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"che97bol@studserv.uni-leipzig.de" <che97bol@studserv.uni-leipzig.de>
Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie)
sin2x + cos2x = 1
Trigonometrischer Pythagoras
sin2x2 + cos2x2 = 1
Darstellung des Sinus mit Hilfe von anderen Winkeln
sin x = ± √(1 - cos2x)
tan x
sin x = ±
√(1 + tan2x)
1
sin x = ±
√(1 + cot²x)
tan x * cot x = 1
Darstellung des Kosinus mit Hilfe von anderen Winkeln
cos x = ± √(1 - sin²x)
1
cos x = ±
√(1 + tan²x)
cot x
cos x = ±
√(1 + cot²x)
Darstellung des Tangens mit Hilfe von anderen Winkeln
sin x
tan x = ±
tan x = ±
√(1 - sin²x)
√(1 - cos²x)
cos x
1
tan x = ±
cot x
Darstellung des Kotangens mit Hilfe von anderen Winkeln
cot x = ±
√(1 - sin²x)
sin x
cos x
cot x = ±
√(1 - cos²x)
1
cot x = ±
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tan x
Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck
x:= alpha y:=beta
a
sin x =
"Gegenkathete / Hypotenuse”
c
b
sin y =
= cos x
c
b
cos x =
"Ankathete / Hypotenuse"
c
a
cos y =
= sin x
c
a
tan x =
"Gegenkathete / Ankathete"
b
b
tan y =
= cot x
a
b
cot x =
"Ankathete / Gegenkathete"
a
a
cot y =
= tan x
b
Komplementwinkelbeziehung
sin (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sin x
tan (90° - x) = cot x
cot (90° - x) = tan x
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Additionstheoreme
sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y
cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y
tan x + tan y
tan (x + y) =
1 - tan x * tan y
cot x * cot y - 1
cot (x + y) =
cot x + cot y
sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x
cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
tan x - tan y
tan (x - y) =
1 + tan x * tan y
cot x * cot y + 1
cot (x - y) =
cot y - cot x
Funktionen des doppelten Winkels
2 tan x
1 + cot2 x
sin 2x = sin (x + x) = 2 sin x * cos x =
=
2cot x
1+tan2 x
cos 2x = cos (x + x) = 1 - 2 sin²x = 2 cos2x -1 = cos2 x - sin2 x
2 tan x
tan 2x =
1 - tan²x
cot²x - 1
cot 2x =
2 cot x
Extra: sin 3x = sin (x + 2x)
= sin x * cos 2x + cos x * sin 2x
= sin x(1 - 2 sin²x) + cos x * 2 sin x * cos x
= sin x - 2 sin3x + 2 sin x cos²x
= sin x - 2 sin3x + 2 sin x (1 - sin²x)
= 3 sin x - 4 sin3x
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Funktionen des halben Winkels
x
x
sin x = sin
x
+
x
= 2sin
2
2
x
* cos
2
x
cos x = cos
x
= 2cos2
+
2
2
x
- 1 = cos2
2
2
x
= cos2
2
sin2
2
x
2
x
-
1 - cos2
2
x
= ±
cos
2
=±
√ 1 - cos x
2
x
tan
1 + cos x
2
x
sin
√
2
√
= ±
1 - cos x
2
1 + cos x
x
√ 1 + cos x
= ±
1 - cos x
cot
2
/6 π
30°
1
/2 √1
1
/2 √3
√3
/3
3
/√3
1
x
sin x
cos x
tan x
cot x
0°
1
/2 √0
1
/2 √4
√0
/3
n.d.
1 - cos x
=
sin x
Man beachte bei der folgenden Tabelle
die Struktur der Radikanten, deswegen wurde
nicht gekürzt
1
/4 π
45°
1
/2 √2
1
/2 √2
√9
/3
3
/√9
/3 π
60°
1
/2 √3
1
/2 √1
√27
/3
3
/√27
1
/2 π
90°
1
/2 √4
1
/2 √0
n.d.
0
1
π
180°
0
-1
0
n.d.
Umwandlung von Summen von Winkelfunktionen in Produkte
(I) sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y ¦ (I) + (II) = (III)
(III) sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin x * cos y
3
/2 π
270°
-1
0
0
2π
360°
0
1
0
n.d.
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a = x + y (1')
b = x - y (2')
a + b = 2x
a+b
a=
2
a+b
b-a
y=a -
=
2
2a
2
a+b
2a - a - b
2
=
2
2
a+b
sin a + sin b = 2 sin
2
b-a
* cos
2
(I) sin (x + y) = sin x * cos y + sin y * cos x ¦
(II) sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x ¦ (I)-(II)
a+b
a-b
* sin
2
sin x - sin y = 2 cos
2
sin (x + y)
tan x + tan y =
cos x * cos y
sin (x - y)
tan x - tan y =
cos x * cos y
sin (y + x)
cot x + cot y =
sin x * sin y
sin (y - x)
cot x - cot y =
sin x * sin y
x+y
cos x + cos y = 2cos
x-y
*cos
2
x+y
cos x - cos y = - 2sin
2
x-y
*sin
2
2
Quadrantenbeziehungen
I
x
II
180° - x
III
180° + x
IV
360° - x
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sin
sin x
sin x
- sin x
- sin x
cos
cos x
- cos x
- cos x
cos x
tan
tan x
- tan x
tan x
- tan x
cot
cot x
- cot x
cot x
- cot x
Sinussatz der ebenen Trigonometrie
Satz: In jedem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Sinus zweier Winkel gleich dem dem
Verhältnis der gegenüberliegenden Seiten.
x:= alpha
a
y:= beta
b
=
sin x
z:= gama
c
=
sin y
R:= Radius des Umkreises
= 2R
sin z
Der Kosinussatz
In jedem ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten
vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des (von diesen Seiten)
eingeschlossenen Winkels.
c² = a² + b² -2ab * cos z
a² = b² + c² -2bc * cos x
b² = a² + c² -2bc * cos y
Kosinusformeln
a = b cos z + c cos y
b = a cos z + b cos x
c = a cos y + b cos x
Tangensformeln
a sin y
tan x =
c - a cos y
a sin z
tan x =
b - a cos z
b sin z
tan y =
a - b cos z
b sin x
Projektionssatz
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tan y =
c - b cos x
c sin y
tan z =
a - c cos y
c sin x
tan z =
b - c cos x
Mollweidsche Formeln (Karl Mollweide 1744 - 1825, Mathemat. u Astronom)
x
y-z
(b + c) * sin
= a cos
2
2
y
z-x
(a + c) * sin
= b cos
2
2
z
x-y
(a + b) * sin
= c cos
2
2
x
y-z
(b - c) * cos
= a sin
2
2
y
z-x
(c - a) * cos
= b sin
2
2
z
(a - b) * cos
x-y
= c sin
2
2
Nepersche Gleichungen (J.Neper engl. Mathemat. 1550-1617)
x+y
a+b
tan
2
=
x-y
a-b
tan
2
y+z
b+c
tan
2
=
y-x
b-c
tan
2