der stochastischen Prozesse
(Wiener, Markov, Khintchin).
 Heute zentraler Bestandteil empirischer Forschung: Informationstheorie, Physik,
Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische
Testung, Versuchsplanung, Stichprobentheorie.
Empirische
Methoden
Primer
Bortz, S. 50 – 51
Jetzt & Gleich
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit und Stichprobenräume
Laplace
Kolmogorov
 Grundannahme: Alle Elementarereignisse  („klein-omega“)
im Stichprobenraum Ω sind gleichmöglich
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
 Wenn der Stichprobenraum die |Ω| Elementarereignisse i
enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit für jedes von diesen einfach
Bayes
1
p i  

mit i  1 
 p() ist demnach eine auf dem Stichprobenraum definierte mathematische
Funktion (hier eine Konstante), die so genannte Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra
Laplace
Kolmogorov
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Bayes
 Jedem Ereignis E, welches der σ-Algebra angehört, kann nun ebenfalls
eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden.
m
p(E ) 
| |
m=
Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen
aus Ω, die Teilereignis von E sind.
|Ω|= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller
Elementarereignisse aus Ω)
 p(E) ist wieder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, diesmal definiert auf der -Algebra.
„Günstige durch Mögliche“
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra
Laplace
Kolmogorov
 Die Wahrscheinlichkeit des
sicheren Ereignisses ist damit
| |
p ( ) 
 1 .0
| |
 Und des unmöglichen Ereignisses
0
p ( ) 
 0 .0
| |
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Bayes
 Wahrscheinlichkeiten schwanken also zwischen 0 und 1.
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra
Laplace
Kolmogorov
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Bayes
 Damit ist auch die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ~E sehr
einfach zu berechnen.
m=
|  | m
p ~ E  
| |
Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen
aus Ω, die Teilereignis von E sind.
|Ω|= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller
 Also gilt folgerichtig („Komplementarität“)
Elementarereignisse aus Ω)
„Ungünstige durch Mögliche“
p ~ E
1
p E

Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra
Laplace
Kolmogorov
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Bayes
 Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(E) beruht auf dem
Prinzip der Partitionierung
 Das Ereignis E partitioniert den Stichprobenraum in
● m Elementarereignisse, die Teil von E sind.
● |Ω|–m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind
1
1
1
m
p(E ) 

 





m-mal
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Wahrscheinlichkeiten in der σ-Algebra
Laplace
Kolmogorov
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Bayes
 Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(E) beruht auf dem
Prinzip der Partitionierung
 Das Ereignis E partitioniert den Stichprobenraum in
● m Elementarereignisse, die Teil von E sind.
● |Ω|–m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind
1
1
1
m
p(E ) 

 





 Die Wahrscheinlichkeit p(E) ist also einfach die Summe der
Wahrscheinlichkeiten seiner m Elementarereignisse
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Vererbung
Laplace
Kolmogorov
 Frage: Der Stichprobenraum  ist noch nicht die Zufallsvariable X – wie
erhält man deren Wahrscheinlichkeiten?
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
 Definition: Die Zufallsvariable „erbt“ die Wahrscheinlichkeitsfunktion des
Stichprobenraums, auf dem sie beruht.
Bayes
Stichprobenraum:
Zufallsvariable:
   Bube, Dame, König , As

p    1 ,
4
Y X  -1,
1, 8,
2,

1 ,
4
1 ,
4
1
9,
3, 100
4

p  xy  11 ,, 11 ,, 11 ,, 11
44 44 44 44

4
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Vererbung
Laplace
Kolmogorov
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Vollständige Schreibweise für Zufallsvariable
& Wahrscheinlichkeitsfunktion
   Bube, Dame, König , As
Bayes


p    1 , 1 , 1 , 1
4
4
4
4
 x1: 0, wenn Bube
 x : 1, wenn Dame

X     2
 x3 : 2, wenn König
 x3 : 4, wenn As
 p  x1  : 1
4

 p  x : 1
2

4
p  x  
 p  x3  : 1 4

 p  x4  : 1

4
Empirische
Methoden
Jetzt & Gleich
Primer
Wahrscheinlichkeit nach Laplace
Beispiele
Laplace
Kolmogorov
 Summe von 2 Würfelwürfen
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Bayes
 Gewinnchance für „Rot“ beim Roulette
 Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim einfachen Münzwurf