t(1) - Physikalischer Verein

Spezielle Relativitätstheorie
die wunderbare Welt des vierdimensionalen
Raum-Zeit-Kontinuums
Seminar des Physikalischen Vereins
Frankfurt am Main
2012
Rainer Göhring
W. Wien:
Über der Eingangspforte
zur
Speziellen Relativitätstheorie
steht nicht
„Jedem Nichtmathemathiker
ist der Eintritt verwehrt“
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-2
Newtons Raum- und Zeitbegriff
• Koordinatensysteme
• Inertialsysteme
• Raum-Zeit-Diagramm
• Kinematik der klassischen
Mechanik
• Galilei-Transformation
• Suche nach dem Äther
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-3
Newtons Raum- und Zeitbegriff
Koordinatensysteme
z
A
x
y
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r.goehring@arcor.de
I-4
Newtons Raum- und Zeitbegriff
Raum-Zeit-Diagramme
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-5
Newtons Raum- und Zeitbegriff
Suche nach dem Äther
Quelle: Wikipedia
© Dr. R. Göhring
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I-6
Einstein‘s Raum und Zeitbegriff
Raum
Zeit
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-7
Einstein‘s Raum und Zeitbegriff
Längenkontraktion
Zeitdilatation
Optik bewegter Körper
E = m·c2
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I-8
Schein
Wirklichkeit
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I-9
Literaturempfehlung
•
M. Born: Die Relativitätstheorie Einsteins,
Springer Verlag 2003
•
R. Sexl, H.K. Schmidt: Raum – Zeit – Relativität,
Springer Verlag 2000
•
J. Stachel (Hg.): Einsteins Annus mirabilis – fünf Schriften, die die Welt
der Physik revolutionierten,
Rowolth Taschenbuch Verlag 2005
•
A. Einstein: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie,
Vieweg Verlag 1999
•
A. Einstein, L. Infeld: Die Evolution der Physik,
Rowolth Taschenbuch Verlag 1995
•
R. P. Feynman: Physikalische Fingerübungen für Fort-geschrittene, Piper
Verlag 2006
•
H.-P. Nollert, H. Ruder: Was Einstein gerne gesehen hätte,
Spektrum Spezial 3/2005
•
G. Beyvers, E. Krusch: Kleines 1x1 der Relativitätstheorie, Springer
Verlag 2009
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r.goehring@arcor.de
I-10
Organisatorisches
• Teilnehmerliste, bitte eintragen
• Skriptum
– zu finden auf den Internetseiten des Physikalischen Vereins:
http://www.physikalischer-verein.de/pv/seminare.htm
– bei Interesse: Papierversion zum Selbstkostenpreis
Umfang 160 Seiten oder
– so sieht das Skriptum im Internet aus
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r.goehring@arcor.de
I-11
Newtons Raum- und Zeitbegriff
• Koordinatensysteme
• Inertialsysteme
• Raum-Zeit-Diagramm
• Kinematik der klassischen
Mechanik
• Galilei-Transformation
• Suche nach dem Äther
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r.goehring@arcor.de
I-12
Absolute Zeit
Die absolute,
wahre und
mathematische Zeit
verfließt an sich und
vermöge ihrer Natur
gleichförmig und ohne
Beziehung auf irgend einen
äußeren Gegenstand. Sie
wird auch mit dem Namen
Dauer belegt.
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r.goehring@arcor.de
I-13
Der absolute Raum
Der absolute Raum bleibt
vermöge seiner Natur
und ohne Beziehung auf
einen äußeren Gegenstand stets gleich und
unbeweglich.
Der relative Raum ist ein
Maß oder ein beweglicher
Teil des ersten, welcher
von unseren Sinnen
durch seine Lage gegen
andere Körper bezeichnet
und gewöhnlich für den
unbeweglichen Raum
genommen wird.
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r.goehring@arcor.de
I-14
Newton‘sche Axiome
•
Erstes Axiom („lex prima“):
Jeder Körper verharrt im Zustand der
Ruhe bzw. der geradlinig-gleichförmigen
Bewegung, solange keine äußere Kraft
auf ihn wirkt.
•
Zweites Axiom („lex secunda“):
Die Änderung der Bewegung einer Masse
ist der Einwirkung der bewegenden Kraft
proportional und geschieht nach der
Richtung derjenigen geraden Linie, nach
welcher jene Kraft wirkt.
•
Drittes Axiom („lex tertia“):
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt
ein Körper A auf einen anderen Körper B
eine Kraft aus (actio), so wirkt eine
gleichgroße, aber entgegen gerichtete
Kraft von Körper B auf Körper A
(reactio): actio = reactio
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


F  m  a  m  v


FA B  FB  A
I-15
Absolute und relative Bewegung
• „Die absolute Bewegung ist die Übertragung des Körpers
von einem absoluten Ort nach einem andern absoluten Ort,
die relative Bewegung die Übertragung von einem
relativen Ort nach einem andern relativen Ort.“
• „. . . So bedienen wir uns, und nicht unpassend, in
menschlichen Dingen statt der absoluten Orte und
Bewegungen der relativen, in der Naturlehre hingegen muß
man von den Sinnen abstrahieren. Es kann nämlich der Fall
sein, daß kein wirklich ruhender Körper existiert, auf
welchem man die Orte und Bewegungen beziehen kann.“
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I-16
Inertialsysteme
• Das Trägheitsaxiom definiert ein System, in dem die 3
Axiome gelten: ein Inertialsystem
• Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik:
Die Gesetze der klassischen Mechanik gelten unverändert in
Inertialsystemen, die sich relativ zueinander mit konstanter
Geschwindigkeit bewegen.
• Es gibt kein bevorzugtes Bezugssystem und keine
Möglichkeit, eine Geschwindigkeit absolut zu messen.
• Wenn ein System Rotation oder beschleunigte Translation
ausführt, treten Scheinkräfte auf (Zentrifugalkraft, Corioliskraft).
Beschleunigte Bezugssysteme stellen im System der
klassischen Mechanik keine Inertialsysteme dar.
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I-17
Koordinatensysteme - Kartesische
Koordinaten
z1
z
z(A)
z1(A)
A
x1
x1(A)
y1
y1(A)
x(A)
x
y
y(A)
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I-18
Koordinatensysteme - Transformation
z1
z
z(A)
A
x1
y1
x(A)
x
y
y(A)
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I-19
Eichung von Koordinatensystemen
y1
y
1
x1
1
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x
I-20
Koordinatensysteme - Kugelkoordinaten
z
.
A
r
δ
y
φ
x
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I-21
Bewegung im Raum (Parameterdarstellung)
z
z(A)
C
t=10
A
t=9
t=8
t=7
t=5
t=6
t=4
t=3
t=1
B t=0
y
t=2
x
y(A)
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I-22
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I-23
Quelle: Wikipedia
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I-24
Fahrplan
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I-25
Raum-Zeit-Diagramm
Zeit
Event ist gleichzeitig
mit Blitz am Ort „D“
aber an anderem Ort
t3
Zum Zeitpunkt t3 ereignet
sich ein Blitz am Ort „D“
(Ereignis, Event)
Objekt bleibt am Ort „A“
t2
Objekt bewegt sich gleichförmig
in der Zeit zwischen t1 und t2
von „B“ nach „C“
t1
A
B
C
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D
Ort
I-26
Raum-Zeit-Diagramm
Zeit
t2
Langsame Bewegung
von A nach B
Schnelle Bewegung
von B nach A
t2
Schnelle Bewegung
von A nach B
t1
A
B
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Ort
I-27
Freier Fall
1.5
t [sec]
1
x(t)= ½g·t2
0
t(x)=√(g/2)·x
0.5
x
0
0
1
2
3
4
© Dr. R. Göhring
5
10
6
r.goehring@arcor.de
7
8
9
10 x [m]
I-28
Zeit
t55
x
55
E
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I-29
Bewegung in der Ebene
Tage
Weltlinie der
Sonne
Weltlinie der
Erde
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I-30
Bewegung im 3-dimensionalen Raum
z
t=16:30 Uhr
y
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X
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I-31
Bewegung im 3-dimensionalen Raum
y
t=16:30 Uhr
x
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I-32
Zeit
t=16:30 Uhr
Ankunft auf der
Plattform
Ankunft am Fuß des
Main-Towers
Start
x
Plattform
y
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I-33
Relativ zueinander bewegte Inertialsysteme
z
z(1)
v
System S(1)
System S
x
y
x(1)
y(1)
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I-34
Inertialsysteme
z
x
y
z(1)
v
x(1)
y(1)
t=0
z(1)
v
x(1)
y(1)
t=t1
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I-35
Messen in Inertialsystemen
• Gleichzeitigkeit
– Wird die Zeiteinheit in einem Inertialsystem festgelegt, dann
ist wegen der universellen Zeit in allen anderen die Zeit durch
jene Zeiteinheit festgelegt.
– Die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse ist unabhängig vom
Inertialsystem.
• Maßstab
– Mit den Maßstäben, die im Ausgangssystem ruhen, kann in
allen anderen Inertialsystemen gemessen werden.
– Denn anlegen eines Maßstabes heißt: gleichzeitiges Ablesen an
beiden Endpunkten eines Objektes.
– Der Ablesemechanismus ist unabhängig von der Bewegung des
Maßstabes
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-36
Raum-Zeit-Diagramm für Inertialsysteme
t(1)
t
2
v=Dx/Dt
v=Dx/1
v
v=tana
1
Dt
a
1
10
5
15
x , x(1)
Dx
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I-37
Eichung eines Inertialsystems
t(1)
t
2
1
E2
E1
1
5
10
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15
x, x(1)
I-38
x,t-Diagramm für Inertialsysteme
t
t (1)
10
10
5
1
5
1
1
5
10
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
15
x(1)
I-39
Koordinaten eines Ereignisses (Events)
t
t (1)
2
E: (x=9,t=1,4)
E
E(1)=(x(1)=4,t(1)=1,4)
1
1
1
5
10
© Dr. R. Göhring
15
r.goehring@arcor.de
x(1)
I-40
„Weltlinie“ eines bewegten Stabes
t
t (1)
2
1
1
1
5
10
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
15
x(1)
I-41
Galilei-Transformation
t
t (1)
x(E)  x(1)(E)
v
v


t(E)
OA 1
2
2
x(E)  x(1)(E)  v  t(E)
E
t(E)
v
1
A
x(1)  x  vt
B
y(1)  y
z(1)  z
t(1)  t
0
1
C
x(1)(E)
5
D
x(E) 10
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15
x, x(1)
I-42
Addition der Geschwindigkeit
z
x
E1
y
z(1)
v
x(1)
y(1)
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I-43
Addition der Geschwindigkeiten
t(1)
t
E2
Dt
t=2
a
E1
v(Kugel)
v
v(1)
v
(1)
dx(1) dx


v
dt
dt
t=1
v(1)  v(Kugel )  v
O
x, x(1)
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I-44
Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik
• Es gibt unendlich viele, relativ zueinander in
Translationsbewegungen befindliche, gleichberechtigte
Systeme, Inertialsysteme, in denen die Gesetze der
Mechanik in ihrer einfachen, klassischen Form gelten.
• Jedes dieser Systeme eignet sich gleichermaßen zu Aufbau
der Mechanik
• Es läßt sich mit keinem Experiment unterscheiden, ob das
System S ruht und S(1) sich mit der Geschwindigkeit v
relativ zu S bewegt, oder ob S(1) ruht und S sich mit –v
relativ zu S(1) bewegt.
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-45
Der absolute Raum – Newtons Eimerversuch
1. Verdrillter Faden, Eimer und Wasser in Ruhe
2. Eimer wird losgelassen, Eimer dreht sich,
Wasser noch (weitgehend) in Ruhe. Die
Relativbewegung zwischen Eimer und Wasser
erfolgt bei ebener Wasseroberfläche.
3. Eimerrotation und Wasserrotation sind
ungefähr gleich. Relativbewegung zwischen
beiden ist Null. Oberfläche des Wassers hat
die Form eines Rotationsparaboloids.
Quelle: http://app.uni-dortmund.de/
4. Eimerrotation wird abgebremst, Eimer dreht
sich nicht mehr. Wasserrotation bleibt
bestehen, Wasseroberfläche hat weiterhin die
Form eines Rotationsparaboloids. Die
Relativbewegung zwischen Eimer und Wasser
ist wie bei 2., jetzt aber mit parabolischer
Oberfläche des Wassers.
Fall 2. und Fall 4. sind kinematisch identisch,
die unterschiedliche Form der
Wasseroberfläche kann nur durch eine
„absolute“ Beschleunigung kommen.
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-46
Foucaultsches Pendel
•
1661 zum ersten Mal von Vincenzo Viviani
(ein Mitarbeiter Galileis) durchgeführt.
•
Nach Newtons Dynamik muß ein in einer
Ebene schwingendes Pendel seine
Schwingungsebene im absoluten Raum
beibehalten.
•
An den Polen dreht sich die Erde demnach
unter dem Pendel fort; am Äquator ist die
Drehung gleich null.
•
Für Newton ein Beweis für die absolute
Rotation der Erde (zu seiner Zeit auch ein
Beweis, daß sich der Fixsternhimmel nicht
dreht und die Erde ruht).
•
Der Effekt läßt sich aber auch als Folge der
Corioliskraft erklären.
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-47
© Dr. R. Göhring
r.goehring@arcor.de
I-48