Methodenlehre - Johannes Gutenberg

Statistik &
Methodenlehre
e ode e e
Prof. Dr. G. Meinhardt
6. Stock, Wallstr. 3
((Raum 06-206))
Sprechstunde jederzeit
nach Vereinbarung und
nach der Vorlesung.
g
Mathematische und
statistische Methoden II
Dr. Malte Persike
 persike@uni-mainz.de
 http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/methods/
SS 2010
Fachbereich Sozialwissenschaften
Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Statistik &
Methodenlehre
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Experimente
Von Variablen zu Zufallsvariablen

Eine Variable wird zur Zufallsvariablen, wenn ihre
A
Ausprägungen
ä
als
l F
Folge
l eines
i
Z f ll
Zufallsexperimentes
i
t
gemessen werden.

(Zufalls )experiment = Ein Satz von Regeln,
(Zufalls-)experiment
Regeln unter
denen eine bestimmte Handlung ausgeführt wird
(Bedingungskomplex Ξ, „Xi“)

Der konkrete Ausgang eines Zufallsexperimentes ist apriori unbestimmt, nicht aber seine möglichen Augänge.

Trial = Eine Durchführung des Experimentes

Ergebnis = Mögliches Resultat der Durchführung

Ereignis = Jede beliebige Kombination von Ergebnissen
Zufallsvariablen
(Ereignisse sind immer aus Ergebnissen zusammengesetzt)
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Methodenlehre
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Grundlagen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Experimente
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Beispiel I: Experiment = Einmaliger Münzwurf
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Definition eines Zufallsexperimentes: 
Mögliche Ergebnisse eines
T i l Kopf,
Trials:
K f Z
Zahl,
hl Seite
S it
Durchführung eines Trials
und Feststellung des
Ergebnisses:
g
Zahl
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Experimente
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Beispiel II: Würfelwurf

Zufallsexperiment (Ξ): Ein sechsseitiger Würfel ist einmal
zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben.
E b i iistt di
Ergebnis
die A
Augenzahl
hl d
der oben
b liliegenden
d S
Seite.
it

Trial: Der einmalige Wurf des Würfels

Ergebnis: Die beobachtete Augenzahl (1 bis 6)

Ereignisse: „1
1“, „4
4“, „Augenzahl
Augenzahl ≤ 3
3“, „ungerade
ungerade Zahl“
Zahl ,
„irgendeine Zahl“
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Experimente
Von Variablen zu Zufallsvariablen
Beispiel III: Zulassung zum Psychologiestudium

Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden 44
verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist
die Menge der 44 Personen
Personen.

Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen

Ergebnis: Die ausgewählte Menge von 44 Personen

Ereignisse: Kombinationen aus allen möglichen Mengen
„
44 Besten“,, „die
„
44 Besten
von 44 Personen,, z.B. „die
oder die 44 Schlechtesten“, „jede Auswahl von 44
Personen aus den besten 371“

Achtung:
A
ht
Di D
Die
Durchführung
hfüh
von 44 T
Trials
i l d
des
Zufallsexperimentes „Aus 742 Bewerbern wird 1 Person
ausgewählt“ ist ein anderes Experiment.
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
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Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Ergebnisse & Ereignisse
Verbindung zur Mengenlehre

Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind immer
M
Mengen.
Di
Diese M
Mengen kö
können auch
h nur aus einem
i
Element bestehen.

Beispiel I:
I Ergebnisse eine einmaligen Würfel
Würfelwurfes
rfes
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Beispiel II: Ergebnisse eine zweimaligen Würfelwurfes
{1,1}, {1,2},…, {2,1}, {2,2},…, {6,5}, {6,6}

Beispiel III: Ergebnisse eines IQ-Tests
{0}, {1}, {2}, …, {100}, {101}, …
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Grundlagen
Ereignisse
g
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Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Ergebnisse & Ereignisse
Verbindung zur Mengenlehre

Ergebnisse sind konkrete Beobachtungen in einem
Zufallsexperiment

Ein mögliches Ergebnis aus der Menge aller
möglichen Ergebnisse heißt Elementarereignis

Definition: Elementarereignis = die kleinste Einheit
j
Ereignisse,
g
, in die sich mögliche
g
disjunkter
Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zerlegen lassen

Zwei Ereignisse
g
E1 und E2 heißen disjunkt
j
((paarweise
unvereinbar), wenn gilt
E1  E2  
„unmögliches Ereignis“
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Grundlagen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Ergebnisse & Ereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
Beispiel I:
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Beim Wurf eines Würfels sind die Ereignisse
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Elementarereignisse, nicht aber {2,
Elementarereignisse
{2 4,
4 6} und {1,
{1 4,
4 5},
5}
denn
2,4,6  1,4,5  4
Beispiel II:
Beim Wurf zweier Würfel sind die Ereignisse
{1,1}, {1,2},…, {2,1}, {2,2},…, {6,5}, {6,6}
Elementarereignisse.
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Ergebnisse & Ereignisse
Verbindung zur Mengenlehre

Die vollständige Menge der Elementarereignisse eines
Z f ll
Zufallsexperimentes
i
t heißt
h ißt Stichprobenraum
Sti h
b
Ω
Ω.

Der Stichprobenraum umfasst alle
Elementarereignisse (also alle möglichen
Ergebnisse) eines Zufallsexperimentes

Der Stichprobenraum ist eine Menge

Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen
Würfelwurf ist
Zufallsvariablen
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Ergebnisse & Ereignisse
Verbindung zur Mengenlehre

Die Potenzmenge zum Stichprobenraum heißt SigmaAlgebra σ

σ enthält alle möglichen Kombinationen aus allen
Elementarereignissen

Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis 

Beispiel: Einmaliger Münzwurf
Ausprägungen:
K, Z, S
Stichprobenraum: Ω = {K, Z, S}
Sigma-Algebra:
σ = {, K, Z, S, {K,Z},
{K S {Z
{K,S,
{Z,S},
S} {K
{K,Z,S}}
Z S}}
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Grundlagen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Ergebnisse & Ereignisse
Verbindung zur Mengenlehre
  ,0 ,1 ,2 ,0,1 ,0,2 ,1,2 ,0,1,2  
Die σ–Algebra erfüllt das Kriterium der Abgeschlossenheit
für das betrachtete Zufallsexperiment.
Es erfüllt folgende Axiome (E sei ein Ereignis aus σ ):
1. Ω  σ und   σ
Sicheres/unmögliches Ereignis in σ
2. Wenn E  σ, dann auch Ω \ E  σ
3. E1  E2  …  En  σ
und E1  E2  …  En  σ
Komplementereignis in σ
Vereinigungs-/Schnittmenge in σ
Also: Alle denkbaren Ausgänge des Zufallsexperimentes und
Kombinationen daraus sind in σ enthalten.
Frage: Was ist hier die Zufallsvariable?
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Grundlagen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Zufallsvariablen
Definitionen
Ereignisse
g
&
Algebren
 Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung
(„bijektiv“) der Elemente des Stichprobenraums 
auf eine Menge von Zahlen.
Zufallsvariablen
 Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben
gekennzeichnet (X, Y, …)
 Eine Zufallsvariable wird z.B. als X() geschrieben,
wobei das „ ()“ oft weggelassen wird.
 X() kann als mathematische Funktion
aufgefasst werden, die jedem möglichen
Elementarereignis eine Zahl zuordnet
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Grundlagen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Zufallsvariablen
Definitionen
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
 Beispiel:
  K , Z , S
0, wenn "K"

X      1,
1 wenn "Z"
Z
 2, wenn "S"

 Die Menge der möglichen Funktionswerte X(Ω) ist
damit der Wertebereich der Zufallsvariablen.
 Die Feststellung einer Ausprägung von X(Ω) wird
als Messung bezeichnet, die gemessenen Zahlen
als Messwerte
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Grundlagen
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Zufallsvariablen
Prinzip
Ereignisse
g
&
Algebren
Zufallsvariablen
Beispiel:
p
Experiment
p
= Eimaliger
g Münzwurf
Definition eines Zufallsp

experimentes:
Mögliche Ergebnisse eines
Trials: Kopf, Zahl, Seite
Durchführung eines Trials
und Feststellung der
Realisation: Zahl
Definition des
Stichprobenraums 
Definition einer Zufallsvariablen X()
Messung: X = 1
Frage: Was bedeutet „zufällig“?
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Laplace
Abzählprinzipien
Kolmogoroff
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Geschichte der WT
 Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat,
Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und
K bi
Kombinatorik.
ik
 Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace, Gauss,
P i
Poisson:
F
Fehlertheorie,
hl th i B
Ballistik,
lli tik P
Pop.stat.
t t
 Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der WTheorie Fundament in axiomatischen Aufbau
Theorie,
(Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse
(Wiener, Markoff, Chintchin).
 Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung:
Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik,
Epidemiologie Materialprüfung
Epidemiologie,
Materialprüfung, Statik
Statik, Personalauswahl
Personalauswahl,
psychologische Testung, Versuchsplanung und
Stichprobentheorie.
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Laplace
Abzählprinzipien
Kolmogoroff
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits
definition von Laplace
 Grundannahme: Alle Elementarereignisse in Ω sind
gleichmöglich.
 Jedem Ereignis E,
E welches der σ-Algebra
Algebra angehört
angehört, kann
so eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden.
m = Mächtigkeit der Menge an
m
p( E ) 
n
gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis
von E sind.
n
= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller
Elementarereignisse aus Ω)
 Die Wahrscheinlichkeit ist demnach eine auf der σ-Algebra
definierte mathematische Funktion p(E).
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Laplace
Abzählprinzipien
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits
definition von Laplace
Folgerungen aus der Definition von p(E)
1. Für jedes Ereignis E aus der σ-Algebra gilt:
p(E) ≥ 00, weil weder m noch n negativ werden können
Kolmogoroff
2. Für das sichere Ereignis gilt:
p(Ω) = 1, weil hier m = n
3 Ist ein Ereignis E zerlegbar in die Elementarereignisse A1,
3.
A2, … Ai so gilt:
p(E) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ai)
Additionstheorem der Wahrscheinlichkeiten
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Laplace
Abzählprinzipien
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits
definition von Laplace
Folgerungen aus der Definition von p(E)
4. Für E g
gilt also:
Kolmogoroff
0 ≤ p(E) ≤ 1
5. Für das Komplement E von E gilt:
p(E) = 1 – p(E)
6. Für die Wahrscheinlichkeit von E oder E gilt:
p(E) + p(E) = 1
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Laplace
Abzählprinzipien
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits
definition von Laplace
Beispiele
 Summe von 2 Würfelwürfen
Kolmogoroff
 Anzahl von „Zahl“ bei 3 Münzwürfen
 Frage
g des Landsknechts an Huygens
yg
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Laplace
Abzählprinzipien
Kolmogoroff
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits
definition von Laplace
Abzählprinzipien
Kann man einen Vorgang k-mal wiederholen, und
zwar zunächst auf n1 Weisen,
Weisen danach auf n2 Weisen,
Weisen
zuletzt auf nk Weisen ausführen, dann gibt es
insgesamt
N= n1 · n2 · … · nk
verschiedene Möglichkeiten für die gesamte Sequenz.
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Laplace
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Abzählprinzipien
b ä p
pe
Permutationen – Beachtung der Reihenfolge
Abzählprinzipien
Kolmogoroff
Für die
Fü
di Anordnung
A d
von n unterscheidbaren
t
h idb
El
Elementen
t
in einer Reihe mit Zurücklegen gibt es
N = nk = n · n · … · n
Reihenfolgen.
k mal
k-mal
Für die Anordnung von n unterscheidbaren Elementen
in einer Reihe ohne Zurücklegen gibt es
N = n · n-1 · n-2 · … · 1
Reihenfolgen.
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Laplace
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Abzählprinzipien
b ä p
pe
Permutation und der Fakultätsbegriff
Abzählprinzipien
Permutation können in Fakultätsnotation
geschrieben werden als:
N = n! = n · n-1 · n-2 · … · 1
Kolmogoroff
Oder kurz:
n
n!   i
i 1
sprich:
„n Fakultät“
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Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Abzählprinzipien
b ä p
pe
Permutationen mit Restriktion
Abzählprinzipien
Sollen nur k der n Elemente angeordnet werden, gibt es
N = n · n-1
n 1 · n-2
n 2 · … · (n – k + 1)
Reihenfolgen
Reihenfolgen.
Kolmogoroff
Dies kann einfacher berechnet werden als
n!
N
(n  k )!
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Laplace
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Abzählprinzipien
b ä p
pe
Kombination – keine Beachtung der Reihenfolge
Abzählprinzipien
Kolmogoroff
Für die Anordnung von k Elementen aus einer Menge
von n unterscheidbaren Elementen ohne
Zurücklegen gab es
n!
N
(n  k )!
Reihenfolgen.
Ohne Beachtung
g der Reihenfolge
g g
gibt es nur noch
N
N'
k!
Möglichkeiten
Möglichkeiten.
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Laplace
Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Abzählprinzipien
Kombination und der Binomialkoeffizient
Abzählprinzipien
Kolmogoroff
Für die Anordnung von k Elementen aus einer Menge
von n unterscheidbaren Elementen ohne
Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
( Kombination“) gibt es also
(„Kombination“)
n
n!
N  
 k  k !(n  k )!
n
N  
k 
Reihenfolgen.
(lies: „n über k) heißt
Binomialkoeffizient
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Zufallsexperimente
Wk-Theorie
Abzählprinzipien
Zusammenfassung
Abzählprinzipien
Wiederholung
Kolmogoroff
Reihenfolge
mit
ohne
wichtig
nk
n!
(n − k)!
egal
n + k− 1
k
=
(n + k− 1)!
k!(n − 1)!
n
k
=
n!
k!(n − k)!
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Relevante Excel Funktionen
 Kombinatorik
• FAKULTÄT()
• KOMBINATIONEN()