O(log n)

Datenstrukturen und
Algorithmen
7. Suchen in linearen Feldern
VO 708.031
Suchen in linearen Feldern
robert.legenstein@igi.tugraz.at
1
Inhalt der Vorlesung
1. Motivation, Einführung, Grundlagen
2. Algorithmische Grundprinzipien
3. Sortierverfahren
4. Halden
5. Gestreute Speicherung
6. Suchen in linearen Feldern
7. Bäume
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2
Suchverfahren
Verfahren, das in einem Suchraum nach Mustern oder Objekten
mit bestimmten Eigenschaften sucht.
Anwendungsbereiche für Suchverfahren:
– Suchen in Datenbanken, Web-Search, DNA-Tests
– Suchen nach ähnlichen Mustern: z.B. Viren, Malware
– Bilderkennungsverfahren: Suchen nach Mustern
– Suchen in Textdateien, ...
Inhalt der VO: einfache Suchverfahren auf Feldern und später
auf Bäumen
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In dieser Vorlesung
1. Statische, kleine Menge: Feld als Datenstruktur
• Ohne Vorsortierung, z.B. A=[34, 4, 99, 13, 42]
– Sequentielle Suche
– Selbstanordnende Felder
• Mit Vorsortierung, z.B. A=[4, 13, 34, 42, 99]
–
–
–
–
Binärsuche
Interpolationssuche
Quadratische Binärsuche
Fastsearch
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In den nächsten VOs
2. Dynamisch, große Menge , effiziente Zugriffe notwendig
• z.B. große Produktdatenbanken, Suchmaschinen, …
• Lösung: Baum als dynamische Datenstruktur (einfügen,
löschen), organisiert als binärer Suchbaum. Suchen in O(h),
wobei h die Baumhöhe ist.
• Effizientes Suchen: Binärer Suchbaum, der eine möglichst
geringe Höhe h garantiert. Sollte möglichst balanziert sein,
z.B. 2-4 Baum, Rot-Schwarz Baum usw.
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4. Suchen in linearen Feldern
1. Ohne Vorsortierung
– Sequentielle Suche
– Selbstanordnende Felder
Wir wollen in einer Datenmenge (lineares Feld A[1..n]) nur
Suchen (statischer Fall, kein Sortieren, Einfügen bzw.
Entfernen)
Input: Feld A[1..n], Wert x.
Output: Index t für das gesuchte Element x.
Falls x ∉ A, wird als Ergebnis -1 ausgegeben
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Sequentielle Suche
• Durchsuche das Feld von Anfang bis Ende
SEARCH(A, x)
1: i ← 0
3: WHILE i<n
4:
i ← i+1
6:
IF A[i]=x THEN
7:
RETURN i
10: RETURN -1
T(n) = Θ(n) im schlechtesten Fall, bzw. im mittleren Fall,
wenn jedes Element gleich oft gesucht wird
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Sequentielle Suche
• Verbesserung der erwarteten Laufzeit:
– Speichere die Elemente A[i] nach ihrer
Zugriffswahrscheinlichkeit pi: p1 ≥ p2 ≥ p3 …
1
 T (n)  (n) (avg. case)
• Gleichverteilung: pi 
n 1
• Exponentielle Verteilung: pi 
1
 T (n)  O(1) (avg. case)
i
2
– Zugriffswahrscheinlichkeiten pi müssen bekannt sein
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Selbstanordnende Felder
• Wenn pi unbekannt: verschiebe Elemente, die häufiger gesucht
werden, nach vorne.
• Bsp. 3 Heuristiken:
Wird auf A[i] zugegriffen,
– vertausche A[i] mit A[1]:
– vertausche A[i] mit A[i-1]:
– Zählen der Zugriffe u. dementsprechend das Feld sortieren
Im Mittel sind diese Methoden zumindest halb so gut wie die Anordnung nach
fallender Zugriffswahrscheinlichkeit bei bekannten pi. Achtung: Ist pi
gleichverteilt, dann sind die Heuristiken ineffizienter als die sequentielle Suche.
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4. Suchen in linearen Feldern
2. Mit Vorsortierung
– Binärsuche
– Interpolationssuche
– Quadratische Binärsuche
– Fastsearch
Input: Feld A[1..n] mit A[1] ≤ A[2] ≤ … ≤ A[n], Wert x
Output: Index t für das gesuchte Element x (A[1] ≤ x ≤ A[n])
Falls x ∉ A, wird als Ergebnis -1 ausgegeben
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Binärsuche
(Binary Bisection Search)
Teile das Feld in zwei gleich große Hälften und vergleiche mit dem mittleren
Element; falls ident → gefunden, sonst suche entweder in der linken (kleiner)
oder rechten Hälfte (größer) weiter
BINSEARCH(von, bis, x)
rekursive Version
1: IF von ≤bis THEN
Aufruf: BINSEARCH(1,n,x)
2:
t ← [ (von+bis)/2 ]
3:
IF x=A[t] THEN
4:
RETURN t
5:
ELSE
6:
IF x<A[t] THEN
7:
RETURN BINSEARCH(von,t-1,x)
8:
ELSE
9:
RETURN BINSEARCH(t+1,bis,x)
10: ELSE RETURN -1
T(n) = T(n/2) + O(1) ⇒ T(n) = O(log n)
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Binärsuche
(Binary Bisection Search)
Teile das Feld in zwei gleich große Hälften und vergleiche mit dem mittleren
Element; falls ident → gefunden, sonst suche entweder in der linken (kleiner)
oder rechten Hälfte (größer) weiter
BINSEARCH_ITERATIVE(A, x)
1: pos ← -1; von ← 1; bis ← n
2: REPEAT
3:
t ← [ (von+bis)/2 ]
4:
IF x=A[t] THEN pos ← t
5:
ELSE
6:
IF x<A[t] THEN bis ← t-1
7:
ELSE von ← t+1
8: UNTIL (pos ≠ -1) OR (von>bis)
9: RETURN pos
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iterative Version
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Interpolationssuche
Suche nicht in der Mitte, sondern dort, wo das Element „sein sollte“, unter
der Annahme, dass die Werte linear steigen
A[bis]
x
A[von]
von
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t
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bis
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Interpolationssuche
Suche nicht in der Mitte, sondern dort, wo das Element „sein sollte“, unter
der Annahme, dass die Werte linear steigen
INTSEARCH(von, bis, x)
1: IF A[von] < A[bis] THEN
2:
t ← von +
3:
IF x=A[t] THEN Return t
4:
ELSE
5:
IF x<A[t] THEN
6:
RETURN INTSEARCH(von, t-1,x)
7:
ELSE
8:
RETURN INTSEARCH(t+1,bis,x)
9: ELSE
10: IF x=A[von] THEN RETURN von
11: ELSE RETURN -1
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rekursive Version
Aufruf:
INTSEARCH(1,n,x)
Erwartete Laufzeit:
T(n) = O(log log n)
Worst-case:
T(n) = Θ(n)
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Quadratische Binärsuche
Idee: Verhindere den worst-case der Interpolationssuche durch Anwendung
der Interpolationssuche auf n Teilfelder der Länge n
• Berechne Index t durch Interpolationssuche:
• Suche von t aus das korrekte Teilfeld (in Sprüngen von
dort aus weiter:
n ) und suche von
Identifizieren des korrekten Teilfeldes in O(1) erwarteter Zeit
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Quadratische Binärsuche
rekursive Version
Aufruf:
QUADSUCH(1,n,x)
Erwartete Laufzeit:
(Teilfeld in O(1) Zeit)
T(n) = O(log log n)
Worst-case:
(alle Teilfelder probiert)
T(n) = O( n )
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FastSearch
Kombination von Binärsuche und Interpolationssuche mit O(log log n) im
mittleren Fall und O(log n) im schlechtesten Fall (zumindest immer so gut wie
das bessere der beiden Verfahren)
A
von
mB
Binärsuche
Suchen in linearen Feldern
B
C
mI
bis
Interpolationssuche
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FastSearch
Kombination von Binärsuche und Interpolationssuche mit O(log log n) im
mittleren Fall und O(log n) im schlechtesten Fall (zumindest immer so gut wie
das bessere der beiden Verfahren)
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Laufzeitverhalten der Suchverfahren
Mittlerer Fall
Schlechtester Fall
O(log n)
O(log n)
Interpolationssuche
O(log log n)
O(n)
Quadratische Binärsuche
O(log log n)
O( n )
„FastSearch“
O(log log n)
O(log n)
Binärsuche
Speicherbedarf:
• Rekursive Algorithmen: proportional zur Laufzeit (Rekursionstiefe)
• Iterative Algorithmen: O(1)
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Laufzeitverhalten der Suchverfahren
Beispiel: Anzahl der Vergleiche für 109 Elemente
Mittlerer Fall
Schlechtester Fall
Binärsuche
30
30
Interpolationssuche
5
1.000.000.000
Quadratische Binärsuche
5
32.000
„FastSearch“
10
60
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