Kap. 11: S. 636 ff - home.hs

636
11.4
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
11.4 Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen
Wie bei einfachen Integralen werden auch bei mehrdimensionalen oftmals Substitutionen
durchgeführt, um die Berechnung zu vereinfachen. Diese Substitutionen bedeuten in der
Regel, dass vom kartesischen (x, y, z)-Koordinatensystem auf ein anderes Koordinatensystem (z.B. Polarkoordinaten in IR2 , Zylinderkoordinaten in IR3 , Kugelkoordinaten in IR3 )
übergegangen wird, das in der Regel physikalische Symmetrien widerspiegelt. Wir werden
uns zu den Koordinatentransformationen ein paar grundsätzliche Gedanken machen; diese
sind allerdings eher Plausibilitätsargumente denn exakte Beweise.
Abb. 11.21. Beschreibung des Gebietes im (u, v)-Koordinatensystem
Sei z = f (x, y) eine zweidimensionale Funktion, die im kartesischen (x, y)Koordinatensystem gegeben ist. (u, v) sei ein anderes Koordinatensystem. Gesucht ist die Darstellung des Doppelintegrals
ZZ
f (x, y) dx dy
(G)
im neuen Koordinatensystem (u, v). Zur Transformation werden sowohl die
Grenzen x und y als auch die Differenziale dx und dy durch entsprechende
Terme in u und v bzw. du und dv ausgedrückt.
Ist (u, v) das zweite Koordinatensystem, dann lassen sich für jeden Punkt
(u, v) die zugehörigen (x, y)-Koordinaten angeben.
x = x (u, v)
und
y = y (u, v)
bezeichnet man als die sog. Transformationsgleichungen. Insbesondere sind
x und y jeweils Funktionen der Variablen u und v. Wir drücken das Flächenelement dx dy durch ein entsprechendes Flächenelement in du dv aus.
Wir nähern zunächst die Fläche des schraffierten Gebietes mit Maschenweite
(4u, 4v) im kartesischen System durch eine Parallelogrammfläche an, die
durch die Vektoren ~r1 und ~r2 aufgespannt wird. Nach §2.2.3 ist diese Parallelogrammfläche
A = |~r1 × ~r2 | .
11.4 Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen
637
Abb. 11.22. Berechnung des Flächenelementes im (u, v)
Aus Abb. 11.22 entnimmt man


x (u + 4u, v) − x (u, v)
~r1 =  y (u + 4u, v) − y (u, v)  ;
0


x (u, v + 4v) − x (u, v)
~r2 =  y (u, v + 4v) − y (u, v)  .
0
Wir linearisieren für kleine 4u und 4v sowohl
∂x
(u, v) · 4u = xu · 4u
∂u
∂x
x (u, v + 4v) − x (u, v) ≈
(u, v) · 4v = xv · 4v
∂v
x (u + 4u, v) − x (u, v) ≈
als auch die entsprechenden Terme von y. Damit ist




xu · 4u
xv · 4v
~r1 ≈  yu · 4u  ,
~r2 ≈  yv · 4v  .
0
0
|~r1 × ~r2 | ≈ |xu ∆u · yv ∆v − yu ∆u · xv ∆v|
≈ |xu · yv − yu · xv | ∆u ∆v .
xu xv
Führen wir die Jakobi-Determinante J := det
ein, ist das Flächenyu y v
element 4G ≈ |~r1 × ~r2 | ≈ |J| ∆u ∆v. Durch Grenzübergang zu infinitesimalen
Flächen folgt:
638
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Substitutionsregel für Doppelintegrale: Ist f (x, y) eine stetige
Funktion in kartesischen Koordinaten und (u, v) ein anderes Koordinatensystem mit den Transformationsgleichungen
x = x (u, v)
Dann gilt
ZZ
und
y = y (u, v) .
ZZ
f (x, y) dx dy =
f (x (u, v) , y (u, v)) |J| du dv,
(G∗ )
(G)
wenn G∗ die Beschreibung des Gebietes G im (u, v)-Koordinatensystem
und
xu xv
J := det
yu y v
die Jakobi-Determinante ist.
Substitutionsregel für Dreifachintegrale: Ist f (x, y, z) eine stetige
Funktion im kartesischen Koordinatensystem und (u, v, w) ein anderes
dreidimensionales Koordinatensystem mit den Transformationsgleichungen
x = x (u, v, w) ,
y = y (u, v, w) ,
z = z (u, v, w) .
Dann gilt
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
(G)
ZZZ
f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) |J| du dv dw,
(G∗ )
wenn G∗ die Beschreibung des Gebietes
system und

xu xv
J := det  yu yv
zu zv
G im (u, v, w)-Koordinaten
xw
yw 
zw
die Jakobi-Determinante ist.
Die folgenden Beispiele geben die physikalisch wichtigsten Koordinatensysteme sowie die zugehörigen Jakobi-Determinanten an.
11.4 Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen
639
Anwendungsbeispiel CD.15 (Polarkoordinaten im IR2 ).
Bei Polarkoordinaten wird ein Punkt in der (x, y)Ebene eindeutig durch die Angabe des Winkel ϕ, 0 ≤
ϕ < 2π, und des Radius r ≥ 0 angegeben. Die
Transformationsgleichungen lauten
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ .
Abb. 11.23. Polarkoordinaten
Daher ist die Jakobi-Determinante
x
xϕ cos ϕ −r sin ϕ J = r
=
= r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r
yr yϕ sin ϕ
r cos ϕ und ein Doppelintegral lautet in Polarkoordinaten
ZZ
ZZ
f (x, y) dx dy =
(x,y)
f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ.
(r,ϕ)
Anwendungsbeispiel CD.16 (Zylinderkoordinaten im IR3 ).
Zur Beschreibung von rotationssymmetrischen,
dreidimensionalen Problemen verwendet man häufig
Zylinderkoordinaten:
Ein Punkt im (x, y, z)-Raum wird eindeutig durch
die Angabe seiner Polarkoordinaten (r, ϕ) in der
(x, y)-Ebene und zusätzlich seiner z-Komponente
festgelegt:
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z.
Abb. 11.24.
Zylinderkoordinaten
Daher ist die Jakobi-Determinante
xr xϕ xz cos ϕ −r sin ϕ 0 J = yr yϕ yz = sin ϕ r cos ϕ 0 = r
z z z 0
0
1
r ϕ z
und ein Dreifachintegral lautet in Zylinderkoordinaten
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
(x,y,z)
(r,ϕ,z)
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕ dz.
640
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Anwendungsbeispiel CD.17 (Kugelkoordinaten im IR3 ).
Durch die Angabe zweier Winkel ϕ und ϑ sowie dem
Abstand zum Ursprung lässt sich gemäß nebenstehendem Bild jeder Punkt im IR3 eindeutig festlegen:
x = r cos ϕ cos ϑ
y = r sin ϕ cos ϑ
z = r sin ϑ
mit r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π, − π2 ≤ ϑ < π2 . Hierfür rechnet man ebenfalls direkt die Jakobi-Determinante
Abb. 11.25.
aus
Kugelkoordinaten
xr xϕ xϑ cos ϕ cos ϑ −r sin ϕ cos ϑ −r cos ϕ sin ϑ J = yr yϕ yϑ = sin ϕ cos ϑ
r cos ϕ cos ϑ −r sin ϕ sin ϑ z z z sin ϑ
0
r cos ϑ
r ϕ ϑ
= r2 cos ϑ .
Ein Dreifachintegral lautet daher in Kugelkoordinaten
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z) dx dy dz =
(x,y,z)
f (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ)
(r,ϕ,ϑ)
·r2 cos ϑ dr dϕ dϑ.
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
641
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
Die Bestimmung der Arbeit in einem Kraftfeld oder die der elektrischen Spannung in einem
elektrischen Feld erfordert oftmals die Berechnung eines Integrals entlang einer ebenen oder
räumlichen Kurve. Dies führt auf einen neuen Integralbegriff, dem sog. Linienintegral, den
wir mit Beispielen aus der Mechanik und Elektrostatik erläutern werden.
11.5.1 Vektordarstellung einer Kurve
Gegeben sei die Beschreibung einer Kurve C im Raum durch die Parameterdarstellung


x (t)
C : ~r (t) = x (t) ~e1 + y (t) ~e2 + z (t) ~e3 =  y (t)  ,
z (t)
wenn x (t), y (t), z (t) Funktionen der Variablen t sind. Beim Durchlaufen der
t-Werte bewegt sich der Punkt P (Abb. 11.26) entlang der Linie C:
Abb. 11.26. Raumkurve
Beispiel M.39 (Mit Maple-Worksheet). Ein Elektron bewegt sich in ei~ = B0 ~ez auf einer Schraubenlinie mit Radius
nem homogenen Magnetfeld B
R. Die Koordinaten des Elektrons sind zu jedem Zeitpunkt festgelegt durch
x (t)
y (t)
z (t)
=
=
=
R cos (ωt)
R sin (ωt)
vz t.
e
ω=m
B0 ist die Kreisfrequenz und vz die konstante Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung. Mit spacecurve wird diese Kurve mit Maple graphisch
dargestellt. Hierbei kann ~s ein dreidimensionaler Vektor oder eine Liste sein.
> s:=vector([R∗cos(w∗t), R∗sin(w∗t), vz∗t]):
> R:=1: w:=1: vz:=1:
> with(plots):
> spacecurve(s, t=0..20, numpoints=200, axes=framed):
11.5
642
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
11.5.2 Differenziation eines Vektors nach einem Parameter
Ist ~r (t) = x (t) ~e1 + y (t) ~e2 + z (t) ~e3 die Parameterdarstellung einer Kurve C,
so ist die Ableitung des Vektors ~r (t) definiert als Grenzwert
~r 0 (t) = lim
4t→0
1
(~r (t + 4t) − ~r (t))
4t
des Differenzenquotienten für 4t → 0. Geometrisch entspricht dies dem Grenzübergang des Differenzvektors (= Sekantenvektor) in den Tangentenvektor im
Punkt ~r(t) = (x (t) , y (t) , z (t)).
Tangentenvektor ~r 0 (t)
Sekantenvektor ∆~r
Aufgrund der Vektorrechenregeln gilt
1
1
∆~r =
(~r (t + 4t) − ~r (t))
4t
4t

 1


ẋ (t)
4t (x (t + 4t) − x (t))
 4t→0
 1
(y (t + 4t) − y (t))  −→  ẏ (t) 
=  4t
1
ż (t)
4t (z (t + 4t) − z (t))


ẋ (t)
⇒ ~r 0 (t) =  ẏ (t) .
ż (t)
Die Differenziation eines Vektors ~r (t) nach der Variablen t erfolgt
komponentenweise.
Anwendungsbeispiel CD.18 (Ortskurve und Geschwindigkeit).
Ist ~r (t) der zeitabhängige Ortsvektor der Bahnkurve eines Massepunktes, dann
ist
~v (t) = ~r 0 (t)
der Geschwindigkeitsvektor und
~a (t) = ~v 0 (t) = ~r 00 (t) der Beschleunigungsvektor.
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
643
Der Geschwindigkeitsvektor bzw. Beschleunigungsvektor eines Elektrons im
homogenen Magnetfeld B = B0 ~ez lautet mit Beispiel 11.39

 
 

ẋ (t)
−R ω sin (ωt)
v1 (t)
~v (t) = ~r 0 (t) =  ẏ (t)  =  R ω cos (ωt)  =  v2 (t) 
ż (t)
vz
v3 (t)
 

ẍ (t)
−R ω 2 cos (ωt)
~a (t) = ~v 0 (t) =  ÿ (t)  =  −R ω 2 sin (ωt) .
z̈ (t)
0

Insbesondere gilt ẍ (t) + ω 2 x (t) = 0 und ÿ(t) + ω 2 y (t) = 0. Man rechnet die
Ableitungen mit Maple nach, indem auf den Vektor ~s aus Beispiel 11.39 der
diff -Befehl komponentenweise angewendet wird; eine kompakte Schreibweise
erhält man mit dem map-Operator
> v:=map(diff, s, t);
> a:=map(diff, v, t);
Anwendungsbeispiel CD.19 (Beschleunigungskräfte einer ebenen
Kreisbewegung).
Für eine ebene Kreisbewegung sind bei konstantem
Radius ρ die Koordinaten x (t) und y (t) in Polarkoordinaten gegeben durch
x (t) = ρ · cos ϕ (t)
y (t) = ρ · sin ϕ (t),
(Polarkoordinaten)
wenn ϕ (t) der momentane Winkel zur x-Achse beschreibt. In dieser Parameterdarstellung lautet die
Bewegung
Abb. 11.27.
Kreisbewegung
~r (t) = x (t) ~ex + y (t) ~ey
= ρ cos ϕ (t) ~ex + ρ sin ϕ (t) ~ey = ρ
cos ϕ (t)
sin ϕ (t)
mit dem Geschwindigkeitsvektor
− sin ϕ(t) ϕ̇(t)
− sin ϕ(t)
~v (t) = ~r 0 (t) = ρ
= ρ ϕ̇(t)
.
cos ϕ (t) ϕ̇(t)
cos ϕ (t)
Definiert man den radialen Einheitsvektor ~er und den azimuthalen Einheitsvektor ~eϕ durch
− sin ϕ(t)
cos ϕ (t)
~er =
, ~eϕ =
,
sin ϕ (t)
cos ϕ (t)
644
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
dann gilt für den Geschwindigkeitsvektor
~v (t) = ρ ϕ̇(t) ~eϕ .
Bei einer Kreisbewegung hat die Geschwindigkeit also den Betrag ρ ϕ̇ (t) und
steht senkrecht zum Ortsvektor (d.h. tangential zur Bewegung)!
Der Beschleunigungsvektor ist die Ableitung von ~v (t) nach t:
− cos ϕ(t) ϕ̇2 (t) − sin ϕ(t) ϕ̈(t)
~a (t) = ~v 0 (t) = ρ
− sin ϕ(t) ϕ̇2 (t) + cos ϕ(t) ϕ̈(t)
cos ϕ(t)
− sin ϕ(t)
= −ρ ϕ̇2 (t)
+ ρ ϕ̈(t)
sin ϕ(t)
cos ϕ(t)
= −ρ ϕ̇2 (t) ~er + ρ ϕ̈(t) ~eϕ .
Der Betrag der Beschleunigung lautet mit ~er 2 = ~eϕ 2 = 1 und ~er · ~eϕ = 0 :
√
|~a| = ~a · ~a
q
= ρ ϕ̇4 (t) ~er 2 − 2 ϕ̇2 (t) ϕ̈(t) ~er · ~eϕ + ϕ̈2 (t) ~eϕ 2
p
= ρ ϕ̇4 (t) + ϕ̈2 (t) .
Die Beschleunigungskraft F~ = m ~a (t) besitzt eine Komponente in Richtung ~r
(Zentrifugalkraft) und eine senkrecht hierzu:
Kraft in Richtung ~r (Zentrifugalkraft): F~r = −m ρ ϕ̇2 (t) ~er mit dem Betrag
Fr = F~r = m ρ ϕ̇2 (t).
Für eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇ (t) =
const, gilt dann
Fr = m ρ ω 2 .
Kraft in Richtung der Geschwindigkeit ~eϕ : F~ϕ = m ρ ϕ̈(t) ~eϕ . Für eine
Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇ (t) = const,
gilt ϕ̈ (t) = 0 ⇒ Fϕ = 0, d.h. es wirkt dann keine Kraft in Richtung der
Geschwindigkeit.
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
645
11.5.3 Vektor- oder Kraftfelder
Definition: Als Vektorfeld (= Kraftfeld) bezeichnen wir eine vektorwertige Funktion ~k : IR3 → IR3 , 

k1 (x, y, z)
~k (x, y, z) =  k2 (x, y, z)  ,
k3 (x, y, z)
mit Funktionen k1 , k2 , k3 , die von drei Variablen (x, y, z) abhängen. ~k
weist jedem Punkt des Raumes (x, y, z) einen Vektor ~k (x, y, z) zu.
Beispiel CD.20 (Mit Maple-Worksheet). Die elektrische Kraft, welche
eine Punktladung Q auf eine andere Ladung q ausübt, ist nach dem CoulombGesetz umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat der Ladungen
 
x
q
Q
~
r
q
Q
1
q
Q
1
1
y .
=
~
r
=
F~ =
p
4π ε0 r2 |r|
4π ε0 r3
4π ε0 x2 + y 2 + z 2 3
z
Die Kraft F~ ist ein Vektor, der an verschiedenen Orten (x, y, z) unterschiedliche Werte und Richtungen besitzt. Mit den Befehlen fieldplot und fieldplot3d können zwei- bzw. dreidimensionale Kraftfelder mit Maple als Vektorgraphik dargestellt werden.
11.5.4 Linien- oder Kurvenintegrale
Sei ~r (t) = x (t) ~e1 + y (t) ~e2 + z (t) ~e3 eine Raumkurve C und ~k ein gegebenes
Kraftfeld. PA = ~r (tA ) sei der Anfangs- und PE = ~r (tE ) der Endpunkt der
Kurve. Gesucht ist die Arbeit, die geleistet werden muss, um einen Massepunkt
der Masse m entlang C vom Anfangs- zum Endpunkt zu bringen (siehe Abb.
11.28).
Bewegt sich der Massepunkt entlang der Strecke ~s, dann ist die Arbeit, die
von einer konstanten Kraft ~k an dem Massepunkt geleistet wird, nach Beispiel
2.2 bestimmt durch das Skalarprodukt
W = ~k · ~s.
Um die Arbeit zu bestimmen, die benötigt wird, den Massepunkt entlang einer
Kurve C zu bewegen, unterteilen wir C in Punkte
PA = P0 , P1 , . . . , PN = PE
mit Pi = ~r (ti ) = ~ri (i = 0, ..., N )
646
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
mit ti =
tE −tA
N i+tA
−−−−→
und ersetzen die Kurve durch Streckenzüge Pi Pi+1 = ∆~ri .
Abb. 11.28. Arbeit entlang der Kurve C
Für jede Teilstrecke bilden wir das Skalarprodukt des lokalen Kraftfeldes ~ki =
~k (~ri ) mit dem Richtungsvektor ∆~ri :
Wi = ~k (~ri ) · ∆~ri .
Wi ist die Arbeit, die geleistet werden muss, um den Massepunkt von Pi nach
Pi+1 zu führen. Summiert man alle Anteile auf
4W =
N
−1
X
N
−1
X
~k (~ri ) · ∆~ri =
i=0
i=0
~k (~ri ) 1 (~r (ti + 4t) − ~r (ti )) · 4t
4t
ist diese Summe eine Näherung für die tatsächlich aufzuwendende Arbeit. Diese Approximation wird umso besser, je feiner die Unterteilung der Kurve C
gewählt wird. Den Grenzwert N → ∞ (d.h. eine beliebig feine Unterteilung
von C mit 4~ri → 0 bzw. 4t → 0)
lim
N →∞
N
−1
X
~k (~ri ) ∆~ri = lim
N →∞
i=0
N
−1
X
i=0
~k (~ri ) 1 (~r (ti + 4t) − ~r (ti )) · 4t
4t
nennt man das Kurvenintegral entlang C:
Definition: (Kurven- oder Linienintegral). Ist ~k (x, y, z) ein Vektorfeld und C eine Kurve, die durch ~r (t) (tA ≤ t ≤ tE ) beschrieben wird.
Dann heißt das Integral
Z
Z tE
~k · d~r =
~k (~r (t)) · ~r 0 (t) dt
C
tA
das Linien- oder Kurvenintegral des Vektorfeldes ~k (x, y, z) längs der
Kurve C, wenn ~r (tA ) den Anfangs- und ~r (tE ) den Endpunkt der Kurve
markiert.
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
647
Bemerkungen:
(1) Das Kurvenintegral ist unabhängig von der speziell gewählten Unterteilung.
(2) Das Kurvenintegral ist damit insbesondere unabhängig von der Parametrisierung der Kurve C.
(3) Das Kurvenintegral lautet in ausführlicher Schreibweise, wenn das Skalarprodukt ausgeführt und das Kraftfeld ~k an der Stelle ~r (t) ausgewertet
wird
Z
Z tE
~k d~r =
k1 (x (t) , y (t) , z (t)) ẋ (t) dt
tA
C
Z
tE
k2 (x (t) , y (t) , z (t)) ẏ (t) dt
+
t
Z AtE
+
k3 (x (t) , y (t) , z (t)) ż (t) dt.
tA
Die drei Integrale hängen nur noch von einer Variablen t ab und können
mit den Integrationsregeln für Funktionen mit einer Variablen berechnet
werden.
(4) Der Wert des Kurvenintegrals hängt in der Regel nicht nur von Anfangsund Endpunkt des Integrationsweges, sondern auch vom vorgegebenen
Weg ab. Ausnahmen bilden die sog. Gradientenfelder.
(5) Für ein Kurvenintegral
entlang einer geschlossenen Kurve verwendet man
I
~k d~r.
das Symbol
C
(6) ~k (~r (t)) · ~r 0 (t) ist die Kraft, die tangential auf der Kurve wirkt, da ~r 0 (t)
in jedem Punkt ~r (t) der Kurve C die Tangentensteigung repräsentiert.
Vorgehensweise bei der Berechnung von Kurvenintegralen:
(1) Parametrisieren der Kurve C.
(2) Berechnung von ~r 0 (t).
(3) Die Kurve (x (t) , y (t) , z (t)) in die drei Kraftkomponenten k1 , k2 , k3
einsetzen, das Skalarprodukt ~k (~r (t)) · ~r 0 (t) berechnen und die Integrationen über t ausführen.
648
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen

x y2
Beispiel CD.21 . Gegeben ist das Kraftfeld ~k =  x y . Gesucht ist das
0
Kurvenintegral
Z
Z
~k d~r =
x(t) y 2 (t) ẋ (t) + x(t) y(t) ẏ (t) dt,

C
C
wenn C eine der in Abb. 11.29 gezeichneten Kurven repräsentiert. Anfangsund Endpunkt der Kurven seien in allen Fällen (0, 0) bzw. (1, 1).
Abb. 11.29. Kurven vom Punkt (0, 0) zum Punkt (1, 1).
Integrationsweg 1: Die Parameterdarstellung von Integrationsweg C1 ist
t
~r (t) =
,
0≤t≤1.
t
⇒ x (t) = t , y (t) = t ⇒ ẋ (t) = 1 , ẏ (t) = 1.
Z
Z 1
Z 1
7
2
~
⇒
k d~r =
t · t · 1 + t · t · 1 dt =
t3 + t2 dt =
.
12
C1
0
0
Integrationsweg 2: Eine Parameterdarstellung von Integrationsweg C2 ist
t
~r (t) =
0≤t≤1.
t2
⇒ x (t) = t , y (t) = t2 ⇒ ẋ (t) = 1 , ẏ (t) = 2 t.
Z
Z 1
Z 1
17
~k d~r =
⇒
t · t4 · 1 + t · t2 · 2 t dt =
t5 + 2 t4 dt =
.
30
C2
0
0
Integrationsweg 3: Eine Parameterdarstellung von Integrationsweg C3 ist
 0


für 0 ≤ t ≤ 12 ⇒ x (t) = 0 , y (t) = t

t
~r (t) = 
2t − 1


für 12 ≤ t ≤ 1 ⇒ x (t) = 2t − 1 , y (t) = 1 .
1
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
Z
⇒
~k d~r =
Z
1
2
Z
(4t − 2) dt =
1
2
0
C3
1
0 dt +
649
1
.
2
Integrationsweg 4: Eine andere Parameterdarstellung von Integrationsweg
C1 ist
2
t
~r (t) =
,
0≤t≤1.
t2
⇒ x (t) = t2 , y (t) = t2 ⇒ ẋ (t) = 2t , ẏ (t) = 2t.
Z 1
Z
Z 1
7
~k d~r =
t6 · 2t + t4 · 2t dt =
2t7 + 2t5 dt =
⇒
.
12
0
C1
0
Man erkennt an diesem Beispiel, dass der Wert des Kurvenintegrals vom
gewählten Weg abhängt; bei gleichem Weg aber nicht von der speziellen Parametrisierung.
Beispiele CD.22 (Mit Maple-Worksheet):


xy
➀ Gegeben ist das Vektorfeld ~v =  y , das entlang der Kurve C mit Pa−x
rametrisierung ~r (t) = t ~e1 + t2 ~e2 + t3 ~e3 , 0 ≤ t ≤ 1, integriert werden soll.
Aus der Darstellung von ~r(t) entnehmen wir
x (t) = t, y (t) = t2 , z (t) = t3 .
Damit ist
ẋ(t) = 1, ẏ(t) = 2t, ż(t) = 3t2
und wir erhalten
 3

t
1
⇒ ~r 0 (t) = ~e1 + 2 t ~e2 + 3 t2 ~e3 =  2 t  , ~v (~r (t)) =  t2 
−t
3 t2
 3

t
1
⇒ ~v (~r (t)) · ~r 0 (t) =  t2   2 t  = t3 + 2 t3 − 3 t3 = 0.
−t
3 t2

Z
⇒
Z
~v d~r =
C
1
0 dt = 0 .
0
650
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
x
➁ Gesucht ist das Kurvenintegral der Vektorfunktion ~v =
entlang der
xy
2
Parabel y = x , die vom Ursprung zum Punkte P (1, 1) geht:
t
~r (t) =
, 0 ≤ t ≤ 1, ⇒ x (t) = t , y (t) = t2
t2
0
⇒ ~r (t) =
1
2t
,
⇒ ~v (~r (t)) · ~r 0 (t) =
⇒
0
2 5 1
5 t 0
=
~v (~r (t)) =
=
t
1
= t + 2 t4 .
3
t
2t
1
Z
x
xy
t + 2 t4 dt = 12 t2 +
t
t3
9
.
10
x
xy
➂ Gesucht ist das Kurvenintegral der Vektorfunktion ~v =
entlang
3
t
der Kurve C mit Parametrisierung ~r (t) =
, 0 ≤ t ≤ 1. C verbindet
t4
ebenfalls den Ursprung mit dem Punkt (1, 1):
3
t
~r (t) =
, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ x (t) = t3 , y (t) = t4
t4
3 x
t
, ~v (~r (t)) =
=
xy
t3 t 4
3 2
t
3t
⇒ ~v (~r (t)) · ~r 0 (t) =
= 3 t5 + 4 t10 .
4 t3
t7
⇒ ~r 0 (t) =
Z
⇒
0
1
3 t2
4 t3
1
1 6
4 11
19
3 t5 + 4 t10 dt =
t +
t
=
.
2
11
22
0
In der Regel ist also das Kurvenintegral wegabhängig. Für spezielle Vektorfelder ist es jedoch wegunabhängig, d.h. der Wert des Kurvenintegrals ist unabhängig davon, welchen Weg man vom Anfangs- zum Endpunkt wählt. Zur
Beschreibung dieser Vektorfelder benötigt man den folgenden Begriff:
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
651
Definition: (Gradientenfeld).
Ein Vektorfeld ~k (x, y, z) heißt Gradientenfeld (Potenzialfeld), wenn
es eine stetig differenzierbare Funktion Φ(x, y, z): IR3 → IR gibt mit
~k (x, y, z) = grad Φ (x, y, z).
Für die Komponenten des Vektorfeldes ~k(x, y, z) bedeutet dies
k1 (x, y, z) = ∂x Φ (x, y, z) ,
k2 (x, y, z) = ∂y Φ (x, y, z) ,
k3 (x, y, z) = ∂z Φ (x, y, z) .
Die Funktion Φ (x, y, z) heißt eine zu ~k gehörende Potenzialfunktion.
Bemerkungen:
(1) Zwei zu ~k gehörende Potenzialfunktionen unterscheiden sich höchstens um
eine Konstante.
(2) In der Physik bezeichnet man Kraftfelder, die eine zugehörige Potenzialfunktion besitzen, als konservative Kraftfelder.
(3) In der Physik wird eine Größe ~k oftmals durch den negativen Gradienten
−grad Φ festgelegt. Dies ist in obiger Definition eines Gradientenfeldes
enthalten.
(4) Die Gradientenfelder sind diejenigen Vektorfelder, für welche die Kurvenintegrale immer wegunabhängig sind. Es gilt (ohne Beweis) der wichtige
Satz:
652
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Satz: Hauptsatz über Kurvenintegrale. Sei G ⊂ IR3 ein achsenparalleler Quader und ~k : G → IR3 ein Vektorfeld mit stetigen partiellen
Ableitungen in G. Dann sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:
(1) ~k ist ein Gradientenfeld.
(2) In G gelten die Integrabilitätsbedingungen
∂k1
∂k2
=
;
∂y
∂x
Z
∂k2
∂k3
=
;
∂z
∂y
∂k1
∂k3
=
.
∂z
∂x
~k d~r hängt für alle in G verlaufenden Kurven
(3) Das Kurvenintegral
C
C nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurven ab.
I
~k d~r ist für alle in G verlaufenden, geschlos(4) Das Kurvenintegral
C
senen Kurven C stets Null.
Bemerkung: Im Falle eines zweidimensionalen Vektorfeldes ~k =
∂k2
∂k1
k1 (x, y)
lautet die Integrabilitätsbedingung:
=
.
k2 (x, y)
∂y
∂x
R
Ist ~k ein Gradientenfeld, dann kann man das Linienintegral C ~k d~r einfach
über die zugehörige Potenzialfunktion Φ (x, y, z) bestimmen: Es sei




k1 (x, y, z)
∂x Φ (x, y, z)
!
~k (x, y, z) =  k2 (x, y, z)  = grad Φ (x, y, z) =  ∂y Φ (x, y, z)  .
k3 (x, y, z)
∂z Φ (x, y, z)
Das totale Differenzial von Φ lautet
∂Φ
∂Φ
∂Φ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
= k1 dx + k2 dy + k3 dz
= ~k d~r .
dΦ =
Daher ist
Z
C
~k d~r =
Z
P2
P1
dΦ = Φ|P2 − Φ|P1 ,
wenn P1 der Anfangs- und P2 der Endpunkt der Kurve C darstellt.
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
653
Zusatz zum Hauptsatz: (Integration eines Gradientenfeldes). Ist
~k ein Gradientenfeld mit Potenzial Φ, d.h. ~k (x, y, z) = grad Φ, dann gilt
für das Linienintegral
Z
Z
~k d~r =
dΦ = Φ|Endpunkt von C − Φ|Anfangspunkt von C .
C
C
Insbesondere folgt aus dieser Darstellung, dass für ein Gradientenfeld stets gilt
I
~k d~r = Φ| − Φ| = 0 .
P1
P1
C
Der Hauptsatz gibt nicht nur darüber Auskunft, ob ein Kurvenintegral wegunabhängig ist, sondern auch wie man über die Integrabilitätsbedingungen
nachprüfen kann, ob überhaupt ein Gradientenfeld vorliegt oder nicht. Liegt
das Potenzial eines Gradientenfeldes vor, besagt der Zusatz zum Hauptsatz,
wie das Kurvenintegral berechnet werden kann: Analog zum Hauptsatz der
Differenzial- und Integralrechnung einer Variablen §8.2 ist das Kurvenintegral
dann die Differenz von Potenzialfunktion ausgewertet am Endpunkt und am
Anfangspunkt.
Beispiele CD.23:
➀ In der Physik gibt es viele Gradientenfelder. Beispiele sind das elektrostatische Potenzial, das Newtonsche Gravitationsfeld oder das von einem
stromdurchflossenen Draht erzeugte Magnetfeld (siehe Anwendungen).
➁ Das Vektorfeld ~k (x, y) =
3 x2 y
x3
ist ein Gradientenfeld, denn

∂k1
∂

=
3 x2 y = 3 x2 


∂y
∂y
∂k2
∂ 3
=
x = 3 x2
∂x
∂x




⇒
∂k1
∂k2
=
.
∂y
∂x
Im Folgenden bestimmen wir das zu ~k gehörende Potenzialfeld Φ: Da es zu
~k eine Potenzialfunktion Φ (x, y) mit ~k = grad Φ gibt, gilt
2
(1)
~k = grad Φ = ∂x Φ ⇒ ∂x Φ = 3 x y
3
∂y Φ
∂y Φ = x .
(2)
Integriert man Gleichung (1) nach x folgt
Φ(x, y) = x3 y + K (y)
654
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
mit einer Integrationskonstanten, die von y abhängen kann. Mit (2) folgt
nach partieller Differenziation nach y
∂
!
Φ(x, y) = x3 + K 0 (y) = x3 = k2 (x, y)
∂y
⇒ K 0 (y) = 0 ⇒ K (y) = C = const .
⇒ Φ (x, y) = x3 y + C.
Das Kurvenintegral von ~k entlang einer Kurve C mit Anfangspunkt (x0 , y0 )
und Endpunkt (x1 , y1 ) ist nach dem Zusatz zum Hauptsatz gegeben durch
(x1 , y1 )
Z
Z
~k d~r =
dΦ = Φ
= x31 y1 − x30 y0 .
C
C
xy
xy
bedingung verletzt ist:
➂ Das Vektorfeld ~k =
(x0 , y0 )
2
ist kein Gradientenfeld, da die Integrabilitäts-

∂k1
∂

=
x y2 = 2 x y 


∂y
∂y
∂k2
∂
=
xy = y
∂x
∂x




⇒
∂k2
∂k1
6=
.
∂y
∂x
(Man vergleiche die Aussage mit dem Ergebnis von Beispiel CD.21!)
➃ Man prüfe, dass das Vektorfeld
 
x
1
~k (x, y, z) =
y
x2 + y 2 + z 2
z
ein Gradientenfeld darstellt mit der Potenzialfunktion
Φ (x, y, z) = ln x2 + y 2 + z 2 + K .
Die Integrabilitätsbedingungen können explizit nachgeprüft werden, um zu
entscheiden, ob ein Gradientenfeld vorliegt oder nicht. Falls ~k ein Gradientenfeld ist, stellt sich das Problem, wie man das zugehörige Potenzial berechnet.
Aufschluss darüber sollen die beiden folgenden Beispiele geben:


2x + y
Beispiel CD.24. Gegeben ist das Vektorfeld ~v (x, y, z) =  x + 2 y z . Für
y2 + 2 z
dieses Vektorfeld prüft man explizit nach, dass die Integrabilitätsbedingungen
erfüllt sind. Gesucht ist das zu ~v gehörende Potenzial Φ mit

   

∂x Φ
v1
2x + y
!
~v = grad Φ =  ∂y Φ  =  v2  =  x + 2 y z  .
∂z Φ
v3
y2 + 2 z
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
655
Die Integration der ersten Komponente ∂x Φ nach x
∂x Φ = 2 x + y ⇒ Φ = x2 + y x + f (y, z)
(∗)
liefert eine Integrationskonstante f (y, z), welche noch von y und z abhängen
kann. Vergleicht man die zweite Komponente von ~v mit der partiellen Ableitung von Φ nach y, folgt für fy (y, z):
∂y Φ = v2 = x + 2 y z
(∗)
& ∂y Φ = x + fy (y, z)
⇒ fy (y, z) = 2 y z .
Integration über y liefert
f (y, z) = y 2 z + g (z) ,
wobei die Funktion g noch von z nicht aber von x oder y abhängen kann.
⇒ Φ (x, y, z) = x2 + y x + y 2 z + g (z) .
(∗∗)
Vergleicht man die dritte Komponente v3 mit der partiellen Ableitung von Φ
nach z, folgt für g 0 (z):
∂z Φ = v3 = y 2 + 2 z
(∗∗)
& ∂z Φ = y 2 + g 0 (z)
⇒ g 0 (z) = 2 z ⇒ g (z) = z 2 + K .
Die Integrationskonstante K hängt weder von x, y noch von z ab.
⇒
Φ (x, y, z) = x2 + y x + y 2 z + z 2 + K.
Beispiel CD.25. Gesucht ist das zum Gradientenfeld ~k gehörende Potenzial
Φ, wenn
  



k1
z+y
∂x Φ
!
~k =  k2  =  x + z  = grad Φ =  ∂y Φ  :
k3
x+y
∂z Φ
∂x Φ = k1 = z + y
⇒
∂y Φ = k2 = x + z
&
Φ = z x + y x + f (y, z)
⇓
∂y Φ = x + fy (y, z)
⇒ fy (y, z) = z ⇒ f (y, z) = z · y + g (z).
⇒ Φ = z x + y x + z y + g (z).
656
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
∂z Φ = k3 = x + y
& ∂z Φ = x + y + g 0 (z)
⇒ g 0 (z) = 0 ⇒ g (z) = K
⇒
Φ (x, y, z) = z x + yx + z y + K.
Gradientenfelder mit MAPLE
Der Befehl ScalarPotential aus dem VectorCalculus-Paket überprüft, ob
ein Vektorfeld eine Potenzialfunktion besitzt. Im Fall, dass ein Gradientenfeld vorliegt, wird die zugehörige Potenzialfunktion bestimmt. Die Syntax ist
ScalarPotential (vf ) mit dem Argument
vf := VectorField(<Liste der Komponenten>, ’cartesian’[x,y,z]);
Die beiden Potenziale aus den Beispielen CD.24 und CD.25 können somit
bestimmt werden durch
> with(VectorCalculus):
> v:= VectorField(<2*x+y, x+2*y*z, yˆ2+2*z>, ’cartesian’[x,y,z]);
> ScalarPotential(v);
x2 + y x + y 2 z + z 2
> v2:= VectorField(<z+y, x+z, x+y>, cartesian[x,y,z]);
> ScalarPotential(v2);
xz + yz + xy
Liegt kein Gradientenfeld wie in Beispiel CD.23 ③ vor, liefert der ScalarPotential-Befehl kein Ergebnis
> v3:= VectorField(<x*yˆ2, x*y>, ’cartesian’[x,y]);
> ScalarPotential(v3);
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
657
11.5.5 Anwendungsbeispiele
Das Kurvenintegral wurden im vorhergehenden Abschnitt zur Berechnung der
Arbeit eingeführt, die eine Masse m benötigt, um in einem Kraftfeld ~k (x, y, z)
entlang der Kurve C von einem Anfangspunkt PA zum Endpunkt PE verschoben zu werden. Entsprechend der Definition des Linienintegrals gilt für die
Arbeit eines Kraftfeldes
Z
Z tE
~k (~r (t)) · ~r 0 (t) dt ,
W = ~k d~r =
C
tA
wenn ~r (t) die Parameterdarstellung der Kurve C, ~r (tA ) den Anfangs- und
~r (tE ) den Endpunkt beschreibt. W ist positiv, wenn vom Kraftfeld Arbeit an
der Masse geleistet wird, andernfalls negativ.
Anwendungsbeispiel CD.26 (Radialsymmetrische Kraftfelder).
Ein Kraftfeld ~k heißt radialsymmetrisch, wenn der Betrag von ~k nur vom
Abstand r abhängt und der Vektor ~k in jedem Punkt radial nach außen zeigt.
Ein radialsymmetrisches Feld hat stets die Form


f (r) x
~k (~r) = f (r) ~r =  f (r) y  ,
f (r) z
p
wenn f eine eindimensionale Funktion und r = |~r| = x2 + y 2 + z 2 ist. Physikalische Beispiele für radialsymmetrische Kraftfelder sind
m M ~r
F~ (~r) = f 2
r r
F~ (~r) =
1 q Q ~r
4π ε0 r2 r
(Newtonsche Gravitationskraft)
(Coulomb-Kraft).
Alle rotationssymmetrischen, homogenen Kraftgesetze sind konservativ: Das
Arbeitsintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber
vom gewählten Weg ab!
Wir zeigen, dass die erste Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. Dazu
wir
 bilden 
f (r) x
mit Hilfe der Kettenregel die partiellen Ableitungen von ~k (~r) =  f (r) y :
f (r) z
∂
∂ p 2
∂
k1 (~r) =
(f (r) x) = x f 0 (r)
x + y2 + z2
∂y
∂y
∂y
658
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
y
= x f 0 (r) p
x2
+
y2
+
z2
= f 0 (r)
xy
.
r
∂
∂
∂ p 2
k2 (~r) =
(f (r) y) = y f 0 (r)
x + y2 + z2
∂x
∂x
∂x
x
xy
= y f 0 (r) p
= f 0 (r)
.
2
2
2
r
x +y +z
⇒
∂
∂
k1 (~r) =
k2 (~r) .
∂y
∂x
Analog zeigt man die beiden anderen Integrabilitätsbedingungen.
Anwendungsbeispiel CD.27 (Coulomb-Kraft).
Das Potenzial zur Coulomb-Kraft
~k (~r) =
1 q Q ~r
4π ε0 r2 r
ist das elektrostatische Potenzial
Φ (x, y, z) =
Abb. 11.30.
Potenzial
Coulomb-
1 qQ
1
qQ
p
=
.
4π ε0 r
4π ε0 x2 + y 2 + z 2
Man rechnet direkt nach, dass ~k = −grad Φ . Es gilt
folglich nach dem Hauptsatz über Kurvenintegrale
I
~k d~r = 0
C
für alle geschlossenen Kurven, die den Ursprung nicht enthalten. Denn dort
wird ~k singulär!
Wir berechnen als Beispiel das Kurvenintegral entlang des Kreises mit Radius
R


cos t
0 ≤ t ≤ 2π ,
~r (t) = R  sin t  ,
0
der im Zentrum die Singularität von ~k enthält: Wegen x (t) = R cos t
(,→ ẋ (t) = −R sin t), y (t) = R sin t (,→ ẏ (t) = R cos t) und z (t) = 0, folgt
für das Kraftfeld
 
x
1
q
Q
1
1
~k (~r) =

~
r
=
q
Q
y :
3
4π ε0 r3
4π ε0
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
z
11.5 Linien- oder Kurvenintegrale
Z
~k d~r
=
C
1
qQ
4π ε0
Z
2π
(
1
(x2
0
(t) +
y2
3
659
x (t) · ẋ (t)
(t) + z 2 (t)) 2
)
1
+
3
y (t) · ẏ (t)
dt
(x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)) 2
=
=
1
1
qQ 3
4π ε0
R2
Z
1
1
qQ 3
4π ε0
R2
Z
2π
(x (t) ẋ (t) + y (t) ẏ (t)) dt
0
2π
−R2 cos t sin t + R2 sin t cos t dt = 0.
0
Anwendungsbeispiel CD.28 (Spannung).


E1 (x, y, z)
~ (~r) =  E2 (x, y, z)  das elektrostatisches Feld, so gibt das KurveninIst E
E3 (x, y, z)
tegral
Z
Z
~
U=
E d~r =
(E1 dx + E2 dy + E3 dz)
C
C
die Potenzialdifferenz, d.h. die Spannung zwischen Anfangs- und Endpunkt
der Kurve C, an.
660
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Anwendungsbeispiel CD.29 (Magnetfeld eines geraden Leiters).
Ein homogener in z-Richtung liegender, stromdurchflossener Draht erzeugt in der (x, y)-Ebene ein Magnetfeld proportional zu 1r , dessen Richtung tangential
zu den Kreisringen ist:
1
~ = µ0 I −y
B
.
x x2 + y 2
2π
Abb. 11.31.
Stromdurchflossener
Für (x, y) 6= (0, 0), folgt
∂B1
∂B2
y 2 − x2
=
=
2 .
∂y
∂x
(x2 + y 2 )
Leiter
~ ein konservatives Kraftfeld und alle geschlossenen KurvenintegraDaher ist B
le, die den Ursprung nicht enthalten, sind stets Null, was man auch direkt
nachrechnen kann.
Wir berechnen nun den Fall, dass das Kurvenintegral entlang des Kreises mit
Radius R die Singularität (0, 0) umschließt:
Eine Parametrisierung des Kreises ist
cos t
~r (t) = R
0 ≤ t ≤ 2π .
sin t
⇒
Abb. 11.32.
x (t) = R cos t
y (t) = R sin t
(,→ ẋ (t) = −R sin t)
(,→ ẏ (t) = R cos t).
Damit ergibt sich das Kurvenintegral entlang C
I
Z 2π
µ0 I
1
~
B d~r =
(−y (t) ẋ (t) + x (t) ẏ (t)) dt
2
2
2π
C
0 x (t) + y (t)
=
µ0 I 1
2π R2
Z
2π
R2 sin2 t + R2 cos2 t dt = µ0 I.
0
Dieses Integral gibt den durch die Kurve C fließenden Strom I an.
11.6 Oberflächenintegrale
661
11.6 Oberflächenintegrale
In vielen Anwendungen muss der Flächeninhalt von gekrümmten Oberflächen bestimmt werden. Auch bei der Vektoranalysis (→ Kap. 15.8) werden sog. Oberflächenintegrale benötigt,
um den elektrischen, magnetischen oder Massefluss durch eine Oberfläche zu berechnen.
Wir werden im Folgenden gekrümmten Flächen einen Flächeninhalt zuweisen. Darüberhinaus wird der Integralbegriff erweitert, indem auch Integrale von Funktionen entlang eines
Flächenstückes im IR3 behandelt werden. Dies führt auf den Begriff des Oberflächenintegrals.
Abb. 11.33. Parametrisierung einer gekrümmten Fläche
In Anlehnung an die Beschreibung einer Kurve C über die Parameterdarstellung ~r (t) = x (t) ~e1 +y (t) ~e2 +z (t) ~e3 mit einem Parameter definieren wir gekrümmte Flächen über eine Parameterdarstellung mit zwei Parametern (u, v):
Definition: (Fläche). Sei S ⊂ IR2 ein Bereich in der Ebene (z.B. ein
Rechteck) mit den Parametervariablen (u, v) ∈ S (z.B. u1 (v) ≤ u ≤
u2 (v), v1 ≤ v ≤ v2 ). Eine Fläche F ⊂ IR3 wird definiert durch die
Parameterdarstellung
F : ~r (u, v) = x (u, v) ~e1 + y (u, v) ~e2 + z (u, v) ~e3 ,
wenn x, y, z Funktionen der beiden Variablen (u, v) sind. Beim Durchlaufen aller (u, v)-Werte bewegt sich der Punkt P (Abb. 11.33) auf der
Fläche F .
Die Fläche F besteht aus der Menge aller Ortsvektoren ~r (u, v). Man fasst
(u, v) auch als die Koordinaten des Punktes P auf. Wir setzen voraus, dass
11.6
662
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
die Komponenten der Abbildung ~r : IR2 → IR3 , (u, v) 7→ ~r(u, v), stetige partiell
differenzierbare Funktionen sind. Die Tangentialebene im Punkte P wird
∂~
r
∂~
r
durch die Richtungsvektoren ∂u
und ∂v
aufgespannt. Wir schreiben für die
Richtungsvektoren auch kurz




∂u x(u, v)
∂v x(u, v)
∂~r
∂~
r
~ru =
=  ∂u y(u, v)  und ~rv =
=  ∂v y(u, v)  .
∂u
∂v
∂u z(u, v)
∂v z(u, v)
Beispiele CD.30:
① Eine Parallelogrammfläche, die durch die 3 Punkte P0 , P1 , P2 festgelegt wird, hat nach der PunktRichtungsdarstellung einer Ebene die Parameterdarstellung
−−−→
−−−→
~r (P ) = ~r (P0 ) + u P0 P1 + v P0 P2
Abb. 11.34.
mit 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 1.
② Eine Kugelfläche mit Radius R und Mittelpunkt 0 hat mit den Kugelkoordinaten u = ϕ, v = ϑ die Parametrisierung


R cos u cos v
~r (u, v) =  R sin u cos v 
R sin v
mit 0 ≤ ϕ ≤ 2π und − π2 ≤ ϑ ≤ π2 .
Um die Oberfläche der gekrümmten Fläche F zu bestimmen, zerlegen wir den
Grundbereich S in Rechtecke mit Seitenlängen (∆u, ∆v). Mit dieser Zerlegung
von S unterteilen wir das Flächenstück F in sog. Flächenelemente ∆Fi :
Abb. 11.35. Flächenelement ∆Fi
Der Inhalt jedes Flächenelementes
∆Fi wird angenähert durch die Parallelo
grammfläche Fp = ~a × ~b des von den Richtungsvektoren ~a und ~b aufgespann-
11.6 Oberflächenintegrale
663
ten Parallelogramms. In linearer Näherung gilt nach dem Taylorschen Satz
(n = 1)
∂~r
~a = ~r (u + ∆u, v) − ~r (u, v) ≈
· ∆u
∂u
~b = ~r (u, v + ∆v) − ~r (u, v) ≈ ∂~r · ∆v.
∂v
∂~r
∂~r ⇒ ∆Fi ≈ ~a × ~b ≈ ×
∆u ∆v.
∂u ∂v ∂~
r
∂~
r
× ∂v
steht senkrecht auf der Tangentialebene. Man beDer Vektor ~n := ∂u
zeichnet ihn als den Normalenvektor der Fläche F im Punkte P (u, v). Das
Vorzeichen dreht sich um, wenn man die Reihenfolge der Parameter u und v
vertauscht, da ~rv × ~ru = −~ru × ~rv .
Summiert man alle Teilflächen ∆Fi auf
n X
∂~r
∂~r
Zn =
∂u (Pi ) × ∂v (Pi ) ∆u ∆v
i=1
ist diese Zwischensumme eine Näherung für die Oberfläche von F . Diese Näherung wird umso besser, je feiner die Unterteilung der Fläche S ist. Für ∆u →
0, ∆v → 0 nennt man
ZZ
(F )
ZZ
dF =
|~ru (u, v) × ~rv (u, v)| du dv
(S)
das Oberflächenintegral der Fläche F . Dies ist ein Doppelintegral über
die Funktion |~ru × ~rv | im Bereich S, wie wir es in §11.1 eingeführt haben.
664
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Beispiele CD.31:
① Gesucht ist die Oberfläche der Halbkugel mit Radius
R. Mit der Parametrisierung aus Beispiel CD.30 ② ist


cos u cos v
~r (u, v) = R  sin u cos v  :
sin v
Abb. 11.36.




− sin u cos v
− cos u sin v
~ru = R  cos u cos v  , ~rv = R  − sin u sin v  .
0
cos v
⇒ ~ru × ~rv = R2 cos v (cos u cos v ~e1 + sin u cos v ~e2 + sin v ~e3 )
⇒ |~ru × ~rv | = R2 cos v.
Setzt man dies in das Oberflächenintegral ein, gilt:
ZZ
Z π/2 Z 2π
Z π/2
dF =
R2 cos v du dv = 2π R2
cos v dv = 2π R2 .
v=0
u=0
v=0
(F )
② Gesucht ist die Oberfläche des Kreiskegels z = R −
p
x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ R. Mit
x=u
y=v √
z = R − u2 + v 2 ,
u2 + v 2 ≤ R 2 ,
Abb. 11.37.
erhält man eine Parametrisierung von S bzw. F . Daher
ist






1
0
u



 ⇒ ~ru = 
1
0
~r (u, v) = 

 , ~rv = 

√v
−v
−u
√
√
R − u2 + v 2
2
2
2
2
u +v
u +v


⇒ ~ru × ~rv = 
√ u
u2 +v 2
√ v
u2 +v 2

√

 ⇒ |~ru × ~rv | = 2
1
ZZ
⇒
(F )
ZZ √
√
2 du dv = 2 π R2 .
dF =
(S)
11.6 Oberflächenintegrale
665
11.6.1 Oberflächenintegral eines Vektorfeldes
Abb. 11.38. Fluss einer strömenden Flüssigkeit durch eine Fläche F
Ist ~v (x, y, z) das Geschwindigkeitsfeld z.B. einer strömenden Flüssigkeit, dann
gibt das Skalarprodukt
~v · ~n = ~v · (~ru × ~rv ) ∆u ∆v
die pro Zeiteinheit 4t durch das Flächenstück ∆F durchtretende Flüssigkeitsmenge an. Die Anteile der Flüssigkeit, die parallel zur Oberfläche fließen, treten
nicht durch die Fläche hindurch! Der Fluss von ~v durch die Fläche F ist dann
näherungsweise
N
X
k=1
~vk ~nk =
N
X
~vk · (~ru × ~rv ) ∆u ∆v ,
k=1
wenn über alle Flächenelemente ∆Fi aufsummiert wird. Im Grenzfall N → ∞
(d.h. ∆u → 0 und ∆v → 0) erhält man das Oberflächenintegral
ZZ
~v dF~ .
(F )
666
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Definition: (Oberflächenintegral). Ist ~v (~r) ein Vektorfeld über der
Fläche F , die in der Parametrisierung ~r (u, v) mit (u, v) ∈ S vorliegt,
dann bezeichnet
ZZ
ZZ
~
~v dF =
~v (~r (u, v)) · (~ru × ~rv ) du dv
(F )
(S)
das Oberflächenintegral (falls es existiert) von ~v (~r) über der Fläche F .
Bemerkungen:
(1) Existiert das Oberflächenintegral, dann ist es unabhängig von der speziell
gewählten Parametrisierung von S.
(2) Ist F eine geschlossene Fläche (z.B. die Oberfläche eines Körpers), dann
schreibt man statt
ZZ
I
~v dF~ auch
~v dF~ .
(F )
(F )
(3) Häufig ist die Fläche F nicht in einer Parameterdarstellung gegeben, sondern in einer expliziten
Darstellung z = f (x, y). Dann muss man sie zur
RR
Berechnung von
~v dF~ erst parametrisieren. Eine Möglichkeit ist immer
(F )


u
.
x = u , y = v , z = f (u, v) zu setzen mit ~r (u, v) := 
v
f (u, v)
Anwendungsbeispiel CD.32 (Massenstrom, mit Maple-Worksheet).
Sei ~v das Geschwindigkeitsfeld eines strömenden Mediums. Dann gibt
ZZ
~ das Volumen und
~v dA
(F )
ZZ
ρ
~ die Masse pro Zeiteinheit an,
~v dA
(F )
die durch die Oberfläche F fließt, wenn ρ die homogene Dichte des Materials ist.
11.6 Oberflächenintegrale
667
Gegeben ist das Geschwindigkeitsfeld eines strömenden Mediums


x

~v (~r) =  p y
2
2
x +y
das durch eine Halbkugelfläche x2 +y 2 +z 2 = R (z > 0) fließt. Welche Masse
ist in 2 Zeiteinheiten durch die Oberfläche geflossen (ρ = 1)?
Eine Parametrisierung der Kugeloberfläche ist nach Beispiel CD.30 ②:


cos u cos v
0 ≤ u ≤ 2π
~r (u, v) = R  sin u cos v 
0 ≤ v ≤ π2
sin v
mit dem Normalenvektor


cos u cos v
~ru × ~rv = R2 cos v  sin u cos v  .
sin v

⇒ ~v (~r) · (~ru × ~rv )



R cos u cos v
cos u cos v
 R sin u cos v  · R2 cos v ·  sin u cos v 
R cos v
sin v
3
2
R cos v cos v + cos v sin v .
=
=
Der Fluss
RR
~v dF~ ergibt sich daher zu
(F )
ZZ
~v dF~ =
Z
2π
Z
π/2
~v (~r (u, v)) · (~ru × ~rv ) dv du
u=0
v=0
(F )
=R
3
Z
2π
u=0
2π
= R3
Z
Z
π/2
cos v cos2 v + cos v sin v dv du
v=0
1 du = 2π R3 .
u=0
Die Masse M , die in zwei Zeiteinheiten durch die Oberfläche fließt, ist demnach
M = 2 · 1 · 2π R3 = 4π R3 .
668
11. Integralrechnung bei Funktionen mit mehreren Variablen
Anwendungsbeispiel CD.33 (Magnetischer Fluss).
~ durch eine Fläche A ist
Der magnetische Fluss Φ des Magnetfeldes B
gegeben durch
ZZ
~ dA
~.
Φ=
B
(A)
Gegeben ist das Magnetfeld eines stromdurchflossenen, geraden Leiters


−y
1
~ = µ0 I  x 
.
B
2π
x2 + y 2
0
Abb. 11.39.
Gesucht ist der magnetische Fluss durch die Kreisfläche
A.
~ = ~ru ×~rv du dv
Das Magnetfeld liegt in der (x, y)-Ebene, der Flächenvektor dA
~ · dA
~ = 0 und der
steht senkrecht zur Fläche A, also in z-Richtung. Daher ist B
magnetische Fluss durch die Fläche A gleich Null.
11.7 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle
669
11.7
11.7 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle
Integrations-Befehle von Maple
int(y, x = a..b)
Int(y, x = a..b)
Rb
Berechnung des bestimmten Integrals a y dx.
Inerte Form des int-Befehls: Das Integral wird
symbolisch dargestellt.
value(Int(y, x = a..b))
evalf (Int(y, x = a..b))
Auswertung der inerten Form eines Integrals.
Numerische Berechnung des bestimmten Integrals.
I1:=Int(f, x = g1(y)..g2(y))
I2:=Int(I1, y = b1..b2)
value(I2)
Berechnung des Doppelintegrals
Z b2 Z g2 (y)
f dx dy.
y=b1
x=g1 (y)
I1:=Int(f, z = g1(x, y)..g2(x, y))
I2:=Int(I1, y = h1(x)..h2(x))
I3:=Int(I2, x = a1..a2)
value(I3)
Berechnung des Dreifachintegrals
Z a2 Z h2 (x) Z g2 (x,y)
f dz dy dx.
x=a1
y=h1 (x)
z=g1 (x,y)
Neu erstellte Prozeduren
Drei Int(f, var1 = a..b, var2 = c..d, var3 = e..f )
Berechnung
des Dreifachintegrals
R f R d R b
f
dvar1
dvar2
dvar3.
e
c
a
starr(f, var1 = a..b, var2 = c..d, var3 = e..f, <kartesisch, zylinder, kugel>)
Berechnung des Volumens, der Schwerpunktskoordinaten und der Trägheitsmomente von starren
Körpern, die durch die Parametrisierung
var1 = a..b , var2 = c..d , var3 = e..f
festgelegt werden, sowie das Dreifachintegral
!
!
Z
Z
Z
f
d
b
f dvar1
e
c
dvar2
dvar3 .
a
Für kartesische Koordinaten müssen die Variablen
{x, y, z}, für Zylinderkoordinaten {r, phi, z} und
für Kugelkoordinaten {r, theta, phi} lauten.